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Máximos y mínimos en otros contextos

Aprenderás a calcular máximos y mínimos de funciones en diversos contextos.

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Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que ahora nos enfocaremos más a problemas de economía, administración y ciencias sociales.


Ejemplo

Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 cm^3. Su base debe ser doble de largo que de ancho. El material de la tapa cuesta $0.10 por centímetro cuadrado y el de los lados, $0.05 por centímetro cuadrado. Encuentra las dimensiones que hagan el costo mínimo.

Empezamos con un diagrama para representar la situación:

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El área de la base y la tapa juntas es:

    \begin{equation*}    A_b = 2\,x^2 + 2\,x^2 = 4\,x^2 \end{equation*}

El costo de este material es: 0.4\,x^2 pesos, porque cada centímetro cuadrado cuesta 0.1 pesos. El área de las 4 caras laterales de la caja es:

    \begin{equation*}    A_c = 2\,xy + 4\,xy = 6\,xy \end{equation*}

Y tienen un costo de: 0.3\,xy pesos. El volumen total de la caja es de 256 cm^3, así que:

    \begin{equation*}    V = 2\,x^2y = 256\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{256}{2\,x^2} = \frac{128}{x^2} \end{equation*}

Así que el costo total del material requerido para construir la caja es:

    \begin{eqnarray*}    C = \textcolor{blue}{A_b} + \textcolor{red}{A_c} &=& \textcolor{blue}{0.4\,x^2} + \textcolor{red}{0.3\,xy} \\ 	&=& 0.4\,x^2 + 0.3\,x\cdot\left(\frac{128}{x^2}\right)\\ 	&=& 0.4\,x^2 + \frac{38.4}{x} \end{eqnarray*}

Ahora podemos calcular el mínimo:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dx} = 0.8\,x - \frac{38.4}{x^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \sqrt[3]{48} \approx 3.6342 \end{equation*}

Entonces, las dimensiones de la caja son: \sqrt[3]{48}, 2\,\sqrt[3]{48} y

    \begin{equation*}    y = \frac{128}{x^2} = \frac{128}{\left(\sqrt[3]{48}\right)^2} \approx 9.6913 \end{equation*}

Entoces, la caja con mínimo costo en materiales es:

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Ejemplo

Un tanque de forma cilindrica circular recta, sin tapa y con base horizontal ha de contener 400 litros. El materia de la base cuesta el doble por metro cuadrado que el de los lados. Calcule las dimensiones del tanque más económico.
Nota: 1 litro equivale a 1 dm^3.

Empezamos con el diagrama que ilustra la situación:

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Definimos como c el costo por unidad de superficie al material para las paredes del cilindro y 2\,c al del fondo. Utilizaremos r y h medido en decímetros, para simplificar los cálculos. Así, el volumen del cilindro estará en decímetros cúbicos, es decir, en litros. El área de material utilizado en la base es:

    \begin{equation*}    A_b = \pi r^2 \end{equation*}

El material para la base costará: C_b = 2\,c\,\pi r^2. El área de material requerido para las paredes del cilindro es:

    \begin{equation*}    A_p = 2\,\pi rh \end{equation*}

Y su costo es C_p = 2\,c\pi rh. Pero el volumen del cilindro es:

    \begin{equation*}    V = \pi r^2h = 400\qquad\Rightarrow\qquad h = \frac{400}{\pi r^2} \end{equation*}

Entonces, el costo del material requerido para la construcción de ese cilindro es:

    \begin{eqnarray*}    C = C_b + C_p &=& 2\,c\,\pi r^2 + 2\,c\pi rh \\ 	&=& 2\,c\,\pi r^2 + 2\,c\pi r\cdot\left(\frac{400}{\pi r^2}\right)\\    C(r) &=& 2\,c\,\pi r^2 + \frac{800\,c}{r} \end{eqnarray*}

Ahora podemos calcular el costo mínimo:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dr} = 4\,c\pi r - \frac{800\,c}{r^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad     r = \sqrt[3]{\frac{200}{\pi}} \approx 3.9929 \end{equation*}

Y la altura del cilindro debe ser:

    \begin{equation*}    h = \frac{400}{\pi r^2} = \frac{400}{\pi\left(\sqrt[3]{200/\pi}\right)^2} \approx 7.98589 \end{equation*}

Verifica que el volumen del cilindro con estas dimensiones es 400 dm^3.



Ejemplo

El costo de un inventario x en una cadena de comidas está dado por:

    \begin{equation*}    I(x) = \frac{70\,000}{x} + 0.25\cdot x \end{equation*}

¿Cuál debe ser su inventario mensual para minimizar el costo?

