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Máximos y mínimos

Aprenderás a calcular máximos y mínimos de funciones de una variable.



Ejemplo 5

Calcula los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    y = x + \frac{1}{x} \end{equation*}

y determina si son máximos o mínimos.

Empezamos graficando la función:

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La gráfica sugiere dos puntos críticos: un máximo con x cerca de -1 y un mínimo con x\approx 1.
Ahora derivamos la función:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2} \end{equation*}

Los puntos críticos representan los puntos donde f'(x) = 0. Vamos a resolver esa ecuación:

    \begin{eqnarray*}    1 - \frac{1}{x^2} = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 1 = \frac{1}{x^2}\\    x^2 = 1\qquad&\Rightarrow&\qquad x_1 = 1\qquad\mbox{ y } \qquad x_2 = -1 \end{eqnarray*}

Observa que cuando x = 0, ni la función ni la derivada están definidas. Entonces, la función tiene dos (+ 1) puntos críticos. Ahora vamos a determinar si se trata de máximos o mínimos o del caso particular. Para eso evaluamos la derivada de la función poco antes y poco después para ver cómo cambia el signo:

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x		&& -2&0 	&& -1&0	&&  -0&5	&& 0&5 	&& 1&0	&&	2&0\\ 	\midrule f(x)	&& -2&5 	&& -2&0	&&	 -2&5	&& 2&5	&& 2&0	&&  2&5\\ f'(x)	&& \textcolor{red}{+}0&75	&&  0&0	&&  \textcolor{red}{-}3&0	&& \textcolor{blue}{-}3&0	&& 0&0 	&&  \textcolor{blue}{+}0&75\\ 	\bottomrule \end{array}\]

En el punto crítico x = -1, el signo de la derivada cambia de + a -, por lo que concluimos que se trata de un máximo. Ahora, en x = 1, el signo de la derivada cambia de - a +, por lo que debe ser un mínimo. Cuando x = 0 la derivada no está definida, por lo que ahí la función debe decrecer infinitamente. Observa que cuando x está muy cercano a cero, la derivada tiene signo negativo:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow0}{\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)} = 1 - \lim\limits_{x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = -\infty \end{equation*}

Cuando x es muy grande (positivo o negativo), x es mucho más grande que 1/x, así que la función se acerca mucho a la recta: y = x. Por otra parte, cuando x es muy cercano a cero (positivo o negativo), x es muy pequeño comparado con 1/x, así que entonces la función se parece mucho a la hipérbola y = 1/x. Todo esto se debe a que la función es una combinación de las funciones y = x, y y = 1/x.

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Algunas funciones no tienen ni un punto crítico. Por ejemplo, las funciones:

    \begin{eqnarray*}    y = m\,x + b	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = m\qquad(m\neq0)\\    y = e^x			\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = e^x \end{eqnarray*}

En ninguna de ellas podemos resolver la ecuación f'(x) = 0. Por eso no tienen puntos críticos. Por otra parte, algunas funciones tienen un número infinito de números críticos. por ejemplo,

    \begin{eqnarray*}    y = \sin x	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = \cos x\\    y = \cos x	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dy}{dx} = -\sin x \end{eqnarray*}

Al ser periódicas, las funciones y = \sin x, y y = \cos x tienen un número infinito de números críticos.


Ejemplo 6

Calcula los puntos críticos de la función racional:

    \begin{equation*}    y = \frac{x}{x^2 + 1} \end{equation*}

y determina si son máximos o mínimos.

Empezamos derivando la función. En este caso debemos utilizar la regla para derivar el cociente de dos funciones:

    \begin{equation*}    \frac{d(u/v)}{dx} = \frac{v\cdot\dydxf{u} - u\cdot\dydxf{v}}{v^2} \end{equation*}

Definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = x		\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{du}{dx} = 1\\    v = x^2 + 1	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dv}{dx} = 2\,x \end{eqnarray*}

Al sustituir en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{\left(x^2 + 1\right)\cdot(1) - (x)\cdot(2\,x)}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ 	&=& \frac{x^2 + 1 - 2\,x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2}\\ 	&=& \frac{1 - x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2} \end{eqnarray*}

Para calcular los puntos críticos debemos igualar a cero la derivada y resolver:

    \begin{equation*}    \frac{1 - x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad    1 - x^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \pm 1 \end{equation*}

Ahora conocemos los puntos críticos. Vamos a determinar si se trata de máximo o mínimo usando el signo de la derivada.

