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Máximos y mínimos: problemas en contexto

Aprenderás a resolver problemas de optimización en diversos contextos en donde se aplica el Cálculo.

Prestamos fáciles y rápidos

En esta sección vamos a dedicarnos a calcular los máximos y mínimos de funciones con diferentes propósitos. En muchas situaciones de la vida real se requiere de la optimización de una cantidad. Otras veces, la naturaleza opera de manera que minimiza algo, por ejemplo, la electricidad siempre pasa a través del medio que ofrece mínima resistencia, la luz, al pasar de un medio a otro, siempre sigue una trayectoria que hace mínimo el tiempo de trayecto de un punto a otro, etc.

En este tipo de problemas siempre es recomendable primero identificar la variable que se desea minimizar (o maximizar), luego hacer un modelo matemático del problema relacionando las variables que están involucradas en el problema. Después optimizar (minimizar o maximizar) la cantidad que deseamos.


Ejemplo

Encuentra dos números que su suma sea 10 y su producto sea máximo.

Sean x e y los dos números buscados. Dado que su suma es 10, se cumple: x + y = 10. De esta ecuación podemos despejar y y obtener: y = 10 - x. En palabras esto nos dice que si un número es x el otro debe ser 10 - x. Eso es obvio, pues los dos números suman 10. Queremos que el producto p = x\cdot y sea máximo. Entonces,

    \begin{equation*}    p = x\cdot y = x\cdot(10 - x) = 10\,x - x^2 \end{equation*}

Para maximizar la función derivamos, igualamos a cero y resolvemos para x:

    \begin{equation*}    \frac{dp}{dx} = 10 - 2\,x\qquad\Rightarrow\qquad x = 5 \end{equation*}

Si la suma de dos números es diez y uno de ellos es 5, pues el otro también debe ser cinco. Verifica este resultado calculando los productos de los números enteros positivos que sumados dan diez.



Ejemplo

Un granjero tiene 250 metros de malla para cercar un corral para caballos. Él desea que el corral sea rectangular y que tenga la mayor superficie posible. ¿Cuáles son las dimensiones de ese corral?

Empezamos haciendo un dibujo para ilustrar la situación:

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Ya sabemos que tiene 250 metros de malla. Entonces, el perímetro del corral será esa distancia. Matemáticamente y de acuerdo a la figura tenemos:

    \begin{equation*}    2\,x + 2\,y = 250\qquad\Rightarrow\qquad x + y = 125 \end{equation*}

De esta ecuación podemos despejar y y obtener:

    \begin{equation*}    y = 125 - x \end{equation*}

Esto nos permite reescribir el área del corral como:

    \begin{equation*}    A = x\cdot y = x\cdot(125 - x) = 125\,x - x^2 \end{equation*}

Nosotros queremos maximizar el área del corral, así que:

    \begin{equation*}    \frac{dA}{dx} = 125 - 2\,x = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{125}{2} = 62.5\mbox{ metros.} \end{equation*}

La base del rectángulo, es decir, el largo del corral será de 62.5 metros. La altura del rectángulo, es decir, el ancho del corral será de:

    \begin{equation*}    y = 125 - x = 125 - 62.5 = 62.5\mbox{ metros.} \end{equation*}

En otras palabras, el corral que tiene la mayor superficie es un cuadrado donde cada lado mide 62.5 metros. El perímetro del corral es: (4)(62.5) = 250 metros. El área del corral es: (62.5)(62.5) = 3906.25 metros cuadrados.



Ejemplo

Considerando el problema del ejemplo anterior, ahora el granjero decide colocar el corral de manera que una pared que tiene de un granero sirva como una de las paredes para aumentar el área para los caballos en el corral. ¿Qué dimensiones tendrá ahora el corral?

