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Máximos y mínimos: criterio de la segunda derivada

Aprenderás a clasificar los puntos críticos de una función como máximos, mínimos o puntos de inflexión con base en la segunda derivada.
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Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular los máximos y mínimos de funciones. Ya vimos que la función y = 2 - x^2 tiene un máximo en el punto x = 0.

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De la gráfica se observa inmediatamente que la pendiente de las rectas tangentes va disminuyendo conforme avanzamos sobre el eje x. Esto es claro al observar que para valores de x negativos, las pendientes de las rectas tangentes son positivas, y para valores de x positivos las rectas tangentes son negativas. Esto significa que la razón de cambio de la derivada de la función en el intervalo que vemos en la gráfica es negativa, pues las pendientes van decreciendo. En conclusión, si la segunda derivada de la función evaluada en un punto crítico es negativa, entonces el punto crítico corresponde a un máximo.

Un análisis semejante puede ayudarte a convencerte que si la segunda derivada de una función en un punto crítico es
positiva, entonces el punto crítico es un mínimo de la función. Pero tenemos un caso especial. Cuando el valor de la segunda derivada de la función evaluada en el punto crítico es cero. En este punto, la derivada deja crecer (o decrecer) y empieza a decrecer (o crecer). A este punto crítico lo llmaremos punto de inflexión.

Criterio de la segunda derivada

Sea y = f(x) una función y x_c uno de sus puntos críticos. Entonces,

  • si f''(x_c) < 0, la función tiene un máximo en x = x_c
  • si f''(x_c) > 0, la función tiene un máximo en x = x_c
  • si f''(x_c) = 0, la función tiene un punto de inflexión en x = x_c

Ejemplo 1

Utiliza el criterio de la segunda derivada para verificar que el punto crítico x = 0 de la función:

    \begin{equation*} y = 2 - x^2 \end{equation*}

es un máximo.

Si la segunda derivada evaluada en x = 0 es negativo, tenemos que la pendiente está decreciendo alrededor de ese punto crítico. Es decir, antes de x = 0 la pendiente es positiva y después es negativa. La segunda derivada de la función es:

    \begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -2 \end{equation*}

La segunda derivada de la función siempre es negativa. Entonces, el único punto crítico de la función es un máximo.

Ejemplo 2

Calcula los máximos y mínimos de la función:

    \begin{equation*} y = \frac{3}{5}\,{x}^{5}-\frac{2}{3}\,{x}^{3}-12\,x \end{equation*}

La primera derivada de la función:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 3\,x^4 - 2\,x^2 - 12 \end{equation*}

Igualando a cero la primera derivada obtenemos una ecuación de cuarto grado. Podemos utilizar la sustitución: u = x^2 para simplificarla a una ecuación de segundo grado:

    \begin{equation*} 3\,u^2 - 2\,u - 12 = 0 \end{equation*}

Ahora vamos a resolver la ecuación:

    \begin{eqnarray*} u &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(-2) \pm\sqrt{(-2)^2 - 4\,(3)(-12)}}{2\,(3)}\\ &=& \frac{2\pm\sqrt{4 - (-144)}}{6}\\ &=& \frac{2\pm\sqrt{148}}{6} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} u_1 = \frac{2 + \sqrt{148}}{6}\qquad\mbox{ y }\qquad u_2 = \frac{2 - \sqrt{148}}{6} \end{equation*}

Es evidente que u_2 < 0, por lo que al hacer:

    \begin{equation*} x = \pm\sqrt{\frac{2 - \sqrt{148}}{6}} \end{equation*}

obtenemos raíces complejas. Esas raíces no nos interesan. Entonces, consideramos u_1.

    \begin{eqnarray*} x_{1,2}^2 &=& \frac{2 + \sqrt{148}}{6}\qquad\Rightarrow\\ x_{1} &=& \sqrt{\frac{2 + \sqrt{148}}{6}} \approx 1.5365288\\ x_{2} &=& -\sqrt{\frac{2 + \sqrt{148}}{6}} \approx -1.5365288 \end{eqnarray*}

Ahora calculamos la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 12\,x^3 - 4\,x \end{equation*}

Al evaluarla en los puntos críticos obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \frac{d^2y(x_1)}{dx^2} &=& 12\,(1.5365288)^3 - 4\,(1.5365288) \approx 37.3853 > 0\qquad\textcolor{cyan}{\mbox{(M\'nimo)}}\\ \frac{d^2y(x_1)}{dx^2} &=& 12\,(-1.5365288)^3 - 4\,(-1.5365288) \approx -37.3853 < 0\qquad\textcolor{cyan}{\mbox{(M\'aximo)}} \end{eqnarray*}

Entonces la función tiene un máximo en el punto x = -1.5365288 y un mínimo en x = 1.5365288. Se te queda como ejercicio verificar que los puntos críticos han sido correctamente clasificados utilizando el criterio de la primera derivada (usando una tabla de valores de x, f(x) y f'(x)) y graficar la función.

