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Máximos y mínimos

Aprenderás a calcular máximos y mínimos de funciones de una variable.

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Ahora vamos a utilizar las derivadas para resolver problemas de optimización. Frecuentmente nos encontramos con la necesidad de optimizar funciones para resolver problemas. Por ejemplo, para construir una granja rectangular utilizando el mínimo de cerca, necesitamos expresar el perímetro de la granja como una función y encontrar su mínimo. O igual, puede ser que tengamos una cantidad de cerca y deseemos construir la granja que tenga a mayor superficie. En ambos casos necesitamos optimizar (minimizar o maximizar) una cantidad en función de otra.

La cuestión que nos ocupa ahora es calcular el máximo o el mínimo de una función. Nosotros sabemos que la derivada nos dice cómo se comporta localmente una función, es decir, su está creciendo o decreciendo. Cuando la derivada de la función en un punto es positiva, la función está creciendo en ese punto, y cuando la derivada es negativa, está decreciendo.

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En este caso la pendiente es negativa. De esto nos podemos dar cuenta de la ecuación de la recta tangente, porque está en su forma pendiente-ordenada al origen:

    \begin{equation*}    \textcolor{blue!75!cyan}{y = -\displaystyle\frac{9}{20}\,x + \frac{15}{4}} \end{equation*}

En este caso la pendiente de la recta es: m = -9/20. Por la simetría de la elipse, si evaluamos la derivada de su ecuación en el punto P(-3,2.4), obtenemos:

    \begin{equation*}    \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=-3,y=2.4} = - \frac{9\,x}{25\,y} = \frac{9\,(-3)}{25\,(2.4)} = \frac{9}{20} \end{equation*}

El mismo valor, pero con signo contrario. En este caso y crece con respecto a x. En el punto M(0,3), la elipse tiene un máximo. En ese punto la derivada de la función es igual a cero:

    \begin{equation*}    \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x=0,y=3} = - \frac{9\,x}{25\,y} = \frac{9\,(0)}{25\,(2.4)} = 0 \end{equation*}

Observa que un poco antes del punto M, dado que la función es creciente en el intervalo (-5,0) la derivada de la función es positiva. Por otra parte, un poco después del punto M, la derivada es netgativa, porque la función es decreciente en el intervalo (0,5).

Esa es la forma que debemos esperar de una función que tiene un máximo en un punto M(x_M, y_M): poco antes la función es creciente y poco después es decreciente. Así, f(x_m) será mayor para todos los valores de x en la cercanía de x_M.


Máximo local

Sea y = f(x) una función definida en el intervalo (a,b). Si existe un valor x_M que cumple:

    \begin{equation*} f(x_M) \geq f(x)\mbox{ para toda }x\in(a,b) \end{equation*}

Entonces, decimos que x_M es el máximo local de la función en el intervalo (a,b).



Ejemplo

Calcula el máximo local de la función:

    \begin{equation*}    y = 2 - x^2 \end{equation*}

en el intervalo (-2,2).

Empezamos derivando la función para saber cómo se comportan las pendientes:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = -2\,x \end{equation*}

Para valores de x < 0, la derivada es positiva, es decir, la función es creciente para x < 0. Para valores de x positivos, la pendiente de la recta tangente es negativa, por lo que para x > 0 la función decrece. La derivada de la función se hace cero cuando x = 0. En este punto la función deja de crecer y a partir de ahí empieza a decrecer. Es decir, el máximo de la función se encuentra en ese punto. La gráfica de la función nos da esa misma información:

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Observa que la recta tangente a la función en el punto M(0,2) es horizontal. Esto se debe a que la función en ese punto deja de crecer y empieza a decrecer. En otras palabras, la derivada de la función cambia de signo en ese punto.


Cuando la derivada de una función se hace cero, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto es horizontal, pues su pendiente vale cero.