Ahora tenemos la siguiente situación geométrica:

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Ahora los 250 metros de malla que tiene para cercar tendrán que cubrir los 3 lados indicados en la figura.
Entonces, la ecuación del perímetro será ahora:

    \begin{equation*}    x + 2\,y = 250\qquad\Rightarrow\qquad y = 125 - \frac{x}{2} \end{equation*}

Y la fórmula para el área del corral será:

    \begin{equation*}    A = x\cdot y = x\cdot(125 - \frac{x}{2}) = 125\,x - \frac{x^2}{2} \end{equation*}

Para calcular el máximo de esta función, derivamos e igualamos a cero:

    \begin{equation*}    \frac{dA}{dx} = 125\, - x = 0\qquad\Rightarrow\qquad     x = 125\mbox{ metros.} \end{equation*}

Ahora podemos calcular el valor de y:

    \begin{equation*}    y = 125 - \frac{x}{2} = 125 - \frac{125}{2} = 62.5\mbox{ metros.} \end{equation*}

Y el área del nuevo corral será:

    \begin{equation*}    A = x\cdot y = (125)(62.5) = 7\,812.5\mbox{ metros cuadrados.} \end{equation*}

Con lo que terminamos. Verifica que el punto crítico que hemos encontrado se trata de un máximo.



Ejemplo

El diseño de la página de un libro contempla un margen alrededor del texto de una pulgada de ancho. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para que el área de texto sea la mayor posible si el área total de la página será de 120 pulgadas cuadradas?

Este problema involucra ahora dos áreas. El área que deseamos maximizar es el área donde estará el texto del libro. La siguiente figura muestra gráficamente la situación:

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El área de toda la página es: A_h = x\cdot y = 120. De aquí podemos despejar y para obtener: y = 120 / x. Por otra parte, el área de texto que contendrá el libro es: A_t = (x - 1)(y - 1). Ahora sustituimos y = 120 / x en la fórmula para el área de texto:

    \begin{equation*}    A_t = (x - 1)(y - 1) = (x - 1)\left(\frac{120}{x} - 1\right) = \frac{-x^2 + 121\,x - 120}{x} = -x + 121 - \frac{120}{x} \end{equation*}

Para calcular las dimensiones de la hoja, debemos derivar la función, igualar a cero y resolver para x:

    \begin{equation*}    \frac{dA_t}{dt} = - 1 + \frac{120}{x^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \pm\sqrt{120}\approx 10.95445 \end{equation*}

La otra variable a encontramos con la fórmula: y = 120/x:

    \begin{equation*}    y = 120 /\sqrt{120} = \sqrt{120} \approx 10.95445 \end{equation*}

Entonces, la hoja debe ser cuadrada.



Ejemplo

Se requiere del envío de unos paquetes de esponja para la fabricación de mochilas especiales. Para su envío se deben diseñar y construir cajas con 20 metros cuadrados de material en su construcción y debe tener al menos una cara cuadrada. ¿Qué dimensiones debe tener la caja para que tenga el máximo volumen?

Tenemos la siguiente situación geométrica:

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Necesitamos maximizar el volumen de la caja usando 20 m^2 de superficie de material en su construcción. Primero encontramos la superficie que se utiliza en su construcción:

    \begin{equation*}    A = 2\,y^2 + 4\,xy = 20\qquad\Rightarrow\qquad y^2 + 2\,xy = 10%\qquad\Rightarrow\qquad  \end{equation*}

Ahora que conocemos cómo están relacionadas las variables x e y podemos despejar x y obtenemos:

    \begin{equation*}    x = \frac{10 - y^2}{2\,y} \end{equation*}

Este resultado nos será útil, porque si sustituimos este valor en lugar de x en la fórmula del volumen de la caja obtenemos una función de una sola variable:

    \begin{equation*}    V = x\cdot y^2 = \left(\frac{10 - y^2}{2\,y}\right)\cdot y^2 = 5\,y - \frac{y^3}{2} \end{equation*}

Ahora podemos calcular la derivada de esta función y calcular su máximo:

    \begin{equation*}    \frac{dV}{dy} = 5 - \frac{3}{2}\,y^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad y = \pm\sqrt{\frac{10}{3}} \end{equation*}