Ejemplo 3

Calcula los máximos y mínimos de la función:

    \begin{equation*} y = x\cdot\ln(x) \end{equation*}

usando el criterio de la segunda derivada.

Empezamos calculando los puntos críticos de la función. Primero calculamos la primera derivada:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) + \ln(x)\cdot(1)\\ &=& 1 + \ln(x) \end{eqnarray*}

Ahora igualamos la primera derivada a cero y resolvemos:

    \begin{equation*} \ln(x) = -1\qquad\Rightarrow\qquad e^{\ln(x)} = x = e^{-1} = \frac{1}{e} \end{equation*}

Ahora calculamos la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{x} \end{equation*}

Puesto que e > 0, al evaluar la segunda derivada en el único punto crítico de la función obtenemos un número positivo. Esto nos indica que el punto crítico corresponde a un mínimo.

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Ejemplo 4

Calcula los máximos y mínimos de la función:

    \begin{equation*} y = \sin x\cdot\cos x \end{equation*}

en el intervalo (0,\pi) usando el criterio de la segunda derivada.

Para calcular la primera derivada usaremos la regla del producto. Definiendo: u = \sin x, y v = \cos x, tenemos que:

    \begin{equation*} \frac{du}{dx} = \cos x\qquad\mbox{ y }\qquad \dvdx = -\sin x \end{equation*}

Sustituyendo estos valores en la regla de derivación correspondiente obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& (\sin x)(-\sin x) + (\cos x)(\cos x)\\ &=& \cos^2 x - \sin^2 x \end{eqnarray*}

Ahora calculamos los puntos críticos de la función igualando a cero la primera derivada:

    \begin{equation*} \cos^2 x = \sin^2 x\qquad\Rightarrow\qquad |\cos x| = |\sin x| \end{equation*}

Los valores para los cuales \sin x y \cos x son iguales en valor absoluto son x = \pi/4 y x = 3\,\pi/4.
Esto se observa fácilmente en una circunferencia unitaria:

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Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - 2\,\cos x\sin x - 2\,\sin x\cos x = -4\,\sin x\cos x \end{equation*}

Al evaluar en los puntos críticos obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=\pi/4} &=& -4\,\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ &=& -4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=& -2 \end{eqnarray*}

Por lo que tiene un máximo en x = \pi/4. Ahora vamos a evaluar la segunda derivada en el otro punto crítico:

    \begin{eqnarray*} \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=3\pi/4} &=& -4\,\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \\ &=& -4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=& 2 \end{eqnarray*}

Esto significa que se trata de un mínimo. La gráfica de esta función es la siguiente:

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Ejemplo 5

Calcula los máximos y mínimos de la función:

    \begin{equation*} y = 3\,x^4 - 12\,x^3 - 24\,x^2 + 5 \end{equation*}

utilizando el criterio de la segunda derivada.

Primero calculamos la primera derivada de la función:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& 12\,x^3 - 36\,x^2 - 48\,x\\ &=& 12\,x\cdot\left(x^2 - 3\,x - 4\right)\\ &=& 12\,x\cdot\left(x + 1\right)\cdot\left(x - 4\right) \end{eqnarray*}

Los puntos críticos de la función son evidentes a partir de la factorización de la derivada:

    \begin{equation*} x_1 = 0,\qquad x_2 = -1,\qquad\mbox{ y }\qquad x_3 = 4 \end{equation*}

Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función para clasificar los puntos críticos evaluando en ella:

    \begin{eqnarray*} % \frac{dy}{dx} &=& 12\,x^3 - 36\,x^2 - 48\,x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} &=& 36\,x^2 - 72\,x - 48\\ \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=-1}&=& 60\qquad\textcolor{cyan}{\text{(M\'inimo)}}\\ \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=0}&=& -48\qquad\textcolor{cyan}{\text{(M\'aximo)}}\\ \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=4}&=& 240\qquad\textcolor{cyan}{\text{(M\'inimo)}} \end{eqnarray*}

Se te queda como ejercicio graficar la función.

En la mayoría de las aplicaciones de los máximos y mínimos de funciones trataremos de optimizar un objetivo. En las siguientes secciones veremos problemas aplicados donde se requiera de la optimización de alguna cantidad que depende funcionalmente de otra.

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