Para conocer el mínimo costo de inventario derivamos, igualamos a cero y resolvemos para x:

    \begin{equation*}    \frac{dI}{dx} = -\frac{70\,000}{x^2} + 0.25 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \sqrt{28\,000}\approx 167.33 \end{equation*}

Se sugiere que tenga un inventario de 167 productos.



Función de costo

La función de costo C = f(x) indica el costo total de producción al producir x artículos.



Función de ingreso

La función de ingreso I = f(x) indica el ingreso total de vender x artículos



Función de utilidad

La función de utilidad se define como la diferencia entre las funciones de ingreso y de costo:

    \begin{equation*}    U(x) = I(x) - C(x) \end{equation*}


Para algunos problemas de economía y administración se utiliz muy frecuentemente la palabra marginal. Esta palabra se refiere a: para el siguiente producto. Por ejemplo, la utilidad marginal se refiere a la utilidad que obtendrán si venden un producto más; el costo marginal es el costo de producir un producto más, etc. En sí, la palabra marginal se refiere a una razón de cambio promedio medida en un punto dado, que puede aproximarse a través de la derivada evaluada en ese punto.


Ingreso marginal

Es la razón de cambio instantánea del ingreso con respecto a la cantidad de unidades vendidas.



Utilidad marginal

Es la razón de cambio instantánea de la utilidad con respecto a la cantidad de unidades vendidas.



Ejemplo

Una compañía fabricante de vestidos ha encontrado que la utilidad de producir x vestidos está dada por:

    \begin{equation*}    U(x) = \frac{1\,200}{\sqrt{x^2 + 25}} - 150 \end{equation*}

Calcula la utilidad marginal.

La utilidad marginal es la utilidad que obtedrán al vender un producto más. Es decir, si al vender 200 vestidos obtengo en promedio una utilidad de $12 pesos por vestido, ¿qué utilidad obtendré por vender un vestido más? Esto se calcula con la derivada, pues se trata de la razón de cambio unitaria en un punto dado:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = - \frac{1\,200\,x}{\left(x^2 + 25\right)^{3/2}} \end{equation*}



Ejemplo

La función de ingreso por la venta de x calculadoras científicas en total es:

    \begin{equation*}    I(x) = 50 + 250\,x - 0.25\,x^2 \end{equation*}

Calcula el ingreso marginal con x = 100. Compara este resultado con I(101) - I(100).

Primero calculamos el ingreso marginal:

    \begin{equation*}    \frac{dI}{dx} = 250 - 0.5\,x \end{equation*}

El ingreso marginal de vender la calculadora 101 es:

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    \begin{equation*}    \left.\frac{dI}{dx}\right\vert_{x=100} = 250 - 0.5\,(100) = 200 \end{equation*}

Por otra parte,

    \begin{eqnarray*}    I(101) &=&  50 + 250\,(101) - 0.25\,(101)^2 = 22794.75\\    I(100) &=&  50 + 250\,(100) - 0.25\,(100)^2 = 22\,550\\    I(101) - I(100) &=& 22\,794.75 - 22\,550 = 199.75 \end{eqnarray*}

¿Qué concluyes?



Ejemplo

Una compañía ha encontrado que las funciones de ingreso I(x) y de costo C(x) para un ventilador de pedestal doméstico son:

    \begin{eqnarray*}    I(x) &=& 250\,x - 0.5\,x^2\\    C(x) &=& 1\,200 +125\,x + 0.05\,x^2 \end{eqnarray*}

Calcula la cantidad x de ventiladores que deben producir para obtener la máxima utilidad.

Por definición, la utilidad U(x) es igual a la diferencia del ingreso y el costo:

    \begin{eqnarray*}    U(x) &=& \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{C(x)}\\ 	&=& \textcolor{blue}{250\,x - 0.5\,x^2} - \textcolor{red}{1\,200 + 129\,x + 0.05\,x^2}\\ 	&=& -1\,200 + 121\,x -0.55\,x^2 \end{eqnarray*}

Evidentemente, esta función tiene un máximo, pues es una parábola que abre hacia abajo. Ahora calculamos el máximo:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = 121 - 1.1\,x = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = 110 \end{equation*}

Se recomienda que produzcan 110 ventiladores para obtener la mayor utilidad.


Obviamente, lo mejor sería conocer la utilidad de vender un producto en función de su precio. Esto se puede lograr algunas veces, y el siguiente ejemplo muestra cómo determinar el precio que maximiza la utilidad.


