Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de despeje

Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

$\begin{equation*} x^2 + 1 = 50 \end{equation*}$

Como se trata de una ecuación incompleta, que carece del término lineal, ( $b = 0$

) podemos resolverla fácilmente con un despeje:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 1 &=& 50\\ x^2 &=& 50 - 1\\ x^2 &=& 49 \end{eqnarray*}$

Ahora observa que tenemos una ecuación equivalente a la inicial. Esta ecuación en palabras nos está diciendo: Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 49. ¿Qué número pensé?

Obviamente, pudo haber pensado el número 7. Pero también es posible que haya pensado el número $-7$ , porque: $(-7)^2 = 49$ . Entonces, las soluciones de la ecuación son: $x = \textcolor{blue}{7}$ , y $x = \textcolor{red}{-7}$ .

Verificación:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 1 = 50 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{blue}{7})^2 + 1 = 50\\ x^2 + 1 = 50 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{red}{-7})^2 + 1 = 50 \end{eqnarray*}$

Ejemplo 2

Encuentra la(s) solución(es) de la siguiente ecuación cuadrática:

$\begin{equation*} 4\,x^2 = 100 \end{equation*}$

En este caso, de nuevo, no aparece de nuevo el término lineal. Para simplificar la ecuación dividimos ambos lados de la igualdad entre 4, y obtenemos:

$\begin{equation*} x^2 = 25 \end{equation*}$

Ahora traducimos a palabras la ecuación: Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 25. ¿Qué número pensé? Pues bien pudo pensar el número 5, como pudo pensar el número $-5$ . Como siempre aparecen dos casos, uno positivo y otro negativo, vamos a hacer el despeje de la siguiente forma:

$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 25\\ x &=& \pm\sqrt{25}\\ x &=& \textcolor{red}{\pm5} \end{eqnarray*}$

Y entenderemos por el símbolo $\pm$ que hay dos soluciones, el primero cuando consideramos el signo $+$ y el segundo cuando consideramos el signo $-$ . Ahora verificamos que la solución sea correcta:

$\begin{eqnarray*} 4\,x^2 = 100 \qquad&\Rightarrow&\qquad 4\,(\textcolor{red}{5})^2 = 100 \\ 4\,x^2 = 100 \qquad&\Rightarrow&\qquad 4\,(\textcolor{red}{-5})^2 = 100 \end{eqnarray*}$

Ahora solamente vamos a hacer el despeje cuando encontremos una ecuación cuadrática sin término lineal.

Ejemplo 3

Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:

$\begin{equation*} 3\,x^2 + 3 = 30 \end{equation*}$

De nuevo, se trata de una ecuación cuadrática incompleta. Vamos a despejar la incógnita $x$

$\begin{eqnarray*} 3\,x^2 + 3 &=& 30\\ 3\,x^2 &=& 30 - 3 = 27\\ x^2 &=& \frac{27}{3} = 9 \end{eqnarray*}$

Ahora sabemos que pensó alguno de los dos números, $x = \pm3$ . Porque al hacer el despeje:

$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 9\\ x &=& \pm\sqrt{9}\\ x &=& \textcolor{red}{\pm3} \end{eqnarray*}$

Verificación:

$\begin{eqnarray*} 3\,x^2 + 3 = 30 \qquad&\Rightarrow&\qquad 3\,(\textcolor{red}{3})^2 + 3 = 30\\ 3\,x^2 + 3 = 30 \qquad&\Rightarrow&\qquad 3\,(\textcolor{red}{-3})^2 + 3 = 30 \end{eqnarray*}$