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Método de Eliminación

Aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con dos incógnitas por el método de eliminación (suma y resta).



Ejemplo 4

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} 3\,x &+& 2\,y &=& 13\\ 2\,x &+& 3\,y &=& 12 \end{array}\]

En este caso, la única posibilidad de resolver este problema es multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 3. Así obtenemos en los coeficientes de la variable x del S.E.L. equivalente 6 en ambas ecuaciones. Solamente quedará pendiente quién será la que tenga coeficiente negativo.
Elegimos multiplicar por -2 la primera ecuación y por 3 la segunda:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -\cancel{6\,x} &-& 4\,y &=& -26\\ \cancel{6\,x} &+& 9\,y &=& 36\\\hline & & 13\,y &=& 26 \end{array}\]

Dividiendo ambos lados de la última igualdad entre 13, obtenemos el valor de la variable y

    \begin{equation*} \frac{\cancel{13}\,y}{\cancel{13}} = \frac{26}{13}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{y = 2} \end{equation*}

Ahora vamos a eliminar la variable y para encontrar el valor de x
Para esto, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por -2:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} 9\,x &+& \cancel{6\,y} &=& 39\\ -4\,x &-& \cancel{6\,y} &=& -24\\\hline 5\,x & & &=& 15 \end{array}\]

De la última igualdad inmediatamente obtenemos: \textcolor{red}{x = 3}
La solución es: \textcolor{red}{x = 3}, \textcolor{blue}{y = 2}
Ahora verificamos que la solución sea correcta:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} 3\,\textcolor{red}{x} &+& 2\,\textcolor{blue}{y} &=& 13 && \qquad\Rightarrow\qquad && 3\,(\textcolor{red}{3}) &+& 2\,(\textcolor{blue}{2}) &=& 13\\ 2\,\textcolor{red}{x} &+& 3\,\textcolor{blue}{y} &=& 12 && \qquad\Rightarrow\qquad && 2\,(\textcolor{red}{3}) &+& 3\,(\textcolor{blue}{2}) &=& 12 \end{array}\]


Este problema también podemos resolverlo multiplicando por alguna fracción una de las ecuaciones, pero este método involucra operaciones con fracciones y no es el más sencillo.


Ejemplo 5

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} 3\,x &+& 2\,y &=& 0\\ 4\,x &+& 3\,y &=& 1 \end{array}\]

Ahora vamos a tener que multiplicar ambas ecuaciones por coeficientes que igualen los coeficientes de la variable que deseemos eliminar.

Para empezar vamos a eliminar la variable y, para así encontrar el valor de x.
Así que vamos a multiplicar la primera ecuación por -3 y la segunda por 2:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -9\,x &-& \cancel{6\,y} &=& 0\\ 8\,x &+& \cancel{6\,y} &=& 2\\\hline -x & & &=& 2 \end{array}\]

Entonces, \textcolor{red}{x = -2}
Para encontrar el valor de y debemos eliminar la otra variable (x).
Ahora vamos a multiplicar la primera ecuación por -4 y a la segunda por 3:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -\cancel{12\,x} &-& 8\,y &=& 0\\ \cancel{12\,x} &+& 9\,y &=& 3\\\hline & & \textcolor{blue}{y} &=& \textcolor{blue}{3} \end{array}\]

Y la solución del S.E.L. es: \textcolor{red}{x = -2}, \textcolor{blue}{y = 3}.
%Ahora vamos a comprobar la solución:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} 3\,\textcolor{red}{x} &+& 2\,\textcolor{blue}{y} &=& 0 && \qquad\Rightarrow\qquad && 3\,(\textcolor{red}{-2}) &+& 2\,(\textcolor{blue}{3}) &=& 0\\ 4\,\textcolor{red}{x} &+& 3\,\textcolor{blue}{y} &=& 1 && \qquad\Rightarrow\qquad && 4\,(\textcolor{red}{-2}) &+& 3\,(\textcolor{blue}{3}) &=& 1 \end{array}\]


Recuerda que no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución.

Cuando tengas un S.E.L. sin solución, este método puede causar que te confundas. El siguiente es uno de esos ejemplos, para que sepas qué hacer en esos casos.


Ejemplo 6

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} x &+& y &=& 2\\ 4\,x &+& 4\,y &=& 10 \end{array}\]

Empezamos observando que si multiplicamos por -4 la primera ecuación podemos eliminar x de ambas ecuaciones:

     \begin{minipage}{0.75\linewidth} $$ \setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -\cancel{4\,x} &-& \cancel{4\,y} &=& -8\\ \cancel{4\,x} &+& \cancel{4\,y} &=& 10\\\hline & & \textcolor{red}{0} &=& \textcolor{red}{2} %\qquad\mbox{} \end{array} $$ \end{minipage} % \begin{minipage}{0.25\linewidth} $$ \setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} & & & & \\ & & & & \\ & & & & \mbox{\textcolor{red}{(Falso)}} \end{array} $$ \end{minipage}

Pero esto no tiene sentido, porque 0\neq2.
Y es que en realidad no tiene sentido buscar el punto donde se intersectan dos rectas que son paralelas y que no son la misma recta. En conclusión, el S.E.L. no tiene solución.


Sin embargo, existe otro caso: el S.E.L. con un número infinito de soluciones.


