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Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de factorización

Aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.



Ejemplo 4

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    x^2 + 8\,x + 16 = 0 \end{equation*}

Vamos a factorizar el trinomio cuadrado. Primero verificamos si se trata de un trinomio cuadrado perfecto. La mitad de 8 es 4 y 4^2 = 16. Esto nos indica que sí se trata de un cuadrado perfecto.

    \begin{equation*}    x^2 + 8\,x + 16 = (x+4)^2 = 0 \end{equation*}

Ahora despejamos el valor de x:

    \begin{eqnarray*}    (x+4)^2 &=& 0\\    x + 4 &=& 0\\    x &=& -4 \end{eqnarray*}

Las dos raíces de la ecuación son la misma raíz: x = \textcolor{blue}{-4}.

Verificación:

    \begin{equation*}    x^2 + 8\,x + 16 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad (\textcolor{blue}{-4})^2 + 8\,(\textcolor{blue}{-4}) + 16 = 0 \end{equation*}



Ejemplo 5

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    x^2 - 2\,x - 24 = 0 \end{equation*}

Es evidente que el trinomio x^2 - 2\,x - 24 no es cuadrado perfecto: observa que la mitad de -2 es -1, pero (-1) \neq -24. Para factorizar el trinomio cuadrado debemos encontrar dos números que sumados den -2 y multiplicados den -24. Como el producto de los números es negativo, los números que buscamos tienen signos cambiados: uno es positivo y el otro negativo. Y como la suma de esos números es -2, el mayor debe ser negativo. Empezamos factorizando 24,

    \begin{equation*}    24 = 2^3 \cdot 3 \end{equation*}

Podemos usar 6 y 4. Como el mayor de los números es positivo, tenemos -6 y 4. Estos números son los que estamos buscando, porque:

    \begin{eqnarray*}    -6 + 4 &=& -2\\    (-6)(4) &=& - 24 \end{eqnarray*}

Entonces, la ecuación puede reescribirse como:

    \begin{equation*}    x^2 - 2\,x - 24 = (x - 6)(x + 4) = 0 \end{equation*}

Y las raíces son: x = \textcolor{blue}{6} y x = \textcolor{red}{-4}.

Verificación:

    \begin{eqnarray*} x^2 - 2\,x - 24 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{blue}{6})^2 - 2\,(\textcolor{blue}{6}) - 24 = 0\\ x^2 - 2\,x - 24 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{red}{-4})^2 - 2\,(\textcolor{red}{-4}) - 24 = 0 \end{eqnarray*}


Recuerda, la factorización es una base importante.

Si no recuerdas la factorización, realizarás una mayor cantidad de trabajo para resolver algunas de las ecuaciones cuadráticas que se pueden resover rápidamente por este método.


Ejemplo 6

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} 2\,x^2 - x - 15 = 0 \end{equation*}

En este caso, debemos factorizar un trinomio con coeficiente del término cuadrático distinto de 1. Así que posiblemente aplicaremos el caso: (a\,x+b)(c\,x+d). Sabemos que a\cdot c = 2, así que a = 2 y c = 1. Ahora nos falta solamente encontrar los números b y c. Sabemos que el coeficiente del término lineal en este caso es: bc + ad. Y que el término independiente es: bd = -15. Si c = 2 y a = 1 obtendremos los factores en el otro orden, pero el orden de los factores no altera el producto. De aquí que tengamos dos opciones,

  1. Bien b = 3, d = 5, con alguno de ellos negativo,
  2. Bien b = 5, d = 3, con uno de ellos negativo.

Probamos el primero de los casos:

    \begin{eqnarray*}    (2\,x + 3)(x - 5) &=& 2\,x^2 + (-10 + 3)\,x - 15 \\    &=& 2\,x^2 - 7\,x - 15  \end{eqnarray*}

Siguiente caso: cambiamos solamente el signo de lugar:

    \begin{eqnarray*}    (2\,x - 3)(x + 5) &=& 2\,x^2 + (10 - 3)\,x - 15 \\    &=& 2\,x^2 + 7\,x - 15  \end{eqnarray*}

Tampoco funcionó. Siguiente caso:

    \begin{eqnarray*}    (2\,x - 5)(x + 3) &=& 2\,x^2 + (6 - 5)\,x - 15 \\    &=& 2\,x^2 + x - 15  \end{eqnarray*}

Observa que la única diferencia está en el signo del coeficiente del término lineal. Esto indica que solamente hay que cambiar los signos de posición en los binomios:

    \begin{eqnarray*}    (2\,x + 5)(x - 3) &=& 2\,x^2 + (-6 + 5)\,x - 15 \\    &=& 2\,x^2 - x - 15  \end{eqnarray*}

