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Método de Determinantes

Aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones lineales a través del método de determinantes.



Ejemplo 3

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} 2\,x &-& 3\,y &=& 7\\ 4\,x &-& 6\,y &=& 0 \end{array}\]

Para resolver este S.E.L. vamos a calcular primero el determinante principal:

    \[\Delta_p = %\detdos{2}{-3}{4}{-6} \left|\begin{array}{rr} 2 & -3\\ 4 & -6 \end{array}\right|  = (2)(-6) - (-3)(4) = (-12) - (-12) = 0\]

Dado que \Delta_p = 0, no podremos encontrar los valores de las variables x e y, porque tendremos división por cero. De aquí se concluye que el S.E.L. no tiene solución única.

Para saber si el S.E.L. tiene un número infinito de soluciones o no tiene solución, calculamos los otros dos determinantes auxiliares:

Empezamos calculando el valor del determinante auxiliar de x:

    \[\Delta_x = %\detdos{7}{-3}{0}{-6} \left|\begin{array}{rr} 7 & -3\\ 0 & -6 \end{array}\right|  = (7)(-6) - (-3)(0) = (-42) - (0) = -42\]

Y ahora calcumamos el determinante auxiliar en y:

    \[\Delta_y = %\detdos{2}{7}{4}{0} \left|\begin{array}{rr} 2 & 7\\ 4 & 0 \end{array}\right|  = (2)(0) - (7)(4) = (0) - (28) = -28\]

En este caso tanto \Delta_x como \Delta_y son distintos de cero, indicando que el S.E.L. no tiene solución. ¿Por qué? Observa que si multiplicamos la primera ecuación del S.E.L. por 2 obtenemos:

    \begin{equation*}    2\,x - 3\,y = 7\qquad\Rightarrow\qquad 4\,x - 6\,y = 14 \end{equation*}

Y al compararla con la segunda ecuación del S.E.L. podemos concluir que se trata de un S.E.L. formado por dos rectas paralelas distintas.

En caso de que los determinantes auxiliares hubieran resultado ser iguales a cero, tendríamos que las dos ecuaciones que forman el S.E.L. serían la misma recta, y el S.E.L. tendría en ese caso un número infinito de soluciones.

Entonces, este S.E.L. no tiene solución.



Ejemplo 4

En la oficina municipal utilizan dos fotocopiadoras para preparar invitaciones para el día de las madres. La máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X. Cuando trabajan juntas producen 19,800 fotocopias en 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de fotocopiado de cada máquina?

Sabemos que la máquina Y produce 600 fotocopias más por hora que la máquina X. Es decir, si x es la velocidad de fotocopiado de la máquina X y y es la velocidad de fotocopiado de la máquina Y, tenemos que:

    \begin{equation*}    y = x + 600 \qquad\Rightarrow\qquad -x + y = 600 \end{equation*}

Por otra parte, sabemos que en 3 horas las dos máquinas trabajando juntas producen 19\,800 fotocopias:

    \begin{equation*}    3\,x + 3\,y = 19\,800 \end{equation*}

Entonces, el S.E.L. que modela nuestro problema es:

    \begin{eqnarray*}    -x + y &=& 600\\    3\,x + 3\,y &=& 19\,800 \end{eqnarray*}

Primero lo escribimos en forma matricial:

    \[\left[ \begin{array}{rr|r}    -1 & 1 & 600\\    3 & 3 & 19\,800 \end{array}\right]\]

Ahora es más fácil encontrar los determinantes:

    \[\Delta_p = %\detdos{-1}{1}{3}{3} \left|\begin{array}{rr} -1 & 1\\ 3 & 3 \end{array}\right|  = (-1)(3) - (1)(3) = (-3) - (3) = -6\]

Dado que \Delta_p\neq0 sabemos que el S.E.L. tiene solución única. Ahora encontramos el determinante auxiliar en x:

    \[\Delta_x = %\detdos{600}{1}{19800}{3} \left|\begin{array}{rr} 600 & 1\\ 19\,800 & 3 \end{array}\right|  = (600)(3) - (1)(19\,800) = (1\,800) - (19\,800) = -18\,000\]