Ejemplo 7

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} x &+& y &=& 2\\ 4\,x &+& 4\,y &=& 8 \end{array}\]

En este caso solamente ha cambiado el número 10 que estaba a la derecha de la segunda igualdad por un 8.
Si aplicamos el mismo procedimiento que usamos en el ejemplo anterior obtenemos:

     \begin{minipage}{0.75\linewidth} $$ \setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -\cancel{4\,x} &-& \cancel{4\,y} &=& -8\\ \cancel{4\,x} &+& \cancel{4\,y} &=& 8\\\hline & & \textcolor{red}{0} &=& \textcolor{red}{0}%\qquad\mbox{} \end{array} $$ \end{minipage} % \begin{minipage}{0.25\linewidth} $$ \setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} & & & & \\ & & & & \\ & & & & \mbox{\textcolor{red}{(Cierto)}} \end{array} $$ \end{minipage}

Y la última igualdad es verdadera.

Lo que pasa en este caso es que una ecuación es múltiplo de la otra, es decir, ambas ecuaciones son equivalentes. En efecto, si multiplicamos la primera ecuación por 4, obtenemos la segunda ecuación.

En el ejemplo anterior, cuando el S.E.L. no tenía soluciones, al multiplicar por 4 la primera ecuación obtenemos una ecuación que era igual en los coeficientes de las variables, pero en el lado derecho de la igualdad los valores eran distintos. Las ecuaciones en ese caso, a pesar de que sus gráficas son rectas paralelas, no son equivalentes, por eso obtenemos la igualdad de dos cosas distintas.

En el caso de un S.E.L. con un número infinito de soluciones, dado que ambas ecuaciones son equivalentes, si un punto satisface a una de las ecuaciones, debe satisfacer a la otra también, porque, por ser equivalentes, deben tener el mismo conjunto de puntos por solución. En ambos casos hablamos de rectas paralelas.


Nota que un S.E.L. puede:

  1. No tener solución, es decir, tener cero soluciones, o
  2. Tener una única solución, es decir, tener exactamente una solución, o
  3. Tener un número infinito de soluciones, es decir, muchos puntos que satisfacen a ambas ecuaciones, simplemente porque al graficar las ecuaciones obtenemos la misma recta.

Es importante que entiendas que no es que la solución del S.E.L. sea infinito. Recuerda que la solución de un S.E.L. consiste en el conjunto de valores que debemos dar a las variables para que las ecuaciones se reduzcan a igualdades verdaderas.

Infinito no es un conjunto de valores. Es simplemente una expresión que nos indica que algo no tiene fin.

En este último caso tenemos un número infinito de soluciones. Cada una de esas soluciones debe especificar dos valores, uno para cada variable.

Si un punto satisface una de las ecuaciones, también va a satisfacer a la otra ecuación, si es que el S.E.L. tiene un número infinito de soluciones.

En este caso, las soluciones pueden encontrarse usando cualquiera de las ecuaciones. Por ejemplo, podemos tomar la primera ecuación: x + y = 2, y reescribirla como: y = 2 - x.

A partir de esta ecuación, si conocemos el valor de x, podemos encontrar el valor que le corresponde a y para que satisfaga la ecuación. En otras palabras, hemos escrito la ecuación en forma de una función: damos el valor de x a la función, y ésta nos devuelve un valor, que corresponde a y para que satisfaga a la ecuación: x + y = 2.


Ejemplo 8

Un bote recorre 1.8 kilómetros río arriba en 9 minutos. De regreso el bote requiere de 6 minutos solamente. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río?

En el recorrido de regreso (río abajo), la corriente del río le ayuda a avanzar más rápido, por eso tarda menos.
Para resolver este problema debemos recordar que para encontrar la velocidad promedio dividimos la distancia recorrida entre el tiempo que requirió.

La velocidad promedio en la ida (río arriba) es igual a la distancia (1.8 km) entre el tiempo (9 min):

    \begin{equation*} v_{\mathrm{ida}} = \displaystyle\frac{1\,800\mbox{ m}}{9\mbox{ min}} = 200 \frac{\mbox{m}}{\mbox{min}} \end{equation*}

Y esta velocidad es igual a la velocidad del bote en aguas tranquilas menos la velocidad de la corriente. Vamos a denotar por b la velocidad del bote en aguas tranquilas, y r la velocidad de la corriente del río. Entonces,

    \begin{equation*} b - r = 200 \end{equation*}

Esta es nuestra primera ecuación. La otra ecuación contendrá la información del regreso.

Podemos encontrar la velocidad a la que viajó río abajo dividiendo la distancia entre el tiempo:

    \begin{equation*} v_{\mathrm{reg}} = \displaystyle\frac{1\,800\mbox{ m}}{6\mbox{ min}} = 300 \frac{\mbox{m}}{\mbox{minuto}} \end{equation*}

Y esta velocidad es igual a la velocidad del bote más la velocidad de la corriente del río:

    \begin{equation*} b + r = 300 \end{equation*}

Ahora debemos resolver este S.E.L.:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} b &-& r &=& 200\\ b &+& r &=& 300 \end{array}\]

Para empezar sumamos las dos ecuaciones:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} b &-& \cancel{r} &=& 200\\ b &+& \cancel{r} &=& 300\\\hline 2\,b && &=& 500 \end{array}\]

Esto indica que: b = 250 metros/minuto. Para encontrar r podemos eliminar la otra variable multiplicando la segunda ecuación por -1:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rrrrr} -\cancel{b} &+& r &=& -200\\ \cancel{b} &+& r &=& 300\\\hline && 2\,r &=& 100 \end{array}\]

Es decir, r = 50 metros/minuto. Verificamos que se cumplen las condiciones del problema.

  • Río arriba la corriente hacia parecer que el bote viajaba a 250 - 50 = 200 metros/minuto.
  • Para recorrer 1\,800 metros requiere 9 minutos, ya que viaja 200 metros cada minuto.
  • Río abajo, la corriente hacia parecer que el bote viajaba a 250 + 50 = 300 metros/minuto.
  • Para recorrer 1\,800 metros de regreso se necesitan 6 minutos a esa velocidad.

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