Eso debimos saberlo del hecho de que el mayor era el negativo, dado que el resultado de la suma es un número negativo. Finalmente, la ecuación queda:

    \begin{equation*}    2\,x^2 - x - 15 = (2\,x + 5)(x - 3) = 0 \end{equation*}

Con esto, es fácil encontrar las raíces: alguno de los factores se debe hacer cero para que el producto indicado sea igual a cero:

    \begin{eqnarray*}    2\,x + 5 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad x = \textcolor{blue}{- \displaystyle\frac{5}{2}}\\    x - 3 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad x = \textcolor{red}{3} \end{eqnarray*}

Verificación:

    \begin{eqnarray*} 2\,x^2 - x - 15 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 2\,\left(\textcolor{blue}{- \displaystyle\frac{5}{2}}\right)^2 - \left(\textcolor{blue}{- \displaystyle\frac{5}{2}}\right) - 15 = 0\\ 2\,x^2 - x - 15 = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 2\,(\textcolor{red}{3})^2 - (\textcolor{red}{3}) - 15 = 0 \end{eqnarray*}



Ejemplo 7

Eunice compró cierto número de docenas naranjas por $200.00 pesos. Si hubiera pagado $5.00 pesos más por cada docena, hubiera recibido dos docenas menos por la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto le costó cada docena?

Para resolver este problema aplicado empezamos definiendo variables:

  • n va a representar el número de docenas de naranjas que compró, y
  • p va a representar el precio que pagó por cada docena.

Ahora sabemos que pagó en total $200.00 pesos por las n docenas que compró, es decir, si multiplico el precio de cada docena por el número de docenas de naranjas que compró, debo obtener 200:

    \begin{equation*}    p\cdot n = 200 \end{equation*}

A nosotros nos piden encontrar el precio de cada docena de naranjas, así que vamos a despejar la otra variable:

    \begin{equation*}    n = \displaystyle\frac{200}{p} \end{equation*}

Así, cuando sustituyamos, obtendremos una ecuación en términos de p, que es lo que deseamos calcular. Por otra parte, si hubiera pagado p+5 (cinco pesos más por cada docena), hubiera recibido n - 2 (dos docenas menos) por la misma cantidad de dinero, es decir:

    \begin{equation*}    (n - 2)(p + 5) = 200 \end{equation*}

En esta ecuación tenemos dos incógnitas. Para reducirla a una incógnita sustituimos el despeje de la primera ecuación que encontramos:

    \begin{equation*}    (\textcolor{red}{n} - 2)(p + 5) = 200\qquad\Rightarrow\qquad \left(\textcolor{red}{\frac{200}{p}} -     2\right)(p + 5) = 200 \end{equation*}

Simplifiquemos la ecuación multiplicandp ambos lados de la igualdad por p:

    \begin{eqnarray*}    p\,\left(\displaystyle\frac{200}{p} - 2\right)(p + 5) &=& 200\,p\\    (200 - 2\,p)(p + 5) &=& 200\,p\\    \cancel{200\,p} + 1\,000 - 2\,p^2 - 10\,p &=& \cancel{200\,p}\\    - 2\,p^2 - 10\,p + 1\,000&=& 0\\    2\,p^2 + 10\,p - 1\,000&=& 0\\    p^2 + 5\,p - 500&=& 0\\ \end{eqnarray*}

Necesitamos factorizar esta ecuación cuadrática. Busquemos dos números que sumados den 5 y multiplicados den 500.
Esos números son: 25 y -20:

    \begin{eqnarray*}    p^2 + 5\,p - 500&=& 0\\    (p + 25)(p - 20) &=& 0 \end{eqnarray*}

Ya sabemos que el precio de cada docena debe ser un número positivo, por eso: p=20. Entonces, compró: n = 200 / 20 = 10 docenas de naranjas. Vamos a comprobar el resultado:

  • Si compró n=10 docenas de naranjas a $20.00 pesos cada una, pagó (10)(20) = 200 pesos.
  • Si hubiera pagado $5.00 pesos más por cada docena hubiera pagado $25.00 pesos por cada una, y hubiera recibido n-2=8 docenas de naranjas. Por eso hubiera pagado: (8)(25) = 200 pesos.

Recuerda que no todos los trinomios cuadrados pueden factorizarse usando números enteros. Algunas veces se requieren de números irracionales. Esos casos requieren de otro método para su solución. Este otro método de solución es el caso más general de ecuación cuadrática, porque incluye todos los posibles casos de raíces para este tipo de ecuaciones.

Con este nuevo método podremos clasificar las raíces de las ecuaciones cuadráticas en tres casos. Cada uno de esos casos está relacionado con un número que se conoce como discriminante, porque de cierta manera discrimina entre las distintas raíces de la ecuación cuadrática. El discriminante es parte de una fórmula que ya debes conocer, si es que pudiste resolver el último reto, y si no la conoces, de cualquier manera la deberás aprender.

Se trata de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, es decir, la fórmula mágica que resuelve cualquier ecuación cuadrática. Eso es lo que estudiaremos en la siguiente lección.

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