Y el determinante auxiliar en y:

    \[\Delta_y = %\detdos{-1}{600}{3}{19800} \left|\begin{array}{rr} -1 & 600\\ 3 & 19\,800 \end{array}\right|  = (-1)(19\,800) - (600)(3) = (-19\,800) - (1\,800) = -21\,600\]

Y la solución de este S.E.L. es:

    \begin{eqnarray*}    x &=& \displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta_p} = \frac{-18\,000}{-6} = 3\,000\\    y &=& \displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta_p} = \frac{-21\,600}{-6} = 3\,600\\ \end{eqnarray*}

Ahora comprobamos que la solución esté correcta. Es evidente que la solución satisface la primera ecuación:

    \begin{equation*}    y = x + 600 \qquad\Rightarrow\qquad 3\,600 = 3\,000 + 600 \end{equation*}

Ahora verificamos que satisfaga la segunda ecuación:

    \begin{equation*}    3\,x + 3\,y = 19\,800 \qquad\Rightarrow\qquad 3\,(3\,000) + 3\,(3\,600) = 19\,800 \end{equation*}

Con lo que probamos que la velocidad de la fotocopiadora X es de 3\,000 fotocopias por hora y la fotocopiadora Y tiene una velocidad de 3\,600 fotocopias por hora.



Ejemplo 5

En la biblioteca de una primaria encontraron que hay 3 libros de química más que de física y la suma de esos libros es 27. ¿Cuántos libros de cada una de esas materias hay?

Vamos a denotar al número de física con la letra f y los de química por q. Sabemos que si a los libros de física le sumamos 3, obtenemos el número de libros de química:

    \begin{equation*}    q = f + 3 \qquad\Rightarrow\qquad -f + q = 3 \end{equation*}

Por otra parte, sabemos que sumamdos los libros de física y los de química en total son 27:

    \begin{equation*}    f + q = 27 \end{equation*}

Nuestro S.E.L. es:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} -f &+& q &=& 3\\ f &+& q &=& 27 \end{array}\]

Es evidente que este S.E.L. se puede resolver rápidamente por el método de eliminación, pero vamos a probar la solución por el método de determinantes. Ahora escribimos el S.E.L. en su forma matricial:

    \[\left[ \begin{array}{rr|r}    -1 & 1 & 3\\    1 & 1 & 27 \end{array}\right]\]

Para resolver este S.E.L., empezamos calculamos los determinantes:

    \begin{eqnarray*}    \Delta_p &=& %\detdos{-1}{1}{1}{1}\\ \left|\begin{array}{rr} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right|  = (-1)(1) - (1)(1) = (-1) - (-1) = -2\\    \D_f &=& %\detdos{3}{1}{27}{1}\\ \left|\begin{array}{rr} 3 & 1\\ 27 & 1 \end{array}\right|  = (3)(1) - (1)(27) = (3) - (27) = -24\\    \D_q &=& %\detdos{-1}{3}{1}{27}\\ \left|\begin{array}{rr} -1 & 3\\ 1 & 27 \end{array}\right|  = (-1)(27) - (3)(1) = (-27) - (3) = -30 \end{eqnarray*}

Entonces, la solución de este problema es:

    \begin{eqnarray*}    f &=& \displaystyle\frac{\D_f}{\Delta_p} = \frac{-24}{-2} = 12\\    q &=& \displaystyle\frac{\D_q}{\Delta_p} = \frac{-30}{-2} = 15\\ \end{eqnarray*}

Ahora vamos a verificar que esta solución satisface las condiciones del problema:

  • La primera condición: …hay 3 libros de química más que de física, se cumple: 15 = 12 + 3
  • La segunda condición: …la suma de esos libros es 27, también se cumple: 12 + 15 = 27

Cuando encuentres un S.E.L., primero observa qué método de solución te ayuda a resolverlo con el mínimo esfuerzo.

Una buena idea consiste en calcular primero el determinante principal del S.E.L., porque esta información te dirá si tiene solución única (en caso de que \Delta_p\neq0).

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