Ejemplo

Calcula los máximos y mínimos locales de la función:

    \begin{equation*}    y = x^3 + x^2 - 6\,x \end{equation*}

La derivada de la función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 + 2\,x - 6 \end{equation*}

Debemos encontrar los puntos en los cuales la derivada se hace cero:

    \begin{eqnarray*}    %\sqf{3}{2}{-6}{x}    x &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,ac}}{2\,a}						\\ 	&=& \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4\,(3)(-6)}}{2\,(3)}	\\ 	&=& \frac{-2\pm\sqrt{4 - (-72)}}{6}		\\ 	&=& \displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{76}}{6} \end{eqnarray*}

Entonces, los puntos donde la derivada de la función se hacen cero son:

    \begin{equation*}    x_1 = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3}\approx 1.1196 \qquad\mbox{ y }\qquad x_2 = \displaystyle\frac{-1 - \sqrt{19}}{3}\approx -1.7863 \end{equation*}

La siguiente gráfica muestra la función y algunas rectas tangentes:

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De la gráfica se hace evidente que en el intervalo (-\infty,-1.7863) la función es creciente. En el intervalo (-1.7863,1.1196), la función es decreciente. Y en el intervalo (1.1196,\infty) la función es creciente.

Observa cómo la pendiente de las rectas tangentes a la función cambian de signo después de pasar por un máximo o por un mínimo. Precisamente cuando la pendiente de la recta tangente se hace cero tenemos un máximo o un mínimo de la función.


A partir del ejemplo anterio podemos fácilmente concluir que cuando la derivada de una función es cero, tenemos un máximo un mínimo, pero existe un caso especial.


Ejemplo

Calcula los máximos y mínimos de la siguiente función:

    \begin{equation*}    y = x^{3} \end{equation*}

La derivada de esta función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 \end{equation*}

La derivada se hace cero en x = 0. Pero en (0,0) la función ni tiene máximo, ni tiene mínimo:

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Observa que a pesar de que la derivada de la función se hace cero en el origen, la función no tiene un máximo ni un mínimo. Esto es así porque la función es creciente en el intervalo (-\infty,0) y también es creciente en (0,\infty). En otras palabras, la derivada de la función no cambia de signo.

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En el origen, la pendiente de la recta tangente es cero. Por eso, la recta tangente a la curva es horizontal. Pero las pendientes de las demás rectas tangentes siempre son positivas.

La función crece antes del origen, deja de crecer en el origen y vuelve a crecer después de él.



Puntos críticos

Un punto crítico de la función y = f(x) es el punto c para el cual f'(c) = 0, o f'(c) no existe.


Por los ejemplos anteriores hemos observado que en un máximo y en un mínimo, la derivada de la función se hace cero. Entonces,


Teorema

Si la función y = f(x) tiene, bien un máximo, bien un mínimo, en x = c, entonces, f'(c) = 0. Es decir, x = c es un punto crítico de la función.


Debes notar, que algunos puntos críticos de una función no son ni máximos ni mínimos de la misma. La función que estudiamos en el ejemplo anterior y = x^3 tiene un punto crítico en x = 0, sin embargo, ese punto no es ni máximo ni mínimo de la función. Otro caso particular de los puntos críticos se presenta cuando f'(c) no está definida para algún valor c en el dominio de la función.


Ejemplo

Calcula los máximos y mínimos de la función:

    \begin{equation*}    y = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \end{equation*}

La derivada de la función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \displaystyle\frac{1}{3}\,x^{-2/3} = \displaystyle\frac{1}{3\,x^{2/3}} = \displaystyle\frac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}} \end{equation*}

Cuando x = 0, la derivada no está definida. Entonces, x = 0 es un punto crítico de la función. Recuerda que las rectas verticales no tienen definida la pendiente. Entonces, en x = 0 la función tiene por recta tangente una recta vertical:

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Observa que en un punto crítico, la función deja de crecer, o crece infinitamente en ese punto.


Ejemplo

Calcula los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    y = x + \frac{1}{x} \end{equation*}

y determina si son máximos o mínimos.

