Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de factorización

Ahora utilizaremos la factorización que estudiamos en la lección Factorización. Recuerda que una ecuación cuadrática se obtiene, algunas veces, debido a la multiplicación de un monomio por un binomio.

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

$\begin{equation*} x^2 - 2\,x = 0 \end{equation*}$

Aquí podemos aplicar la ley distributiva, porque la literal $x$

aparece en ambos términos:

$\begin{equation*} x^2 - 2\,x = x\,(x-2)= 0 \end{equation*}$

Ahora tenemos el producto de dos cantidades: $x$ es la primera y la segunda es $(x - 2)$ . Cuando multiplicamos estas cantidades, el resultado es igual a cero. Esto nos indica que al menos una de esas cantidades debe ser cero. Entonces, tenemos dos casos:

Bien $x = 0$ (Primera solución)

Bien $x - 2 = 0$ , que sugiere: $x = 2$ (Segunda solución)

Entonces, las raíces de la ecuación son: $x = \textcolor{blue}{0}$ , y $x = \textcolor{red}{2}$ .

Verificación:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2\,x = 0\qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{blue}{0})^2 - 2\,(\textcolor{blue}{0}) = 0\\ x^2 - 2\,x = 0\qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{red}{2})^2 - 2\,(\textcolor{red}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$

Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

$\begin{equation*} 12\,x^2 - 21\,x = 0 \end{equation*}$

En este caso, el factor común es: $3\,x$

. Aplicamos la ley distributiva factorizándolo:

$\begin{equation*} 12\,x^2 - 21\,x = 3x\,(4\,x - 7) = 0 \end{equation*}$

Observa que si multiplicas $3x\,(4\,x - 7)$ obtienes el binomio que forma parte de la ecuación original. Para que el resultado de esta multiplicación sea cero, cualquiera de los factores debe ser cero, bien $3\,x = 0$ , bien $4\,x - 7 = 0$ . En el primer caso, es fácil concluir que $x = 0$ . Para el segundo caso, tenemos que despejar $x$ :

$\begin{equation*} 4\,x - 7 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{7}{4} \end{equation*}$

Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son: $x_1 = \textcolor{blue}{0}$ , y $x_2 = \textcolor{red}{7/4}$ .

Verificación:

$\begin{eqnarray*} 12\,x^2 - 21\,x = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 12\,(\textcolor{blue}{0})^2 - 21\,(\textcolor{blue}{0}) = 0\\ 12\,x^2 - 21\,x = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 12\,\left(\textcolor{red}{\frac{7}{4}}\right)^2 - 21\,\left(\textcolor{red}{\frac{7}{4}}\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Otras veces la ecuación se originó con la multiplicación de dos binomios.

Cuando sabemos qué binomios se multiplicaron para obtener la ecuación cuadrática, podemos fácilmente resolverla.

Por cierto, si no recuerdas la factorización de polinomios, es una buena idea estudiar de nuevo la lección.

Ejemplo 3

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

$\begin{equation*} x^2 + 12\,x + 35 = 0 \end{equation*}$

Ahora tenemos un trinomio cuadrado del lado izquierdo de la igualdad. Así que tenemos que probar primero si se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Para eso sacamos la mitad de 12 y lo elevamos al cuadrado: $6^2 = 36 \neq 35$

. Entonces el trinomio cuadrado no es perfecto. Debemos que encontrar dos números que sumados den 12 y multiplicados den 35. Esos número son $5$

y $7$

$\begin{eqnarray*} 5 + 7 &=& 12\\ 5 \times 7 &=& 35 \end{eqnarray*}$

Esto significa que la ecuación puede escribirse como:

$\begin{equation*} x^2 + 12\,x + 35 = (x+5)(x+7) = 0 \end{equation*}$

Para que el resultado de la multiplicación sea igual a cero, al menos uno de los factores debe ser cero:

$\begin{eqnarray*} x + 5 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad x = \textcolor{blue}{-5}\\ x + 7 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad x = \textcolor{red}{-7} \end{eqnarray*}$

Así hemos encontrado las soluciones. Hagamos la verificación:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 12\,x + 35 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{blue}{-5})^2 + 12\,(\textcolor{blue}{-5}) + 35 = 0\\ x^2 + 12\,x + 35 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{red}{-7})^2 + 12\,(\textcolor{red}{-7}) + 35 = 0 \end{eqnarray*}$