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Máximos y mínimos: problemas en contexto

Aprenderás a resolver problemas de optimización en diversos contextos en donde se aplica el Cálculo.



Ejemplo 6

Un profesor de física lanza una moneda al aire de forma que su altura h medida en metros desde el suelo t segundos después de haber sido lanzada, está dada por:

    \begin{equation*}    h(t) = 1.85 + 12\,t - 4.905\,t^2 \end{equation*}

¿En qué momento la moneda alcanza la máxima altura?

El problema pide que calculemos el instante en que la moneda alcanza la máxima altura. Para eso tenemos que derivar la función e igualar a cero:

    \begin{equation*}    \frac{dh}{dt} = 12 - 9.81\,t = 0\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{12}{9.81} \approx 1.223\mbox{ segundos.} \end{equation*}

Observa que la máxima altura que alcanza la piedra es:

    \begin{equation*}    h(t) = 1.85 + 12\,(1.223) - 4.905\,(1.223)^2 = 23.947\mbox{ metros.} \end{equation*}

Eso debe ocurrir cuando la piedra deje de subir y empiece a bajar. Es decir, cuando la velocidad de la piedra sea cero. Y ya sabemos que la velocidad de la piedra se calcula con la derivada de la posición. Entonces, el problema físico se apega al problema geométrico.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función se hace cero cuando tiene un máximo. Que corresponde a la velocidad de la piedra igual a cero. Para verificar que se trata de un máximo podemos utilizar el criterio de la segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^2h}{dt^2} = -9.81 < 0\qquad\Rightarrow\qquad \mbox{ es un máximo.} \end{equation*}

Y hemos terminado. Se te queda como ejercicio graficar h(t) = 1.85 + 12\,t - 4.905\,t^2.



Ejemplo 7

Una recta pasa por el punto P(6,2) y forma un triángulo en el primer cuadrante con sus vértices en las intersecciones de la recta con los ejes coordinados en los puntos: M(a,0) y N(0,b). Calcula la ecuación de la recta que hace que el área del triángulo sea mínima.

Empezamos dibujando la situación en un plano cartesiano:

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Sabemos que las intersecciones de la recta con los ejes son los puntos: M(a,0) y N(0,b). Con ellos podemos calcular la pendiente de la recta:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -\frac{b}{a} \end{equation*}

Ahora podemos calcular la ecuación de la recta, dado que ya conocemos su pendiente y su ordenada al origen:

    \begin{eqnarray*}    y &=& m\cdot x+ b\\    y &=& -\frac{b}{a}\cdot x + b\\    y &=& b\cdot\left(1 - \frac{x}{a}\right) = b\cdot\left(\frac{a - x}{a}\right) \end{eqnarray*}

Como pasa por el punto P(4,2), se cumple:

    \begin{eqnarray*}    2 &=& b\cdot\left(\frac{a - 4}{a}\right)\\    \frac{2\,a}{a - 4} &=& b \end{eqnarray*}

El área del triángulo es A = a\cdot b, porque la base es a y su altura b. Entonces,

    \begin{equation*}    A = a\cdot b = a\cdot \left(\frac{2\,a}{a - 4}\right) = \frac{2\,a^2}{a - 4} \end{equation*}

Para encontrar la mínima área derivamos y resolvemos para a. Definimos: u = 2\,a^2, y v = a - 4. Entonces, du = 4\,a y dv = 1. Sustituyendo estos resultados en la regla para derivar un cociente, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dA}{db} &=& \frac{(a - 4)\cdot(4a) - (2\,a^2)\cdot(1)}{(a - 4)^2}\\ 	&=& \frac{4\,a^2 - 16\,a - 2\,a^2}{(a - 4)^2}\\ 	&=& \frac{2\,a^2 - 16\,a}{(a - 4)^2} = 0 \qquad\Rightarrow\\    2\,a^2 &=&	16\,\,a\qquad\Rightarrow\qquad a = 8 \end{eqnarray*}

Ahora que conocemos el valor de a podemos calcular el de b:

    \begin{equation*}    b = \frac{2\,a}{a - 4} = \frac{2\,(8)}{8 - 4} =  4 \end{equation*}

Entonces, la ecuación de la recta es que pasa por el punto P(4,2) y que forma un triángulo en el primer cuadrante con mínima área es:

    \begin{equation*}    y = -\frac{4}{8}\cdot x + 4 = -\frac{1}{2}\cdot x + 4 \end{equation*}

La gráfica de esta recta es la siguiente:

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Ejemplo 8

¿Qué número excede a su cuadrado en la mayor cantidad?

Si observas, para x > 1, x^2 > x, por lo que no esperamos que el resultado de este problema sea un número mayo a 1. Por otra parte, si x está entre cero y uno, entonces, x^2 < x. La función que calcula el excedente de un número con su cuadrado es:

    \begin{equation*}    y = x - x^2 \end{equation*}

Necesitamos calcular su máximo:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 1 - 2\,x\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{1}{2} \end{equation*}

Entonces, x = 0.5 es el número que excede a su cuadrado en la mayor cantidad. Verifica este resultado realizando los cálculos con unos cuantos valores diferentes entre cero y uno.



Ejemplo 9

Encuentra los dos números x,y tales que x + y = 10, y además la suma de sus cuadrados: M = x^2 + y^2 es mínima.

Como los dos números suman 10, si uno de ellos es x, el otro es: 10 - x. Queremos minimizar la suma:

    \begin{eqnarray*}    M &=& x^2 + y^2 \\ 	&=& x^2 + (10 - x)^2\\ 	&=& x^2 + 100 - 20\,x + x^2\\ 	&=& 2\,x^2 - 20\,x + 100 \end{eqnarray*}

Para calcular el mínimo de esta suma, derivamos respecto a x, igualamos a cero y resolvemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dM}{dx} = 4\,x - 20 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = 5 \end{eqnarray*}

Entonces, y=5, y el mínimo valor que toma M es: M = 5^2 + 5^2 = 50.



Ejemplo 10

Se desea dibujar un rectángulo con perímetro P con mayor área posible. Demuestra que dicho rectángulo es un cuadrado.

Sean x el largo y y el ancho del rectángulo:

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Su perímetro P = 2\,x + 2\,y. De donde:

    \begin{equation*}    y = \frac{P}{2} - x \end{equation*}

El área del rectángulo es:

    \begin{equation*}    A = x\cdot y = x\cdot\left(\frac{P}{2} - x\right) = \frac{Px}{2} - x^2 \end{equation*}

Para calcular el largo del rectángulo con máxima área, derivamos A(x) respecto de x, igualamos a cero y resolvemos:

    \begin{equation*}    \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - 2\,x = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{P}{4} \end{equation*}

Es decir, el largo es igual a la cuarta parte del perímetro. El ancho del rectángulo es:

    \begin{equation*}    y = \frac{P}{2} - x = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4} \end{equation*}

Entonces, el largo y el ancho miden exactamente igual. En otras palabras, el rectángulo tiene sus cuatro lados iguales y es un cuadrado.


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