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Método de Igualación

Aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones lineales a través del método de igualación.

Ya vimos que la solución del S.E.L. debe ser tal que cuando sustituyamos los valores de las variables en cada ecuación obtengamos una igualdad verdadera. Entonces, el valor de \textcolor{red}{x} que obtengamos en una ecuación debe ser el mismo para la otra ecuación. De manera semejante, el valor de \textcolor{blue}{y} en cada una de las ecuaciones, debe ser el mismo. Este argumento nos ayuda porque podemos igualar el valor de una variable despejando ésta de ambas incógnitas.

El método de igualación, como su nombre lo indica, consiste en igualar el despeje de una misma variable en distintas ecuaciones y así tener una sola ecuación sin la variable que estamos igualando.


Ejemplo 1

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcr} x &-& y &=& 2\\ x &+& 2\,y &=& 11 \end{aray}\]

Como dijimos, vamos a despejar la misma variable de cada una de las ecuaciones del S.E.L.:

    \begin{eqnarray*}    x - y = 2\qquad&\Rightarrow&\qquad x = 2 + y\\    x + 2\,y = 11\qquad&\Rightarrow&\qquad x = 11 - 2\,y \end{eqnarray*}

Pero ya sabemos que el valor de \textcolor{red}{x} en la primera ecuación debe ser el mismo que en la segunda ecuación. Esto nos permite igualar los dos despejes:

    \begin{eqnarray*}    \textcolor{red}{x} = 2 + \textcolor{blue}{y} &=& 11 - 2\,\textcolor{blue}{y}\\    y + 2\,y &=& 11 - 2\\    3\,\textcolor{blue}{y} &=& 9\\    \textcolor{blue}{y} &=& \textcolor{blue}{3} \end{eqnarray*}

Ahora observa el despeje:

    \begin{equation*}    x = 2 + y \end{equation*}

En palabras el primer despeje dice: El valor de x es mayor al valor de y en dos unidades. Pero \textcolor{blue}{y} = \textcolor{blue}{3}, entonces, x = 2 + \textcolor{blue}{3} = \textcolor{red}{5}, porque

    \begin{eqnarray*}    \textcolor{red}{x} &=& 2 + \textcolor{blue}{y}\\    5 &=& 2 + 3 \end{eqnarray*}

Con lo que la solución del S.E.L. es: x = 5, y = 3. Vamos a verificar el resultado:

    \[\begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} \textcolor{red}{x} &-&    \textcolor{blue}{y} &=& 2  && \qquad\Rightarrow\qquad && \textcolor{red}{5} &-&     \textcolor{blue}{3}  &=&  2\\ \textcolor{red}{x} &+& 2\,\textcolor{blue}{y} &=& 11 && \qquad\Rightarrow\qquad && \textcolor{red}{5} &+& 2\,(\textcolor{blue}{3}) &=& 11 \end{array}\]




Los despejes en este como en los métodos que ya estudiamos, siempre resultan sencillos.

Algunas veces tendremos que dividir por algún número.


Ejemplo 2

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcr}    5\,x &-& 2\,y &=& 1\\    2\,x &+& 3\,y &=& 27 \end{array}\]

Ya sabemos que debemos despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones.

En este caso, todos los coeficientes de las variables son distintos de 1, por eso, no importa cuál despejemos. Así que elegimos despejar y. Despejamos y de la primera ecuación:

    \begin{eqnarray*}    5\,x - 2\,y &=& 1\\    5\,x - 1 &=& 2\,y\\    \frac{5\,x - 1}{2} &=& y \end{eqnarray*}

Ahora despejamos y de la segunda ecuación:

    \begin{eqnarray*}    2\,x + 3\,y &=& 27\\    3\,y &=& 27 - 2\,x\\    y &=& \frac{27 - 2\,x}{3} \end{eqnarray*}

Ahora igualamos los despejes y resolvemos la ecuación resultante:

    \begin{eqnarray*}    y = \frac{5\,x - 1}{2} &=& \frac{27 - 2\,x}{3}\\    \frac{5\,x - 1}{2} &=& \frac{27 - 2\,x}{3} \end{eqnarray*}

Pero primero observa que podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 6 y los denominadores desaparecen de la ecuación, simplificando la ecuación:

    \begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{\cancelto{3}{6}\cdot(5\,x - 1)}{\cancel{2}} &=& \displaystyle\frac{\cancelto{2}{6}\cdot(27 - 2\,x)}{\cancel{3}}\\ 3\cdot(5\,x - 1) &=& 2\cdot(27 - 2\,x)\\ 15\,x - 3 &=& 54 - 4\,x\\ 15\,x + 4\,x &=& 54 + 3\\ 19\,x &=& 57\\ \textcolor{red}{x} &=& \displaystyle\frac{57}{19} = \textcolor{red}{3} \end{eqnarray*}

