Máximos y mínimos

Ahora vamos a utilizar las derivadas para resolver problemas de optimización. Frecuentmente nos encontramos con la necesidad de optimizar funciones para resolver problemas. Por ejemplo, para construir una granja rectangular utilizando el mínimo de cerca, necesitamos expresar el perímetro de la granja como una función y encontrar su mínimo. O igual, puede ser que tengamos una cantidad de cerca y deseemos construir la granja que tenga a mayor superficie. En ambos casos necesitamos optimizar (minimizar o maximizar) una cantidad en función de otra.

La cuestión que nos ocupa ahora es calcular el máximo o el mínimo de una función. Nosotros sabemos que la derivada nos dice cómo se comporta localmente una función, es decir, su está creciendo o decreciendo. Cuando la derivada de la función en un punto es positiva, la función está creciendo en ese punto, y cuando la derivada es negativa, está decreciendo.

En este caso la pendiente es negativa. De esto nos podemos dar cuenta de la ecuación de la recta tangente, porque está en su forma pendiente-ordenada al origen:

$\begin{equation*} \textcolor{blue!75!cyan}{y = -\displaystyle\frac{9}{20}\,x + \frac{15}{4}} \end{equation*}$

En este caso la pendiente de la recta es: $m = -9/20$ . Por la simetría de la elipse, si evaluamos la derivada de su ecuación en el punto $P(-3,2.4)$ , obtenemos:

$\begin{equation*} \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=-3,y=2.4} = - \frac{9\,x}{25\,y} = \frac{9\,(-3)}{25\,(2.4)} = \frac{9}{20} \end{equation*}$

El mismo valor, pero con signo contrario. En este caso $y$ crece con respecto a $x$ . En el punto $M(0,3)$ , la elipse tiene un máximo. En ese punto la derivada de la función es igual a cero:

$\begin{equation*} \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=0,y=3} = - \frac{9\,x}{25\,y} = \frac{9\,(0)}{25\,(2.4)} = 0 \end{equation*}$

Observa que un poco antes del punto $M$ , dado que la función es creciente en el intervalo $(-5,0)$ la derivada de la función es positiva. Por otra parte, un poco después del punto $M$ , la derivada es netgativa, porque la función es decreciente en el intervalo $(0,5)$ .

Esa es la forma que debemos esperar de una función que tiene un máximo en un punto $M(x_M, y_M)$ : poco antes la función es creciente y poco después es decreciente. Así, $f(x_m)$ será mayor para todos los valores de $x$ en la cercanía de $x_M$ .

Contenido

1 Máximo local
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Puntos críticos
6 Teorema
7 Ejemplo 4

Máximo local

Sea $y = f(x)$ una función definida en el intervalo $(a,b)$ . Si existe un valor $x_M$ que cumple:

$\begin{equation*} f(x_M) \geq f(x)\mbox{ para toda }x\in(a,b) \end{equation*}$

Entonces, decimos que $x_M$ es el máximo local de la función en el intervalo $(a,b)$ .

Ejemplo 1

Calcula el máximo local de la función:

$\begin{equation*} y = 2 - x^2 \end{equation*}$

en el intervalo $(-2,2)$ .

Empezamos derivando la función para saber cómo se comportan las pendientes:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = -2\,x \end{equation*}$

Para valores de $x < 0$ , la derivada es positiva, es decir, la función es creciente para $x < 0$ . Para valores de $x$ positivos, la pendiente de la recta tangente es negativa, por lo que para $x > 0$ la función decrece. La derivada de la función se hace cero cuando $x = 0$ . En este punto la función deja de crecer y a partir de ahí empieza a decrecer. Es decir, el máximo de la función se encuentra en ese punto. La gráfica de la función nos da esa misma información:

Observa que la recta tangente a la función en el punto $M(0,2)$ es horizontal. Esto se debe a que la función en ese punto deja de crecer y empieza a decrecer. En otras palabras, la derivada de la función cambia de signo en ese punto.

Cuando la derivada de una función se hace cero, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto es horizontal, pues su pendiente vale cero.

