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Máximos y mínimos

Aprenderás a calcular máximos y mínimos de funciones de una variable.

Contenido

1 Ejemplo 5
2 Ejemplo 6
3 Ejemplo 7
4 Ejemplo 8

Ejemplo 5

Calcula los puntos críticos de la función:

$\begin{equation*} y = x + \frac{1}{x} \end{equation*}$

y determina si son máximos o mínimos.

Empezamos graficando la función:

La gráfica sugiere dos puntos críticos: un máximo con $x$ cerca de $-1$ y un mínimo con $x\approx 1$ .
Ahora derivamos la función:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2} \end{equation*}$

Los puntos críticos representan los puntos donde $f'(x) = 0$ . Vamos a resolver esa ecuación:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 1 = \frac{1}{x^2}\\ x^2 = 1\qquad&\Rightarrow&\qquad x_1 = 1\qquad\mbox{ y } \qquad x_2 = -1 \end{eqnarray*}$

Observa que cuando $x = 0$ , ni la función ni la derivada están definidas. Entonces, la función tiene dos ( $+ 1$ ) puntos críticos. Ahora vamos a determinar si se trata de máximos o mínimos o del caso particular. Para eso evaluamos la derivada de la función poco antes y poco después para ver cómo cambia el signo:

$\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x && -2&0 && -1&0 && -0&5 && 0&5 && 1&0 && 2&0\\ \midrule f(x) && -2&5 && -2&0 && -2&5 && 2&5 && 2&0 && 2&5\\ f'(x) && \textcolor{red}{+}0&75 && 0&0 && \textcolor{red}{-}3&0 && \textcolor{blue}{-}3&0 && 0&0 && \textcolor{blue}{+}0&75\\ \bottomrule \end{array}$

En el punto crítico $x = -1$ , el signo de la derivada cambia de $+$ a $-$ , por lo que concluimos que se trata de un máximo. Ahora, en $x = 1$ , el signo de la derivada cambia de $-$ a $+$ , por lo que debe ser un mínimo. Cuando $x = 0$ la derivada no está definida, por lo que ahí la función debe decrecer infinitamente. Observa que cuando $x$ está muy cercano a cero, la derivada tiene signo negativo:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow0}{\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)} = 1 - \lim\limits_{x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = -\infty \end{equation*}$

Cuando $x$ es muy grande (positivo o negativo), $x$ es mucho más grande que $1/x$ , así que la función se acerca mucho a la recta: $y = x$ . Por otra parte, cuando $x$ es muy cercano a cero (positivo o negativo), $x$ es muy pequeño comparado con $1/x$ , así que entonces la función se parece mucho a la hipérbola $y = 1/x$ . Todo esto se debe a que la función es una combinación de las funciones $y = x$ , y $y = 1/x$ .

Algunas funciones no tienen ni un punto crítico. Por ejemplo, las funciones:

$\begin{eqnarray*} y = m\,x + b \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = m\qquad(m\neq0)\\ y = e^x \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = e^x \end{eqnarray*}$

En ninguna de ellas podemos resolver la ecuación $f'(x) = 0$ . Por eso no tienen puntos críticos. Por otra parte, algunas funciones tienen un número infinito de números críticos. por ejemplo,

$\begin{eqnarray*} y = \sin x \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = \cos x\\ y = \cos x \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = -\sin x \end{eqnarray*}$

Al ser periódicas, las funciones $y = \sin x$ , y $y = \cos x$ tienen un número infinito de números críticos.

Ejemplo 6

Calcula los puntos críticos de la función racional:

$\begin{equation*} y = \frac{x}{x^2 + 1} \end{equation*}$

y determina si son máximos o mínimos.

Empezamos derivando la función. En este caso debemos utilizar la regla para derivar el cociente de dos funciones:

$\begin{equation*} \frac{d(u/v)}{dx} = \frac{v\cdot\dydxf{u} - u\cdot\dydxf{v}}{v^2} \end{equation*}$

Definimos:

$\begin{eqnarray*} u = x \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{du}{dx} = 1\\ v = x^2 + 1 \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dv}{dx} = 2\,x \end{eqnarray*}$

Al sustituir en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{\left(x^2 + 1\right)\cdot(1) - (x)\cdot(2\,x)}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ &=& \frac{x^2 + 1 - 2\,x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ &=& \frac{1 - x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2} \end{eqnarray*}$

Para calcular los puntos críticos debemos igualar a cero la derivada y resolver:

$\begin{equation*} \frac{1 - x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad 1 - x^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \pm 1 \end{equation*}$

Ahora conocemos los puntos críticos. Vamos a determinar si se trata de máximo o mínimo usando el signo de la derivada.