Observa que hemos multiplicado por 6, porque 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 3. Ahora podemos sustituir este valor en cualquiera de los despejes y encontrar el valor de y:

    \begin{eqnarray*} y &=& \frac{5\,x - 1}{2}\\   &=& \frac{5\,(\textcolor{red}{3}) - 1}{2}\\   &=& \frac{15 - 1}{2}\\   &=& \frac{14}{2}\\    \textcolor{blue}{y} &=& \textcolor{blue}{7} \end{eqnarray*}

Entonces, la solución del S.E.L. es: \textcolor{red}{x = 3} y \textcolor{blue}{y = 7}.
Vamos a verificar que la solución esté correcta:

    \[\begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} 5\,x &-& 2\,y &=& 1 && \qquad\Rightarrow\qquad && 5\,(\textcolor{red}{3}) &-& 2\,(\textcolor{blue}{7})   &=& 1\\ 2\,x &+& 3\,y &=& 27 && \qquad\Rightarrow\qquad && 2\,(\textcolor{red}{3}) &+& 3\,(\textcolor{red}{7}) &=& 27 \end{array}\]



Ejemplo 3

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcr} 3\,x &+& 2\,y &=& 1\\ 2\,x &+& 3\,y &=& 9 \end{array}\]

Empezamos despejando la misma incógnita de ambas ecuaciones.

En este caso nos conviene despejar la variable que tenga coeficiente positivo en ambas ecuaciones. Por eso elegimos despejar la variable x. Aquí está el despeje para la primera ecuación:

    \begin{eqnarray*}    3\,x + 2\,y &=& 1\\    3\,x &=& 1 - 2\,y \\    x &=& \displaystyle\frac{1 - 2\,y}{3} \end{eqnarray*}

Ahora la despejamos de la segunda ecuación:

    \begin{eqnarray*}    2\,x + 3\,y &=& 9\\    2\,x &=& 9 - 3\,y \\    x &=& \displaystyle\frac{9 - 3\,y}{2} \end{eqnarray*}

Nuestro siguiente paso consiste en igualar los despejes y resolver la ecuación resultante:

    \begin{equation*}    x = \frac{1 - 2\,y}{3} = \frac{9 - 3\,y}{2} \end{equation*}

Para simplificar la ecuación, empezamos multiplicando ambos lados por el mínimo común múltiplo de 2 y 3, es decir, por 6:

    \begin{eqnarray*}    \cancelto{2}{6}\,\left(\frac{1 - 2\,y}{\cancel{3}}\right) &=& \cancelto{3}    {6}\,\left(\frac{9 - 3\,y}{\cancel{2}}\right)\\    2\,(1 - 2\,y) &=& 3\,(9 - 3\,y)\\    2 - 4\,y &=& 27 - 9\,y\\    - 4\,y + 9\,y &=& 27 - 2\\    5\,y &=& 25\\    \textcolor{blue}{y} &=& \textcolor{blue}{5} \end{eqnarray*}

Ahora podemos encontrar el valor de x a partir de un despeje y el valor de y, que acabamos de encontrar:

    \begin{eqnarray*}    \textcolor{red}{x} &=& \frac{9 - 3\,\textcolor{blue}{y}}{2}\\         &=& \frac{9 - 3\,(\textcolor{blue}{5})}{2}\\         &=& \frac{9 - 15}{2}\\    \textcolor{red}{x} &=& \frac{-6}{2} = \textcolor{red}{-3} \end{eqnarray*}

La solución del S.E.L. es: x = -3 y y = 5. Ahora verificamos que el resultado sea correcto:

    \[\begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} 3\,x &+& 2\,y &=& 1 && \qquad\Rightarrow\qquad && 3\,(\textcolor{red}{-3}) &+& 2\,(\textcolor{blue}{5})   &=& 1\\ 2\,x &+& 3\,y &=& 9 && \qquad\Rightarrow\qquad && 2\,(\textcolor{red}{-3}) &+& 3\,(\textcolor{blue}{5}) &=& 9 \end{array}\]



Ejemplo 4

En las pasadas elecciones del pueblo, el candidato del partido X obtuvo 12,357 votos más que el candidato del partido Y. Entre los dos obtuvieron 45,225 votos. ¿Cuántos votos obtuvo cada uno de ellos?

