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Método de Eliminación

Aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con dos incógnitas por el método de eliminación (suma y resta).
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Este método es de los más sencillos. Empezamos observando el S.E.L. Si es posible sumar las ecuaciones para obtener otra nueva ecuación con una incógnita menos, sumamos.

Ejemplo 1

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} x &+& y &=& 10\\ x &-& y &=& 2 \end{array}\]

Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos una sola ecuación con una sola incógnita, porque la literal y tiene el mismo coeficiente, pero con signo cambiado:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} x &+& \cancel{y} &=& 10\\ x &-& \cancel{y} &=& 2\\\hline 2\,x & & &=& 12 \end{array}\]

Esta ecuación lineal con una incógnita es tan fácil de resolver que la traduciremos: Pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve 12, ¿qué número pensé? Obviamente pensó el número 6. Entonces, \textcolor{red}{x = 6}. Para encontrar el valor de y podemos multiplicar por -1 cualquiera de las dos ecuaciones (elegimos multiplicar la segunda ecuación) y obtenemos un S.E.L. equivalente:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} \cancel{x} &+& y &=& 10\\ -\cancel{x} &+& y&=& -2\\\hline & & 2\,y &=& 8 \end{array}\]

En palabras, esta última ecuación nos dice: Pensé un número, lo multipliqué por 2 y obtuve 8, ¿qué número pensé? Sí, pensó el número 4. Entonces, \textcolor{blue}{y = 4}.
Y la solución del S.E.L., es: \textcolor{red}{x=6}, \textcolor{blue}{y=4}.
Se te queda como ejercicio verificar que la solución es correcta.



Esta solución no debe causar sorpresa alguna, dado que ya la conocíamos, pues resolvimos este mismo sistema por el método gráfico. Sin embargo, no todos los S.E.L. que encontraremos podrán resolverse simplemente sumando las ecuaciones. Algunas veces necesitaremos encontrar algún factor que nos ayude con los coeficientes de una variable para que sean iguales y con signo contrario.

Ejemplo 2

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} x &+& y &=& 6\\ x &-& 2\,y &=& 0 \end{array}\]

Primero observamos que los coeficientes de la variable y tienen signos cambiados.
Podemos empezar buscando un número que multiplicado por una ecuación iguale al coeficiente de la otra ecuación.
Vamos a multiplicar la primera ecuación por 2 para obtener:

    \begin{equation*} 2\,x + 2\,y = 12 \end{equation*}

Ahora hemos transformado nuestro problema inicial a otro problema equivalente que sí sabemos como resolver, porque el ejemplo anterior representó uno de estos casos. Cuando sumamos las ecuaciones una de las variables se eliminó:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} 2\,x &+& \cancel{2\,y} &=& 12\\ x &-& \cancel{2\,y} &=& 0\\\hline 3\,x & & &=& 12 \end{array}\]

Y la última ecuación implica: \textcolor{red}{x = 4}.

Para encontrar el valor de y podemos multiplicar la segunda ecuación por -1, así cambiamos el signo del coeficiente de x de esta ecuación:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} \cancel{x} &+& y &=& 6\\ -\cancel{x} &+& 2\,y &=& 0\\\hline & & 3\,y &=& 6 \end{array}\]


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Que implica: \textcolor{blue}{y = 2}. Por lo tanto, la solución del S.E.L. es: \textcolor{red}{x=4}, \textcolor{blue}{y = 2}. Ahora verificamos que la solución es correcta:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} \textcolor{red}{x} &+& \textcolor{blue}{y} &=& 6 && \qquad\Rightarrow\qquad && \textcolor{red}{4} &+& \textcolor{blue}{2} &=& 6\\ \textcolor{red}{x} &-& 2\,\textcolor{blue}{y} &=& 0 && \qquad\Rightarrow\qquad && \textcolor{red}{4} &-& 2\,(\textcolor{blue}{2}) &=& 0 \end{array}\]

En otros casos, tendremos los coeficientes de todas las variables con el mismo signo, como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} x &+& y &=& 6\\ x &+& 2\,y &=& 0 \end{array}\]

En este caso primer multiplicamos por -1 cualquiera de las dos ecuaciones: así tenemos los coeficientes de la variable x iguales con signo contrario:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -\cancel{x} &-& y &=& -6\\ \cancel{x} &+& 2\,y &=& 0\\\hline & & \textcolor{blue}{y} &=& \textcolor{blue}{-6} \end{array}\]

Para encontrar el valor de x necesitamos eliminar la variable y.
Vamos a multiplicar la primera ecuación por -2, así los coeficientes de esta variable son iguales y de signo cambiado:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -2\,x &-& 2\,y &=& -12\\ x &+& 2\,y &=& 0\\\hline -x & & &=& -12 \end{array}\]

Multiplicando por -1 ambos lados de la última igualdad obtenemos: \textcolor{red}{x = 12}.
La solución de este S.E.L. es: \textcolor{red}{x = 12}, \textcolor{blue}{y = -6}
Ahora comprobamos la solución:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} \textcolor{red}{x} &+& \textcolor{blue}{y} &=& 6 && \qquad\Rightarrow\qquad && \textcolor{red}{12} &-& \textcolor{blue}{6} &=& 6\\ \textcolor{red}{x} &+& 2\,\textcolor{blue}{y} &=& 0 && \qquad\Rightarrow\qquad && \textcolor{red}{12} &-& 2\,(\textcolor{blue}{6}) &=& 0 \end{array}\]

Y en otros casos se requerirá multiplicar ambas ecuaciones para poder eliminar una de las variables.


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