$\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x && -2&0 && -1&0 && -0&5 && 0&5 && 1&0 && 2&0\\ \midrule f(x) && -0&4 && -0&5 && -0&4 && 0&4 && 0&5 && 0&4\\ f'(x) && \textcolor{red}{-}0&12 && 0&0 && \textcolor{red}{+}0&48 && \textcolor{blue}{+}0&48 && 0&0 && \textcolor{blue}{-}0&12\\ \bottomrule \end{array}$

Es fácil ver que la función pasa por el origen de coordenadas. La información conocida de esta función se muestra en la gráfica siguiente:

En el punto crítico $x = -1$ tenemos un mínimo, porque la derivada de la función cambia de signo de $-$ a $+$ . En $x = 1$ tenemos un máximo, ahí la derivada de la función cambia de $+$ a $-$ . Se te queda como ejercicio graficar la función.

Ejemplo 7

Calcula los puntos críticos de la función:

$\begin{equation*} y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \end{equation*}$

y grafícala.

De nuevo, aplicamos la regla para derivar el cociente de dos funciones. Definimos:

$\begin{eqnarray*} u = x^2 + 1 \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{du}{dx} = 2\,x\\ v = x - 1 \qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dv}{dx} = 1 \end{eqnarray*}$

Sustituyendo en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{(x - 1)\cdot (2\,x) - \left(x^2 + 1\right)\cdot(1)}{(x + 1)^2}\\ &=& \frac{2\,x^2 - 2\,x - x^2 - 1}{(x + 1)^2}\\ &=& \frac{x^2 - 2\,x - 1}{(x + 1)^2}\\ &=& \frac{x^2 - 2\,x + 1 - 2}{(x + 1)^2}\\ &=& \frac{(x - 1)^2 - 2}{(x - 1)^2}\\ &=& 1 - \frac{2}{(x - 1)^2} \end{eqnarray*}$

Igualamos a cero y resolvemos para calcular los puntos críticos:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{2}{(x - 1)^2} &=& 0 \\ 1 &=& \frac{2}{(x - 1)^2}\\ (x - 1)^2 &=& 2\\ x - 1 &=& \pm\sqrt{2}\\ x &=& 1 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ahora nos vamos a la tabla para ver cómo cambia de signo la derivada alrededor de los puntos críticos.
Para la tabla conviene más usar: $1 - \sqrt{2} \approx -0.4142$ , y $1 + \sqrt{2} \approx 2.4142$

$\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x && -2&0 && -0&4142 && -0&25 && 2&0 && 2&4142 && 3&0 \\ \midrule f(x) && -0&4 && -0&828 && -0&85 && 5&0 && 4&828 && 5&0 \\ f'(x) && \textcolor{red}{+}0&778 && 0&0 && \textcolor{red}{-}0&28 && \textcolor{blue}{-}1&0 && 0&0 && \textcolor{blue}{+}0&5 \\ \bottomrule \end{array}$

En el punto crítico $x = 1 - \sqrt{2}$ el signo de la derivada cambia de $+$ a $-$ , por lo que es un máximo. En $x = 1 + \sqrt{2}$ el signo de la derivada va de $-$ a $+$ , por lo que es un mínimo. Observa que la derivada no está definida para $x = 1$ , porque aparece en el denominador. Entonces, éste es otro punto crítico de la función. De hecho, la recta $x = 1$ es una asíntota de la gráfica de la función:

Entonces, para calcular los máximos y mínimos locales de una función:

1. Derivamos la función.
2. Resolvemos $f'(x) = 0$ para encontrar los puntos críticos ( $x = c$ ) de $y = f(x)$ .
3. Evaluamos la derivada de la función a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico.
- i Si $f'(c) > 0$ a la izquierda y $f'(c) < 0$ a la derecha, $x = c$ es un máximo.
- ii Si $f'(c) < 0$ a la izquierda y $f'(c) > 0$ a la derecha, $x = c$ es un mínimo.
- iii Si $f'(c)$ tiene el mismo signo a la izquierda como a la derecha, $x = c$ no es ni máximo ni mínimo.

Ejemplo 8

Calcula los puntos críticos de la función:

$\begin{equation*} y = e^{-x^2} = \frac{1}{e^{x^2}} \end{equation*}$

Empezamos calculando la derivada de la función:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = e^{-x^2}\cdot(-2\,x) = -2\,xe^{-x^2} \end{equation*}$

Para que la derivada se haga cero se requiere que $x = 0$ . Entonces, esta función solamente tiene un punto crítico. A la izquierda del punto crítico ( $x < 0$ ), la derivada es positiva y a la derecha ( $x > 0$ ) es negativa. Esto nos sugiere que la función es creciente en el intervalo $(-\infty,0)$ y decreciente en el intervalo $(0,\infty)$ .

Como el signo de la derivada va de $+$ a $-$ , el punto crítico $x = 0$ es un máximo. Además, cuando $x = 0$ , $y = 1$ , porque $e^{0} = 1$ . Enseguida se muestra la gráfica de la función:

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