Ejemplo 2

Calcula los máximos y mínimos locales de la función:

$\begin{equation*} y = x^3 + x^2 - 6\,x \end{equation*}$

La derivada de la función es:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 + 2\,x - 6 \end{equation*}$

Debemos encontrar los puntos en los cuales la derivada se hace cero:

$\begin{eqnarray*} %\sqf{3}{2}{-6}{x} x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a} \\ &=& \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4\,(3)(-6)}}{2\,(3)} \\ &=& \frac{-2\pm\sqrt{4 - (-72)}}{6} \\ &=& \displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{76}}{6} \end{eqnarray*}$

Entonces, los puntos donde la derivada de la función se hacen cero son:

$\begin{equation*} x_1 = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3}\approx 1.1196 \qquad\mbox{ y }\qquad x_2 = \displaystyle\frac{-1 - \sqrt{19}}{3}\approx -1.7863 \end{equation*}$

La siguiente gráfica muestra la función y algunas rectas tangentes:

De la gráfica se hace evidente que en el intervalo $(-\infty,-1.7863)$ la función es creciente. En el intervalo $(-1.7863,1.1196)$ , la función es decreciente. Y en el intervalo $(1.1196,\infty)$ la función es creciente.

Observa cómo la pendiente de las rectas tangentes a la función cambian de signo después de pasar por un máximo o por un mínimo. Precisamente cuando la pendiente de la recta tangente se hace cero tenemos un máximo o un mínimo de la función.

A partir del ejemplo anterio podemos fácilmente concluir que cuando la derivada de una función es cero, tenemos un máximo un mínimo, pero existe un caso especial.

Ejemplo 3

Calcula los máximos y mínimos de la siguiente función:

$\begin{equation*} y = x^{3} \end{equation*}$

La derivada de esta función es:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 \end{equation*}$

La derivada se hace cero en $x = 0$ . Pero en $(0,0)$ la función ni tiene máximo, ni tiene mínimo:

Observa que a pesar de que la derivada de la función se hace cero en el origen, la función no tiene un máximo ni un mínimo. Esto es así porque la función es creciente en el intervalo $(-\infty,0)$ y también es creciente en $(0,\infty)$ . En otras palabras, la derivada de la función no cambia de signo.

En el origen, la pendiente de la recta tangente es cero. Por eso, la recta tangente a la curva es horizontal. Pero las pendientes de las demás rectas tangentes siempre son positivas.

La función crece antes del origen, deja de crecer en el origen y vuelve a crecer después de él.

Puntos críticos

Un punto crítico de la función $y = f(x)$ es el punto $c$ para el cual $f'(c) = 0$ , o $f'(c)$ no existe.

Por los ejemplos anteriores hemos observado que en un máximo y en un mínimo, la derivada de la función se hace cero. Entonces,

Teorema

Si la función $y = f(x)$ tiene, bien un máximo, bien un mínimo, en $x = c$ , entonces, $f'(c) = 0$ . Es decir, $x = c$ es un punto crítico de la función.

Debes notar, que algunos puntos críticos de una función no son ni máximos ni mínimos de la misma. La función que estudiamos en el ejemplo anterior $y = x^3$ tiene un punto crítico en $x = 0$ , sin embargo, ese punto no es ni máximo ni mínimo de la función. Otro caso particular de los puntos críticos se presenta cuando $f'(c)$ no está definida para algún valor $c$ en el dominio de la función.

Ejemplo 4

Calcula los máximos y mínimos de la función:

$\begin{equation*} y = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \end{equation*}$

La derivada de la función es:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \displaystyle\frac{1}{3}\,x^{-2/3} = \displaystyle\frac{1}{3\,x^{2/3}} = \displaystyle\frac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}} \end{equation*}$

Cuando $x = 0$ , la derivada no está definida. Entonces, $x = 0$ es un punto crítico de la función. Recuerda que las rectas verticales no tienen definida la pendiente. Entonces, en $x = 0$ la función tiene por recta tangente una recta vertical:

Observa que en un punto crítico, la función deja de crecer, o crece infinitamente en ese punto.

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