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Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de despeje

Aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas incompletas a través de un despeje.


Ejemplo 4

Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} x^2 + \displaystyle\frac{3}{4} = 1 \end{equation*}

Empezamos haciendo el despeje de la literal:

    \begin{eqnarray*} x^2 &=& 1 - \displaystyle\frac{3}{4} = \frac{1}{4}\\ x &=& \pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}

Ahora aplicamos las leyes de los exponentes y de los radicales:

    \begin{eqnarray*} x &=& \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\left(\frac{1}{4}\right)^{1/2} = \pm\frac{(1)^{1/2}}{(4)^{1/2}} = \pm\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}\\ x &=& \pm\displaystyle\frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Y las soluciones son: x = \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{1}{2}}, y x = \textcolor{red}{-\displaystyle\frac{1}{2}}.

Verificación:

    \begin{eqnarray*} x^2 + \displaystyle\frac{3}{4} = 1 \qquad&\Rightarrow&\qquad \left(\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 + \frac{3}{4} = 1\\ x^2 + \frac{3}{4} = 1 \qquad&\Rightarrow&\qquad \left(\textcolor{red}{-\frac{1}{2}}\right)^2 + \frac{3}{4} = 1 \end{eqnarray*}

Ejemplo 5

Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} x^2 + 5 = 12 \end{equation*}

Despejando la literal x obtenemos:

    \begin{eqnarray*} x^2 + 5 &=& 12\\ x^2 &=& 12 - 5 = 7\\ x &=& \pm\sqrt{7} \end{eqnarray*}

Observa que:

    \begin{equation*} -\sqrt{7}\neq\sqrt{-7} \end{equation*}

Lo cual nos indica que las soluciones de la ecuación son x = \textcolor{blue}{\sqrt{7}}, y x = \textcolor{red}{-\sqrt{7}}.

Verificación:

    \begin{eqnarray*} x^2 + 5 = 12 \qquad&\Rightarrow&\qquad(\textcolor{blue}{\sqrt{7}})^2 + 5 = 12\\ x^2 + 5 = 12 \qquad&\Rightarrow&\qquad(\textcolor{red}{-\sqrt{7}})^2 + 5 = 12 \end{eqnarray*}

Ejemplo 6

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} x^2 + 12 = 5 \end{equation*}

Hacemos el despeje:

    \begin{eqnarray*} x^2 + 12 &=& 5 \\ x^2 &=& 5 - 12 = -7\\ x^2 &=& -7 \end{eqnarray*}

Ahora vamos a traducir lo que esta última igualdad nos dice en palabras: Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve -7. Pero al multiplicar un número positivo por sí mismo obtenemos un numero positivo,
Por otra parte, cuando multiplicamos un número negativo por sí mismo, también obtenemos un resultado positivo.
Esto nos indica que no existe algún número real que al multiplicarse por sí mismo nos dé como resultado un número negativo. Al terminar el despeje obtenemos:

    \begin{eqnarray*} x^2 &=& -7\\ x &=& \pm\sqrt{-7} \end{eqnarray*}

Debido a esto, se crearon los números imaginarios.

Número imaginario

El número i es la unidad imaginaria que tiene la siguiente propiedad:

    \begin{equation*} i^2 = -1\qquad\Rightarrow\qquad i = \sqrt{-1} \end{equation*}

Un número imaginario es un múltiplo de la unidad imaginaria.

Entonces, la solución del último ejemplo puede escribirse de la siguiente manera:

    \begin{eqnarray*} x &=& \pm\sqrt{-7} \\ &=& \pm\sqrt{(-1)(7)} \\ &=& \pm \textcolor{red}{\sqrt{-1}}\sqrt{7}\\ &=& \pm \textcolor{red}{i}\,\sqrt{7} \end{eqnarray*}

Con la propiedad de que i^2 = -1. Observa que estamos aplicando las leyes de los exponentes y de los radicales.

Otra forma de definir al número imaginario i es la siguiente.

Número imaginario

El número imaginario i la solución positiva de la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} x^2 + 1 = 0 \end{equation*}

Porque si despejamos la incógnita, obtenemos:

    \begin{eqnarray*} x^2 + 1 &=& 0\\ x^2 &=& -1\\ x &=& \pm\sqrt{-1} \end{eqnarray*}

La solución positiva es: x = \sqrt{-1}, que es precisamente como definimos al número i. Nosotros podemos sumar un número imaginario con un número real. El resultado es un número complejo.

Número complejo

Es un número que tiene una parte real y una parte imaginaria:

    \begin{equation*} z = a + i\,b \end{equation*}

donde z es un número complejo, a,b\in\mathbb{R}, y el número i es la unidad imaginaria.

Por ejemplo, el número 3 + 2\,i es un número complejo. En este número complejo, 3 es la parte real y 2 es la parte imaginaria.

Ejemplo 7

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*} (x - 5)^2 + 3 = 1 \end{equation*}

Esta ecuación puede expresarse de la forma a\,x^2 + b\,x + c = 0, pero no se trata de una ecuación incompleta. Sin embargo, dado que ya está factorizada en forma de un binomio al cuadrado una parte de la ecuación, es más fácil resolverla a través de un despeje.

    \begin{eqnarray*} (x - 5)^2 + 3 &=& 1\\ (x - 5)^2 &=& 1 - 3 = -2\\ x - 5 &=& \pm\sqrt{-2}\\ x &=& 5 \pm \sqrt{-2} \end{eqnarray*}

Observa que -2 = (-1)(2). Por lo tanto, nos es permitido escribir:

    \begin{eqnarray*} x &=& 5 \pm \sqrt{(-1)(2)}\\ x &=& 5 \pm \textcolor{red}{\sqrt{-1}}\sqrt{2}\\ x &=& 5\pm \textcolor{red}{i}\,\sqrt{2} \end{eqnarray*}

Las soluciones de la ecuación son: x_1 = 5 + i\,\sqrt{2}, y x_2 = 5 - i\,\sqrt{2}.

Entonces, si encuentras una ecuación cuadrática completa que puedes factorizar fácilmente, te conviene, mejor, factorizarla y después hacer un despeje. Este es el método que vamos a estudiar en la siguiente lección.

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