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Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de despeje

Aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas incompletas a través de un despeje.

Prestamos fáciles y rápidos

Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones.


Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    x^2 + 1 = 50 \end{equation*}

Como se trata de una ecuación incompleta, que carece del término lineal, (b = 0) podemos resolverla fácilmente con un despeje:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + 1 &=& 50\\    x^2 &=& 50 - 1\\    x^2 &=& 49 \end{eqnarray*}

Ahora observa que tenemos una ecuación equivalente a la inicial. Esta ecuación en palabras nos está diciendo: Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 49. ¿Qué número pensé?

Obviamente, pudo haber pensado el número 7. Pero también es posible que haya pensado el número -7, porque: (-7)^2 = 49. Entonces, las soluciones de la ecuación son: x = \textcolor{blue}{7}, y x = \textcolor{red}{-7}.

Verificación:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + 1 = 50 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{blue}{7})^2 + 1 = 50\\    x^2 + 1 = 50 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{red}{-7})^2 + 1 = 50 \end{eqnarray*}



Ejemplo 2

Encuentra la(s) solución(es) de la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    4\,x^2 = 100 \end{equation*}

En este caso, de nuevo, no aparece de nuevo el término lineal. Para simplificar la ecuación dividimos ambos lados de la igualdad entre 4, y obtenemos:

    \begin{equation*}    x^2 = 25 \end{equation*}

Ahora traducimos a palabras la ecuación: Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 25. ¿Qué número pensé? Pues bien pudo pensar el número 5, como pudo pensar el número -5. Como siempre aparecen dos casos, uno positivo y otro negativo, vamos a hacer el despeje de la siguiente forma:

    \begin{eqnarray*}    x^2 &=& 25\\    x &=& \pm\sqrt{25}\\    x &=& \textcolor{red}{\pm5} \end{eqnarray*}

Y entenderemos por el símbolo \pm que hay dos soluciones, el primero cuando consideramos el signo + y el segundo cuando consideramos el signo -. Ahora verificamos que la solución sea correcta:

    \begin{eqnarray*}    4\,x^2 = 100  \qquad&\Rightarrow&\qquad 4\,(\textcolor{red}{5})^2 = 100 \\    4\,x^2 = 100  \qquad&\Rightarrow&\qquad 4\,(\textcolor{red}{-5})^2 = 100 \end{eqnarray*}


Ahora solamente vamos a hacer el despeje cuando encontremos una ecuación cuadrática sin término lineal.


Ejemplo 3

Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    3\,x^2 + 3 = 30 \end{equation*}

De nuevo, se trata de una ecuación cuadrática incompleta. Vamos a despejar la incógnita x:

    \begin{eqnarray*}    3\,x^2 + 3 &=& 30\\    3\,x^2 &=& 30 - 3 = 27\\    x^2 &=& \frac{27}{3} = 9 \end{eqnarray*}

Ahora sabemos que pensó alguno de los dos números, x = \pm3. Porque al hacer el despeje:

    \begin{eqnarray*}    x^2 &=& 9\\    x &=& \pm\sqrt{9}\\    x &=& \textcolor{red}{\pm3} \end{eqnarray*}

Verificación:

    \begin{eqnarray*} 3\,x^2 + 3 = 30 \qquad&\Rightarrow&\qquad 3\,(\textcolor{red}{3})^2 + 3 = 30\\ 3\,x^2 + 3 = 30 \qquad&\Rightarrow&\qquad 3\,(\textcolor{red}{-3})^2 + 3 = 30 \end{eqnarray*}



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