Como no podemos asignar un valor negativo a una de las dimensiones, tenemos que y \approx 1.8257 metros. La otra dimensión es:

    \begin{equation*}    x 	= \frac{10 - \frac{10}{3}}{2\,\sqrt{\frac{10}{3}}}  	= \frac{10\cdot\left(\frac{2}{3}\right)}{2\,\sqrt{\frac{10}{3}}} 	= \frac{5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)}{\sqrt{\frac{10}{3}}}\cdot\frac{\sqrt{\frac{10}{3}}}{\sqrt{\frac{10}{3}}}  	= \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1.8257 \end{equation*}

Es decir, x = y = \sqrt{10/3}\approx 1.8257. En otras palabras, la caja debe ser un cubo perfecto para que tenga el máximo volumen. Para verificar que en realidad se trata de un máximo, calculamos la segunda derivada y evaluamos en x = 1.8257:

    \begin{equation*}    \frac{d^2V}{dy^2} = -3\,y \end{equation*}

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Como y > 0, tenemos que -3\,y < 0: se trata de un máximo.



Ejemplo

Un profesor de física lanza una moneda al aire de forma que su altura h medida en metros desde el suelo t segundos después de haber sido lanzada, está dada por:

    \begin{equation*}    h(t) = 1.85 + 12\,t - 4.905\,t^2 \end{equation*}

¿En qué momento la moneda alcanza la máxima altura?

El problema pide que calculemos el instante en que la moneda alcanza la máxima altura. Para eso tenemos que derivar la función e igualar a cero:

    \begin{equation*}    \frac{dh}{dt} = 12 - 9.81\,t = 0\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{12}{9.81} \approx 1.223\mbox{ segundos.} \end{equation*}

Observa que la máxima altura que alcanza la piedra es:

    \begin{equation*}    h(t) = 1.85 + 12\,(1.223) - 4.905\,(1.223)^2 = 23.947\mbox{ metros.} \end{equation*}

Eso debe ocurrir cuando la piedra deje de subir y empiece a bajar. Es decir, cuando la velocidad de la piedra sea cero. Y ya sabemos que la velocidad de la piedra se calcula con la derivada de la posición. Entonces, el problema físico se apega al problema geométrico.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función se hace cero cuando tiene un máximo. Que corresponde a la velocidad de la piedra igual a cero. Para verificar que se trata de un máximo podemos utilizar el criterio de la segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^2h}{dt^2} = -9.81 < 0\qquad\Rightarrow\qquad \mbox{ es un máximo.} \end{equation*}

Y hemos terminado. Se te queda como ejercicio graficar h(t) = 1.85 + 12\,t - 4.905\,t^2.



Ejemplo

Una recta pasa por el punto P(6,2) y forma un triángulo en el primer cuadrante con sus vértices en las intersecciones de la recta con los ejes coordinados en los puntos: M(a,0) y N(0,b). Calcula la ecuación de la recta que hace que el área del triángulo sea mínima.

Empezamos dibujando la situación en un plano cartesiano:

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Sabemos que las intersecciones de la recta con los ejes son los puntos: M(a,0) y N(0,b). Con ellos podemos calcular la pendiente de la recta:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -\frac{b}{a} \end{equation*}

Ahora podemos calcular la ecuación de la recta, dado que ya conocemos su pendiente y su ordenada al origen:

    \begin{eqnarray*}    y &=& m\cdot x+ b\\    y &=& -\frac{b}{a}\cdot x + b\\    y &=& b\cdot\left(1 - \frac{x}{a}\right) = b\cdot\left(\frac{a - x}{a}\right) \end{eqnarray*}

Como pasa por el punto P(4,2), se cumple:

    \begin{eqnarray*}    2 &=& b\cdot\left(\frac{a - 4}{a}\right)\\    \frac{2\,a}{a - 4} &=& b \end{eqnarray*}

El área del triángulo es A = a\cdot b, porque la base es a y su altura b. Entonces,

    \begin{equation*}    A = a\cdot b = a\cdot \left(\frac{2\,a}{a - 4}\right) = \frac{2\,a^2}{a - 4} \end{equation*}