Empezamos graficando la función:

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La gráfica sugiere dos puntos críticos: un máximo con x cerca de -1 y un mínimo con x\approx 1.
Ahora derivamos la función:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2} \end{equation*}

Los puntos críticos representan los puntos donde f'(x) = 0. Vamos a resolver esa ecuación:

    \begin{eqnarray*}    1 - \frac{1}{x^2} = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 1 = \frac{1}{x^2}\\    x^2 = 1\qquad&\Rightarrow&\qquad x_1 = 1\qquad\mbox{ y } \qquad x_2 = -1 \end{eqnarray*}

Observa que cuando x = 0, ni la función ni la derivada están definidas. Entonces, la función tiene dos (+ 1) puntos críticos. Ahora vamos a determinar si se trata de máximos o mínimos o del caso particular. Para eso evaluamos la derivada de la función poco antes y poco después para ver cómo cambia el signo:

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x		&& -2&0 	&& -1&0	&&  -0&5	&& 0&5 	&& 1&0	&&	2&0\\ 	\midrule f(x)	&& -2&5 	&& -2&0	&&	 -2&5	&& 2&5	&& 2&0	&&  2&5\\ f'(x)	&& \textcolor{red}{+}0&75	&&  0&0	&&  \textcolor{red}{-}3&0	&& \textcolor{blue}{-}3&0	&& 0&0 	&&  \textcolor{blue}{+}0&75\\ 	\bottomrule \end{array}\]

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En el punto crítico x = -1, el signo de la derivada cambia de + a -, por lo que concluimos que se trata de un máximo. Ahora, en x = 1, el signo de la derivada cambia de - a +, por lo que debe ser un mínimo. Cuando x = 0 la derivada no está definida, por lo que ahí la función debe decrecer infinitamente. Observa que cuando x está muy cercano a cero, la derivada tiene signo negativo:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow0}{\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)} = 1 - \lim\limits_{x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = -\infty \end{equation*}

Cuando x es muy grande (positivo o negativo), x es mucho más grande que 1/x, así que la función se acerca mucho a la recta: y = x. Por otra parte, cuando x es muy cercano a cero (positivo o negativo), x es muy pequeño comparado con 1/x, así que entonces la función se parece mucho a la hipérbola y = 1/x. Todo esto se debe a que la función es una combinación de las funciones y = x, y y = 1/x.

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Algunas funciones no tienen ni un punto crítico. Por ejemplo, las funciones:

    \begin{eqnarray*}    y = m\,x + b	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = m\qquad(m\neq0)\\    y = e^x			\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = e^x \end{eqnarray*}

En ninguna de ellas podemos resolver la ecuación f'(x) = 0. Por eso no tienen puntos críticos. Por otra parte, algunas funciones tienen un número infinito de números críticos. por ejemplo,

    \begin{eqnarray*}    y = \sin x	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = \cos x\\    y = \cos x	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = -\sin x \end{eqnarray*}

Al ser periódicas, las funciones y = \sin x, y y = \cos x tienen un número infinito de números críticos.


Ejemplo

Calcula los puntos críticos de la función racional:

    \begin{equation*}    y = \frac{x}{x^2 + 1} \end{equation*}

y determina si son máximos o mínimos.

Empezamos derivando la función. En este caso debemos utilizar la regla para derivar el cociente de dos funciones:

    \begin{equation*}    \frac{d(u/v)}{dx} = \frac{v\cdot\dydxf{u} - u\cdot\dydxf{v}}{v^2} \end{equation*}

Definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = x		\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{du}{dx} = 1\\    v = x^2 + 1	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dv}{dx} = 2\,x \end{eqnarray*}

Al sustituir en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{\left(x^2 + 1\right)\cdot(1) - (x)\cdot(2\,x)}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ 	&=& \frac{x^2 + 1 - 2\,x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ 	&=& \frac{1 - x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2} \end{eqnarray*}

Para calcular los puntos críticos debemos igualar a cero la derivada y resolver:

    \begin{equation*}    \frac{1 - x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad    1 - x^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \pm 1 \end{equation*}

Ahora conocemos los puntos críticos. Vamos a determinar si se trata de máximo o mínimo usando el signo de la derivada.

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x		&& -2&0 	&& -1&0	&&  -0&5	&& 0&5 	&& 1&0	&&	2&0\\ 	\midrule f(x)	&& -0&4 	&& -0&5	&&	 -0&4	&& 0&4	&& 0&5	&&  0&4\\ f'(x)	&& \textcolor{red}{-}0&12	&&  0&0	&&  \textcolor{red}{+}0&48	&& \textcolor{blue}{+}0&48	&& 0&0 	&&  \textcolor{blue}{-}0&12\\ 	\bottomrule \end{array}\]

Es fácil ver que la función pasa por el origen de coordenadas. La información conocida de esta función se muestra en la gráfica siguiente:

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En el punto crítico x = -1 tenemos un mínimo, porque la derivada de la función cambia de signo de - a +. En x = 1 tenemos un máximo, ahí la derivada de la función cambia de + a -. Se te queda como ejercicio graficar la función.