Ejemplo

La utilidad U que obtiene una compañía al vender evaluaciones por Internet, cada una a p pesos, está dada por:

    \begin{equation*}    U(p) = -1.25\,p^2 + 635\,p - 120 \end{equation*}

¿A qué precio deben ofertar las evaluaciones para obtener la mayor utilidad?

Debemos calcular el máximo de U en función de p.

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dp} = 635 - 2.5\,p = 0\qquad\Rightarrow\qquad p = \frac{635}{2.5} = 254 \end{equation*}

Al vender a $254.00 pesos cada evaluación, la compañía obtendrá la mayor utilidad.



Ejemplo

La utilidad U(x) de producir x reguladores de voltaje se puede calcular con:

    \begin{equation*}    U(x) = \frac{50\,000}{x} + 5\,x \end{equation*}

Calcula:

  • la utilidad marginal
  • el número de reguladores de voltaje que deben producir para maximizar la utilidad.

Empezamos calculando la utilidad marginal:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = -\frac{50\,000}{x^2} + 5 \end{equation*}

Para calcular el número de reguladores de voltaje que deben producir para maximizar la utilidad, igualamos a cero el resultado anterior y resolvemos para x:

    \begin{equation*}    -\frac{50\,000}{x^2} + 5 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x^2 = \frac{50\,000}{5} = 10\,000 \end{equation*}

Esto significa que deben producir x = \sqrt{10\,000} = 100 reguladores de voltaje para obtener la mayor utilidad posible.



Ejemplo

Un fabricante de altavoces para computadora ha encontrado que el precio p y el número x de altavoces del modelo SR-71 que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:

    \begin{equation*}    p = 500 - \frac{x}{2} \end{equation*}

Por otra parte, saben que el costo C de producir x de esos altavoces viene dado por:

    \begin{equation*}    C(x) = 12\,000 + 125\,x - 0.001\,x^2 \end{equation*}

    i Determina x como una función de p

    ii Expresa C(x) como una función de p

    iii Calcula el valor de p que minimiza el costo de producción.

Para escribir x en términos de p, debemos despejar:

    \begin{eqnarray*}    p &=& 500 - \frac{x}{2}\\    \frac{x}{2} &=& 500 - p\\    x &=& 1\,000 - 2\,p \end{eqnarray*}

Ahora vamos a sustituir este resultado en la expresión para C(x):

    \begin{eqnarray*}    C(x) &=& 12\,000 + 125\,x + 0.001\,x^2\\ 	&=& 12\,000 + 12\,\left(1\,000 - 2\,p\right) + 0.001(1\,000 - 2\,p)^2\\ 	&=& 24\,000 - 24\,p + 0.001\,(10^6 - 4\,000\,p + 4\,p^2)\\ 	&=& 24\,000 - 24\,p + 1\,000 - 4\,p + 0.004\,p^2\\ 	&=& 25\,000 - 28\,p + 0.004\,p^2 \end{eqnarray*}

Para minimizar el costo, derivamos C(p) respecto de p, igualamos a cero y resolvemos:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dp} = -28 + 0.008\,p = 0\qquad\Rightarrow\qquad p = 3\,500 \end{equation*}

Esto significa que debe venderlos a $3,500.00 pesos para obtener la mayor utilidad posible. Observando la función de demanda que relaciona a x y a p, ¿crees que esto es posible?



Ejemplo

La utilidad U de producir x artículos diariamente en una planta de fabricación de neumáticos en Apodaca, N.L., es:

    \begin{equation*}    U(x) = 500 - 250\,x + 32\,x^2 - 0.35\,x^3 \end{equation*}

¿Qué producción diaria les trae la mayor utilidad?

Para calcular el máximo de la función de utilidad usaremos el criterio de la segunda derivada. Empezamos calculando la derivada:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = -250 + 64\,x - 1.05\,x^2 \end{equation*}

Para conocer los puntos críticos igualamos a cero y resolvemos la ecuación cuadrática: -250 + 64\,x - 1.05\,x^2 = 0

    \begin{eqnarray*}    x &=& \frac{-64 \pm \sqrt{4096 - 4\,(1.05)(250)}}{-2.1}\\ 	&=& \frac{-64 \pm \sqrt{4096 - 1050}}{-2.1}\\ 	&=& \frac{-64 \pm \sqrt{3046}}{-2.1}\\ 	&\approx& \frac{-64 \pm 55.1906}{-2.1} \end{eqnarray*}

Nosotros solamente consideramos el valor positivo:

    \begin{equation*}    x \approx \frac{-64 - 55.1906}{-2.1} = 56.7574 \end{equation*}

Entonces, si la producción diaria se fija en 57 obtendrán una utilidad muy cercana a la máxima posible de acuerdo al modelo.

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