Para encontrar la mínima área derivamos y resolvemos para a. Definimos: u = 2\,a^2, y v = a - 4. Entonces, du = 4\,a y dv = 1. Sustituyendo estos resultados en la regla para derivar un cociente, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dA}{db} &=& \frac{(a - 4)\cdot(4a) - (2\,a^2)\cdot(1)}{(a - 4)^2}\\ 	&=& \frac{4\,a^2 - 16\,a - 2\,a^2}{(a - 4)^2}\\ 	&=& \frac{2\,a^2 - 16\,a}{(a - 4)^2} = 0 \qquad\Rightarrow\\    2\,a^2 &=&	16\,\,a\qquad\Rightarrow\qquad a = 8 \end{eqnarray*}

Ahora que conocemos el valor de a podemos calcular el de b:

    \begin{equation*}    b = \frac{2\,a}{a - 4} = \frac{2\,(8)}{8 - 4} =  4 \end{equation*}

Entonces, la ecuación de la recta es que pasa por el punto P(4,2) y que forma un triángulo en el primer cuadrante con mínima área es:

    \begin{equation*}    y = -\frac{4}{8}\cdot x + 4 = -\frac{1}{2}\cdot x + 4 \end{equation*}

La gráfica de esta recta es la siguiente:

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Ejemplo

¿Qué número excede a su cuadrado en la mayor cantidad?

Si observas, para x > 1, x^2 > x, por lo que no esperamos que el resultado de este problema sea un número mayo a 1. Por otra parte, si x está entre cero y uno, entonces, x^2 < x. La función que calcula el excedente de un número con su cuadrado es:

    \begin{equation*}    y = x - x^2 \end{equation*}

Necesitamos calcular su máximo:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 1 - 2\,x\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{1}{2} \end{equation*}

Entonces, x = 0.5 es el número que excede a su cuadrado en la mayor cantidad. Verifica este resultado realizando los cálculos con unos cuantos valores diferentes entre cero y uno.



Ejemplo

Encuentra los dos números x,y tales que x + y = 10, y además la suma de sus cuadrados: M = x^2 + y^2 es mínima.

Como los dos números suman 10, si uno de ellos es x, el otro es: 10 - x. Queremos minimizar la suma:

    \begin{eqnarray*}    M &=& x^2 + y^2 \\ 	&=& x^2 + (10 - x)^2\\ 	&=& x^2 + 100 - 20\,x + x^2\\ 	&=& 2\,x^2 - 20\,x + 100 \end{eqnarray*}

Para calcular el mínimo de esta suma, derivamos respecto a x, igualamos a cero y resolvemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dM}{dx} = 4\,x - 20 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = 5 \end{eqnarray*}

Entonces, y=5, y el mínimo valor que toma M es: M = 5^2 + 5^2 = 50.



Ejemplo

Se desea dibujar un rectángulo con perímetro P con mayor área posible. Demuestra que dicho rectángulo es un cuadrado.

Sean x el largo y y el ancho del rectángulo:

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Su perímetro P = 2\,x + 2\,y. De donde:

    \begin{equation*}    y = \frac{P}{2} - x \end{equation*}

El área del rectángulo es:

    \begin{equation*}    A = x\cdot y = x\cdot\left(\frac{P}{2} - x\right) = \frac{Px}{2} - x^2 \end{equation*}

Para calcular el largo del rectángulo con máxima área, derivamos A(x) respecto de x, igualamos a cero y resolvemos:

    \begin{equation*}    \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - 2\,x = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{P}{4} \end{equation*}

Es decir, el largo es igual a la cuarta parte del perímetro. El ancho del rectángulo es:

    \begin{equation*}    y = \frac{P}{2} - x = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4} \end{equation*}

Entonces, el largo y el ancho miden exactamente igual. En otras palabras, el rectángulo tiene sus cuatro lados iguales y es un cuadrado.


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