Ejemplo

Calcula los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \end{equation*}

y grafícala.

De nuevo, aplicamos la regla para derivar el cociente de dos funciones. Definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = x^2 + 1	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{du}{dx} = 2\,x\\    v = x - 1	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dv}{dx} = 1 \end{eqnarray*}

Sustituyendo en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{(x - 1)\cdot (2\,x) - \left(x^2 + 1\right)\cdot(1)}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{2\,x^2 - 2\,x - x^2 - 1}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{x^2 - 2\,x - 1}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{x^2 - 2\,x + 1 - 2}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{(x - 1)^2 - 2}{(x - 1)^2}\\ 	&=& 1 - \frac{2}{(x - 1)^2} \end{eqnarray*}

Igualamos a cero y resolvemos para calcular los puntos críticos:

    \begin{eqnarray*}    1 - \frac{2}{(x - 1)^2} &=& 0 \\    1 &=& \frac{2}{(x - 1)^2}\\    (x - 1)^2 &=& 2\\    x - 1 &=& \pm\sqrt{2}\\    x &=& 1 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}

Ahora nos vamos a la tabla para ver cómo cambia de signo la derivada alrededor de los puntos críticos.
Para la tabla conviene más usar: 1 - \sqrt{2} \approx  -0.4142, y 1 + \sqrt{2} \approx  2.4142

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x		&& -2&0 				&& -0&4142	&&  -0&25			&& 2&0 			&& 2&4142	&&	3&0				\\ 	\midrule f(x)	&& -0&4 				&& -0&828	&&	 -0&85			&& 5&0			&& 4&828		&&  5&0				\\ f'(x)	&& \textcolor{red}{+}0&778	&&  0&0		&&  \textcolor{red}{-}0&28	&& \textcolor{blue}{-}1&0	&& 0&0 		&&  \textcolor{blue}{+}0&5		\\ 	\bottomrule \end{array}\]

En el punto crítico x = 1 - \sqrt{2} el signo de la derivada cambia de + a -, por lo que es un máximo. En x = 1 + \sqrt{2} el signo de la derivada va de - a +, por lo que es un mínimo. Observa que la derivada no está definida para x = 1, porque aparece en el denominador. Entonces, éste es otro punto crítico de la función. De hecho, la recta x = 1 es una asíntota de la gráfica de la función:

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Entonces, para calcular los máximos y mínimos locales de una función:

  • 1. Derivamos la función.
  • 2. Resolvemos f'(x) = 0 para encontrar los puntos críticos (x = c) de y = f(x).
  • 3. Evaluamos la derivada de la función a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico.
    • i Si f'(c) > 0 a la izquierda y f'(c) < 0 a la derecha, x = c es un máximo.
    • ii Si f'(c) < 0 a la izquierda y f'(c) > 0 a la derecha, x = c es un mínimo.
    • iii Si f'(c) tiene el mismo signo a la izquierda como a laderecha, x = c no es ni máximo ni mínimo.

Ejemplo

Calcula los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    y = e^{-x^2} = \frac{1}{e^{x^2}} \end{equation*}

Empezamos calculando la derivada de la función:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = e^{-x^2}\cdot(-2\,x) = -2\,xe^{-x^2} \end{equation*}

Para que la derivada se haga cero se requiere que x = 0. Entonces, esta función solamente tiene un punto crítico. A la izquierda del punto crítico (x < 0), la derivada es positiva y a la derecha (x > 0) es negativa. Esto nos sugiere que la función es creciente en el intervalo (-\infty,0) y decreciente en el intervalo (0,\infty).

Como el signo de la derivada va de + a -, el punto crítico x = 0 es un máximo. Además, cuando x = 0, y = 1, porque e^{0} = 1. Enseguida se muestra la gráfica de la función:

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