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x		&& -2&0 	&& -1&0	&&  -0&5	&& 0&5 	&& 1&0	&&	2&0\\ 	\midrule f(x)	&& -0&4 	&& -0&5	&&	 -0&4	&& 0&4	&& 0&5	&&  0&4\\ f'(x)	&& \textcolor{red}{-}0&12	&&  0&0	&&  \textcolor{red}{+}0&48	&& \textcolor{blue}{+}0&48	&& 0&0 	&&  \textcolor{blue}{-}0&12\\ 	\bottomrule \end{array}\]

Es fácil ver que la función pasa por el origen de coordenadas. La información conocida de esta función se muestra en la gráfica siguiente:

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En el punto crítico x = -1 tenemos un mínimo, porque la derivada de la función cambia de signo de - a +. En x = 1 tenemos un máximo, ahí la derivada de la función cambia de + a -. Se te queda como ejercicio graficar la función.



Ejemplo 7

Calcula los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \end{equation*}

y grafícala.

De nuevo, aplicamos la regla para derivar el cociente de dos funciones. Definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = x^2 + 1	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{du}{dx} = 2\,x\\    v = x - 1	\qquad & \Rightarrow & \qquad \frac{dv}{dx} = 1 \end{eqnarray*}

Sustituyendo en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{(x - 1)\cdot (2\,x) - \left(x^2 + 1\right)\cdot(1)}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{2\,x^2 - 2\,x - x^2 - 1}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{x^2 - 2\,x - 1}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{x^2 - 2\,x + 1 - 2}{(x + 1)^2}\\ 	&=& \frac{(x - 1)^2 - 2}{(x - 1)^2}\\ 	&=& 1 - \frac{2}{(x - 1)^2} \end{eqnarray*}

Igualamos a cero y resolvemos para calcular los puntos críticos:

    \begin{eqnarray*}    1 - \frac{2}{(x - 1)^2} &=& 0 \\    1 &=& \frac{2}{(x - 1)^2}\\    (x - 1)^2 &=& 2\\    x - 1 &=& \pm\sqrt{2}\\    x &=& 1 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}

Ahora nos vamos a la tabla para ver cómo cambia de signo la derivada alrededor de los puntos críticos.
Para la tabla conviene más usar: 1 - \sqrt{2} \approx  -0.4142, y 1 + \sqrt{2} \approx  2.4142

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}l}\toprule x		&& -2&0 				&& -0&4142	&&  -0&25			&& 2&0 			&& 2&4142	&&	3&0				\\ 	\midrule f(x)	&& -0&4 				&& -0&828	&&	 -0&85			&& 5&0			&& 4&828		&&  5&0				\\ f'(x)	&& \textcolor{red}{+}0&778	&&  0&0		&&  \textcolor{red}{-}0&28	&& \textcolor{blue}{-}1&0	&& 0&0 		&&  \textcolor{blue}{+}0&5		\\ 	\bottomrule \end{array}\]

En el punto crítico x = 1 - \sqrt{2} el signo de la derivada cambia de + a -, por lo que es un máximo. En x = 1 + \sqrt{2} el signo de la derivada va de - a +, por lo que es un mínimo. Observa que la derivada no está definida para x = 1, porque aparece en el denominador. Entonces, éste es otro punto crítico de la función. De hecho, la recta x = 1 es una asíntota de la gráfica de la función:

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Entonces, para calcular los máximos y mínimos locales de una función:

  • 1. Derivamos la función.
  • 2. Resolvemos f'(x) = 0 para encontrar los puntos críticos (x = c) de y = f(x).
  • 3. Evaluamos la derivada de la función a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico.
    • i Si f'(c) > 0 a la izquierda y f'(c) < 0 a la derecha, x = c es un máximo.
    • ii Si f'(c) < 0 a la izquierda y f'(c) > 0 a la derecha, x = c es un mínimo.
    • iii Si f'(c) tiene el mismo signo a la izquierda como a la derecha, x = c no es ni máximo ni mínimo.

Ejemplo 8

Calcula los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*}    y = e^{-x^2} = \frac{1}{e^{x^2}} \end{equation*}

Empezamos calculando la derivada de la función:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = e^{-x^2}\cdot(-2\,x) = -2\,xe^{-x^2} \end{equation*}

Para que la derivada se haga cero se requiere que x = 0. Entonces, esta función solamente tiene un punto crítico. A la izquierda del punto crítico (x < 0), la derivada es positiva y a la derecha (x > 0) es negativa. Esto nos sugiere que la función es creciente en el intervalo (-\infty,0) y decreciente en el intervalo (0,\infty).

Como el signo de la derivada va de + a -, el punto crítico x = 0 es un máximo. Además, cuando x = 0, y = 1, porque e^{0} = 1. Enseguida se muestra la gráfica de la función:

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