Vamos a denotar por x al número de votos que obtuvo el candidato del partido X, y por y el número de votos que obtuvo el candidato del partido Y. De acuerdo a la información que se nos proporcionó, tenemos el siguiente S.E.L.:

    \begin{eqnarray*}    x &=& 12\,357 + y\\    x + y &=& 45\,225 \end{eqnarray*}

Inmediatamente vemos que en la primera ecuación ya está despejada la variable x, así que vamos a despejar esa misma variable de la segunda ecuación:

    \begin{eqnarray*}    x + y &=& 45\,225\\    x &=& 45\,225 - y \end{eqnarray*}

Ahora igualamos los despejes y resolvemos la ecuación resultante:

    \begin{eqnarray*}    12\,357 + y &=& 45\,225 - y\\    y + y &=& 45\,225 - 12\,357\\    2\,y &=& 32\,868\\    \textcolor{blue}{y} &=& \textcolor{blue}{16\,434} \end{eqnarray*}

Ahora podemos encontrar el valor de x sustituyendo el valor de y que acabamos de encontrar en la otra ecuación:

    \begin{eqnarray*}    x &=& 12\,357 + \textcolor{blue}{y}\\    x &=& 12\,357 + \textcolor{blue}{16\,434}\\    \textcolor{red}{x} &=& \textcolor{red}{28\,791} \end{eqnarray*}

La solución es: x = 28,791 y y = 16,434. Vamos a verificar que la solución esté correcta:

De la información que nos dan en el texto del problema tenemos: el candidato del partido X obtuvo 12,357 votos más que el candidato del partido Y, y ya sabemos que \textcolor{blue}{y} = \textcolor{blue}{16\,434}, por lo que \textcolor{red}{x} = 16\,434 + 12\,357 = \textcolor{red}{28\,791}.

Además, Entre los dos obtuvieron 45225 votos, por lo que:

    \[\begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} \textcolor{red}{x} &+& \textcolor{blue}{y} &=& 45\,225\\ \textcolor{red}{28\,791} &+& \textcolor{blue}{16\,434} &=& 45\,225 \end{array}\]



Ejemplo 5

Mauricio dijo que tenía $41.00 pesos en 10 monedas. Si él solamente tenía monedas de $5.00 y de $2.00 pesos, ¿cuántas monedas tenía de cada denominación?

Ya vimos como resolver este tipo de problemas con una sola ecuación y una incógnita, pero ahora vamos a resolverlo usando dos ecuaciones con dos incógnitas. Empezamos definiendo como c la cantidad de monedas de $5.00 pesos y d la cantidad de monedas de $2.00 pesos que posee. Sabemos que tiene en total 10 monedas, entonces:

    \begin{equation*}    c + d = 10 \end{equation*}

Y en total tiene $41.00 pesos, entonces,

    \begin{equation*}    5\,c + 2\,d = 41 \end{equation*}

Vamos a despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita. Elegimos c. Hacemos el despeje de la primera ecuación:

    \begin{eqnarray*}    c + d &=& 10\\    c &=& 10 - d \end{eqnarray*}

Ahora hacemos el despeje de la segunda ecuación:

    \begin{eqnarray*}    5\,c + 2\,d &=& 41\\    5\,c &=& 41 - 2\,d\\    c &=& \displaystyle\frac{41 - 2\,d}{5} \end{eqnarray*}

Ahora igualamos los despejes y resolvemos la ecuación:

    \begin{equation*}    c = 10 - d = \displaystyle\frac{41 - 2\,d}{5} \end{equation*}

Para simplificar la fracción multiplicamos ambos lados de la igualdad por 5:

    \begin{eqnarray*}    5\,(10 - d) &=& \cancel{5}\,\left(\displaystyle\frac{41 - 2\,d}{\cancel{5}}\right)\\    50 - 5\,d &=& 41 - 2\,d\\    50 - 41 &=& -2\,d + 5\,d\\    9 &=& 3\,d\\    3 &=& d \end{eqnarray*}

Es decir, tiene 3 monedas de $2.00 pesos. Esto significa que tiene 10 - 3 = 7 monedas de $5.00 pesos.

Vamos a verificar que la solución satisface las condiciones del problema:

    \begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{c} + \textcolor{red}{d} = 10 & \qquad\Rightarrow\qquad & \textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{7} = 10\\ 5\,\textcolor{blue}{c} + 2\,\textcolor{red}{d} = 41 & \qquad\Rightarrow\qquad & 5\,(\textcolor{blue}{7}) + 2\,(\textcolor{red}{3}) = 41 \end{eqnarray*}


Observa que en el ejemplo anterior se eligieron las literales de manera que sea fácil identificar de qué variable estamos hablando: \textcolor{blue}{c} para las monedas de \textcolor{blue}{c}inco pesos y \textcolor{red}{d} para las monedas de \textcolor{red}{d}os pesos.

Utilizar este principio siempre es muy buena idea, porque frecuentemente ocurre que muchos estudiantes resuelven correctamente el problema, pero a la hora de interpretar el resultado cometen el error de intercambiar las variables con sus significados.

Por ejemplo, si hubieran elegido x para las monedas de $2.00 pesos, hubieran encontrado que x = 3, pero después, por descuido, dirían que tienen en total 3 monedas de $5.00 pesos.

Esto se puede evitar si buscas una literal que te ayude a identificar qué variable está representando.

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