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Solución de ecuaciones cuadráticas: Método de despeje

Aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas incompletas a través de un despeje.

Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones.


Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    x^2 + 1 = 50 \end{equation*}

Como se trata de una ecuación incompleta, que carece del término lineal, (b = 0) podemos resolverla fácilmente con un despeje:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + 1 &=& 50\\    x^2 &=& 50 - 1\\    x^2 &=& 49 \end{eqnarray*}

Ahora observa que tenemos una ecuación equivalente a la inicial. Esta ecuación en palabras nos está diciendo: Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 49. ¿Qué número pensé?

Obviamente, pudo haber pensado el número 7. Pero también es posible que haya pensado el número -7, porque: (-7)^2 = 49. Entonces, las soluciones de la ecuación son: x = \textcolor{blue}{7}, y x = \textcolor{red}{-7}.

Verificación:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + 1 = 50 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{blue}{7})^2 + 1 = 50\\    x^2 + 1 = 50 \qquad&\Rightarrow&\qquad (\textcolor{red}{-7})^2 + 1 = 50 \end{eqnarray*}



Ejemplo 2

Encuentra la(s) solución(es) de la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    4\,x^2 = 100 \end{equation*}

En este caso, de nuevo, no aparece de nuevo el término lineal. Para simplificar la ecuación dividimos ambos lados de la igualdad entre 4, y obtenemos:

    \begin{equation*}    x^2 = 25 \end{equation*}

Ahora traducimos a palabras la ecuación: Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 25. ¿Qué número pensé? Pues bien pudo pensar el número 5, como pudo pensar el número -5. Como siempre aparecen dos casos, uno positivo y otro negativo, vamos a hacer el despeje de la siguiente forma:

    \begin{eqnarray*}    x^2 &=& 25\\    x &=& \pm\sqrt{25}\\    x &=& \textcolor{red}{\pm5} \end{eqnarray*}

Y entenderemos por el símbolo \pm que hay dos soluciones, el primero cuando consideramos el signo + y el segundo cuando consideramos el signo -. Ahora verificamos que la solución sea correcta:

    \begin{eqnarray*}    4\,x^2 = 100  \qquad&\Rightarrow&\qquad 4\,(\textcolor{red}{5})^2 = 100 \\    4\,x^2 = 100  \qquad&\Rightarrow&\qquad 4\,(\textcolor{red}{-5})^2 = 100 \end{eqnarray*}


Ahora solamente vamos a hacer el despeje cuando encontremos una ecuación cuadrática sin término lineal.


Ejemplo 3

Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:

    \begin{equation*}    3\,x^2 + 3 = 30 \end{equation*}

De nuevo, se trata de una ecuación cuadrática incompleta. Vamos a despejar la incógnita x:

    \begin{eqnarray*}    3\,x^2 + 3 &=& 30\\    3\,x^2 &=& 30 - 3 = 27\\    x^2 &=& \frac{27}{3} = 9 \end{eqnarray*}

Ahora sabemos que pensó alguno de los dos números, x = \pm3. Porque al hacer el despeje:

    \begin{eqnarray*}    x^2 &=& 9\\    x &=& \pm\sqrt{9}\\    x &=& \textcolor{red}{\pm3} \end{eqnarray*}

Verificación:

    \begin{eqnarray*} 3\,x^2 + 3 = 30 \qquad&\Rightarrow&\qquad 3\,(\textcolor{red}{3})^2 + 3 = 30\\ 3\,x^2 + 3 = 30 \qquad&\Rightarrow&\qquad 3\,(\textcolor{red}{-3})^2 + 3 = 30 \end{eqnarray*}



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