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Método de Determinantes

Aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones lineales a través del método de determinantes.

Este método es de los más inmediatos, además de que nos ayuda desde el principio a reconocer si un S.E.L. tiene solución única o no. Fue descubierto por Gabriel Cramer (1,704 – 1,752), matemático suizo. Hay evidencia de que esta regla fue usada anteriormente por el Matemático Inglés Colin Maclaurin (1,689 – 1,746).

Para empezar definimos el determinante.


Determinante

Sean a,b,c,d números reales. El arreglo de números:

    \[\left|\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right|\]

se utiliza para denotar al determinante y su valor es igual a: a\,d - b\,c.


Entonces, por definición:

    \[\left|\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right| = a\,d - b\,c\]

Una forma de memorizar el concepto de determinante y cómo calcularlo consiste en observar que multiplicamos las diagonales del arreglo de números, primero la que va de izquierda a derecha (que es la manera como leemos) y de arriba hacia abajo (que nos arroja el primer producto: a\,d), y después multiplicamos los otros dos números que no habíamos considerado: bc y restamos este producto del anterior.

En un S.E.L. podemos tener, por ejemplo:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} a\,x &+& b\,y &=& m\\ c\,x &+& d\,y &=& n \end{array}\]

el cual se puede escribir en forma matricial (en matemáticas, una matriz se define como un arreglo rectangular de números. El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia estos objetos matemáticos, así como los vectores):

    \[\left[ \begin{array}{cc|c} a & b & m\\ c & d & n \end{array}\right]\]

Para obtener la forma matricial de un S.E.L. basta escribir el mismo S.E.L. sin las variables. Es decir, escribimos solamente los coeficientes.

De aquí se definen 3 determinantes:

  • El determinante principal:

        \[\Delta_p = \left|\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right| = a\,d - b\,c\]

  • El determinante auxiliar en x:

        \[\Delta_x =  \left|\begin{array}{cc} m & b\\ n & d \end{array} \right| = m\,d - b\,n\]

  • El determinante auxiliar en y:

        \[\Delta_y =  \left|\begin{array}{cc} a & m\\ c & n \end{array} \right| = a\,n - m\,c\]

Para hacer más fácil las cosas, observa que en el determinante auxiliar de x hemos sustituido los coeficientes de la variable x por el lado derecho de las ecuaciones del S.E.L., y de manera semejante, para el determinante auxiliar de y se han sustituido los coeficientes de la variable y por los números m,n, y el determinante se ha calculado como se definió anteriormente.

A partir de los determinantes podemos encontrar la solución del S.E.L.:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} a\,x &+& b\,y &=& m\\ c\,x &+& d\,y &=& n \end{array}\]

En este caso:

    \[\begin{array}{rcl} x &=& \displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta_p} =  \frac{\left|\begin{array}{cc} m & b\\ n & d \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right|} = \frac{m\,d - b\,n}{a\,d - b\,c}\\ % y &=& \displaystyle\frac{\Delta_y}{\Delta_p} =  \frac{\left|\begin{array}{cc} a & m\\ c & n \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right|} = \frac{a\,n - m\,c}{a\,d - b\,c} \end{array}\]

Para dar evidencia de que esto es verdad, vamos a volver a resolver el siguiente S.E.L.:


Ejemplo 1

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x + y &=& 10\\ x - y &=& 2 \end{array}\]

Primero encontramos el determinante principal:

    \[\Delta_p = %\detdos{1}{1}{1}{-1} \left|\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right|  = (1)(-1) - (1)(1) = (-1) - (1) = -2\]

Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:

    \[\Delta_x = %\detdos{10}{1}{2}{-1} \left|\begin{array}{rr} 10 & 1\\ 2 & -1 \end{array}\right|  = (10)(-1) - (1)(2) = (-10) - (2) = -12\]

Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:

    \[\Delta_y = %\detdos{1}{10}{1}{2} \left|\begin{array}{rr} 1 & 10\\ 1 & 2 \end{array}\right|  = (1)(2) - (10)(1) = (2) - (10) = -8\]

Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:

    \begin{eqnarray*}    x &=& \displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta_p} = \frac{-12}{-2} = 6\\    y &=& \displaystyle\frac{\Delta_y}{\Delta_p} = \frac{-8}{-2} = 4 \end{eqnarray*}

Y ya sabemos que la solución es correcta (Este S.E.L. ya se resolvió por varios métodos. Puedes ver la solución en las lecciones previas).



Ejemplo 2

Resuelve:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} 2\,x &+& y &=& 6\\ x &-& 2\,y &=& 8 \end{array}\]

Calculamos primero el determinante principal:

    \[\Delta_p = %\detdos{2}{1}{1}{-2} \left|\begin{array}{rr} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{array}\right|  = (2)(-2) - (1)(1) = (-4) - (1) = -5\]

Ahora calculamos el determinante auxiliar en x:

    \[\Delta_x = %\detdos{6}{1}{8}{-2} \left|\begin{array}{rr} 6 & 1\\ 8 & -2 \end{array}\right|  = (6)(-2) - (1)(8) = (-12) - (8) = -20\]

Y finalmente calculamos el determinante auxiliar en y:

    \[\Delta_y = %\detdos{2}{6}{1}{8} \left|\begin{array}{rr} 2 & 6\\ 1 & 8 \end{array}\right|  = (2)(8) - (6)(1) = (16) - (6) = 10\]

Ahora podemos calcular la solución del S.E.L.:

    \begin{eqnarray*}    x &=& \displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta_p} = \frac{-20}{-5} = 4\\    y &=& \displaystyle\frac{\Delta_y}{\Delta_p} = \frac{-10}{-5} = -2\\ \end{eqnarray*}

Ahora vamos a verificar que la solución sea correcta:

    \begin{eqnarray*}    2\,x + y = 6\qquad&\Rightarrow&\qquad 2\,(4) + (-2) = 6\\    x - 2\,y = 8\qquad&\Rightarrow&\qquad 4 - 2\,(-2) = 8 \end{eqnarray*}


La ventaja de usar este método consiste en que si el determinante principal es igual a cero, entonces podemos concluir inmediatamente que el S.E.L. no tiene solución única. Es posible que no tenga solución, como es posible que tenga un número infinito de soluciones.


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