Ejemplo 5
Calcula los puntos críticos de la función:
y determina si son máximos o mínimos.
Empezamos graficando la función:
La gráfica sugiere dos puntos críticos: un máximo con cerca de
y un mínimo con
.
Ahora derivamos la función:
Los puntos críticos representan los puntos donde . Vamos a resolver esa ecuación:
Observa que cuando , ni la función ni la derivada están definidas. Entonces, la función tiene dos (
) puntos críticos. Ahora vamos a determinar si se trata de máximos o mínimos o del caso particular. Para eso evaluamos la derivada de la función poco antes y poco después para ver cómo cambia el signo:
En el punto crítico , el signo de la derivada cambia de
a
, por lo que concluimos que se trata de un máximo. Ahora, en
, el signo de la derivada cambia de
a
, por lo que debe ser un mínimo. Cuando
la derivada no está definida, por lo que ahí la función debe decrecer infinitamente. Observa que cuando
está muy cercano a cero, la derivada tiene signo negativo:
Cuando es muy grande (positivo o negativo),
es mucho más grande que
, así que la función se acerca mucho a la recta:
. Por otra parte, cuando
es muy cercano a cero (positivo o negativo),
es muy pequeño comparado con
, así que entonces la función se parece mucho a la hipérbola
. Todo esto se debe a que la función es una combinación de las funciones
, y
.
Algunas funciones no tienen ni un punto crítico. Por ejemplo, las funciones:
En ninguna de ellas podemos resolver la ecuación . Por eso no tienen puntos críticos. Por otra parte, algunas funciones tienen un número infinito de números críticos. por ejemplo,
Al ser periódicas, las funciones , y
tienen un número infinito de números críticos.
Ejemplo 6
Calcula los puntos críticos de la función racional:
y determina si son máximos o mínimos.
Empezamos derivando la función. En este caso debemos utilizar la regla para derivar el cociente de dos funciones:
Definimos:
Al sustituir en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:
Para calcular los puntos críticos debemos igualar a cero la derivada y resolver:
Ahora conocemos los puntos críticos. Vamos a determinar si se trata de máximo o mínimo usando el signo de la derivada.
Es fácil ver que la función pasa por el origen de coordenadas. La información conocida de esta función se muestra en la gráfica siguiente:
En el punto crítico tenemos un mínimo, porque la derivada de la función cambia de signo de
a
. En
tenemos un máximo, ahí la derivada de la función cambia de
a
. Se te queda como ejercicio graficar la función.
Ejemplo 7
Calcula los puntos críticos de la función:
y grafícala.
De nuevo, aplicamos la regla para derivar el cociente de dos funciones. Definimos:
Sustituyendo en la regla de derivación correspondiente, obtenemos:
Igualamos a cero y resolvemos para calcular los puntos críticos:
Ahora nos vamos a la tabla para ver cómo cambia de signo la derivada alrededor de los puntos críticos.
Para la tabla conviene más usar: , y
En el punto crítico el signo de la derivada cambia de
a
, por lo que es un máximo. En
el signo de la derivada va de
a
, por lo que es un mínimo. Observa que la derivada no está definida para
, porque aparece en el denominador. Entonces, éste es otro punto crítico de la función. De hecho, la recta
es una asíntota de la gráfica de la función:
Entonces, para calcular los máximos y mínimos locales de una función:
- 1. Derivamos la función.
- 2. Resolvemos
para encontrar los puntos críticos (
) de
.
- 3. Evaluamos la derivada de la función a la izquierda y a la derecha de cada punto crítico.
- i Si
a la izquierda y
a la derecha,
es un máximo.
- ii Si
a la izquierda y
a la derecha,
es un mínimo.
- iii Si
tiene el mismo signo a la izquierda como a la derecha,
no es ni máximo ni mínimo.
- i Si
Ejemplo 8
Calcula los puntos críticos de la función:
Empezamos calculando la derivada de la función:
Para que la derivada se haga cero se requiere que . Entonces, esta función solamente tiene un punto crítico. A la izquierda del punto crítico (
), la derivada es positiva y a la derecha (
) es negativa. Esto nos sugiere que la función es creciente en el intervalo
y decreciente en el intervalo
.
Como el signo de la derivada va de a
, el punto crítico
es un máximo. Además, cuando
,
, porque
. Enseguida se muestra la gráfica de la función:
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