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Máximos y mínimos en otros contextos

Aprenderás a calcular máximos y mínimos de funciones en diversos contextos.

Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que ahora nos enfocaremos más a problemas de economía, administración y ciencias sociales.


Ejemplo 1

Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 cm^3. Su base debe ser doble de largo que de ancho. El material de la tapa cuesta $0.10 por centímetro cuadrado y el de los lados, $0.05 por centímetro cuadrado. Encuentra las dimensiones que hagan el costo mínimo.

Empezamos con un diagrama para representar la situación:

Rendered by QuickLaTeX.com

El área de la base y la tapa juntas es:

    \begin{equation*}    A_b = 2\,x^2 + 2\,x^2 = 4\,x^2 \end{equation*}

El costo de este material es: 0.4\,x^2 pesos, porque cada centímetro cuadrado cuesta 0.1 pesos. El área de las 4 caras laterales de la caja es:

    \begin{equation*}    A_c = 2\,xy + 4\,xy = 6\,xy \end{equation*}

Y tienen un costo de: 0.3\,xy pesos. El volumen total de la caja es de 256 cm^3, así que:

    \begin{equation*}    V = 2\,x^2y = 256\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{256}{2\,x^2} = \frac{128}{x^2} \end{equation*}

Así que el costo total del material requerido para construir la caja es:

    \begin{eqnarray*}    C = \textcolor{blue}{A_b} + \textcolor{red}{A_c} &=& \textcolor{blue}{0.4\,x^2} + \textcolor{red}{0.3\,xy} \\ 	&=& 0.4\,x^2 + 0.3\,x\cdot\left(\frac{128}{x^2}\right)\\ 	&=& 0.4\,x^2 + \frac{38.4}{x} \end{eqnarray*}

Ahora podemos calcular el mínimo:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dx} = 0.8\,x - \frac{38.4}{x^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \sqrt[3]{48} \approx 3.6342 \end{equation*}

Entonces, las dimensiones de la caja son: \sqrt[3]{48}, 2\,\sqrt[3]{48} y

    \begin{equation*}    y = \frac{128}{x^2} = \frac{128}{\left(\sqrt[3]{48}\right)^2} \approx 9.6913 \end{equation*}

Entoces, la caja con mínimo costo en materiales es:

Rendered by QuickLaTeX.com



Ejemplo 2

Un tanque de forma cilindrica circular recta, sin tapa y con base horizontal ha de contener 400 litros. El materia de la base cuesta el doble por metro cuadrado que el de los lados. Calcule las dimensiones del tanque más económico.
Nota: 1 litro equivale a 1 dm^3.

Empezamos con el diagrama que ilustra la situación:

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Definimos como c el costo por unidad de superficie al material para las paredes del cilindro y 2\,c al del fondo. Utilizaremos r y h medido en decímetros, para simplificar los cálculos. Así, el volumen del cilindro estará en decímetros cúbicos, es decir, en litros. El área de material utilizado en la base es:

    \begin{equation*}    A_b = \pi r^2 \end{equation*}

El material para la base costará: C_b = 2\,c\,\pi r^2. El área de material requerido para las paredes del cilindro es:

    \begin{equation*}    A_p = 2\,\pi rh \end{equation*}

Y su costo es C_p = 2\,c\pi rh. Pero el volumen del cilindro es:

    \begin{equation*}    V = \pi r^2h = 400\qquad\Rightarrow\qquad h = \frac{400}{\pi r^2} \end{equation*}

Entonces, el costo del material requerido para la construcción de ese cilindro es:

    \begin{eqnarray*}    C = C_b + C_p &=& 2\,c\,\pi r^2 + 2\,c\pi rh \\ 	&=& 2\,c\,\pi r^2 + 2\,c\pi r\cdot\left(\frac{400}{\pi r^2}\right)\\    C(r) &=& 2\,c\,\pi r^2 + \frac{800\,c}{r} \end{eqnarray*}

Ahora podemos calcular el costo mínimo:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dr} = 4\,c\pi r - \frac{800\,c}{r^2} = 0\qquad\Rightarrow\qquad     r = \sqrt[3]{\frac{200}{\pi}} \approx 3.9929 \end{equation*}

Y la altura del cilindro debe ser:

    \begin{equation*}    h = \frac{400}{\pi r^2} = \frac{400}{\pi\left(\sqrt[3]{200/\pi}\right)^2} \approx 7.98589 \end{equation*}

Verifica que el volumen del cilindro con estas dimensiones es 400 dm^3.



Ejemplo 3

El costo de un inventario x en una cadena de comidas está dado por:

    \begin{equation*}    I(x) = \frac{70\,000}{x} + 0.25\cdot x \end{equation*}

¿Cuál debe ser su inventario mensual para minimizar el costo?

Para conocer el mínimo costo de inventario derivamos, igualamos a cero y resolvemos para x:

    \begin{equation*}    \frac{dI}{dx} = -\frac{70\,000}{x^2} + 0.25 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = \sqrt{28\,000}\approx 167.33 \end{equation*}

Se sugiere que tenga un inventario de 167 productos.



Función de costo

La función de costo C = f(x) indica el costo total de producción al producir x artículos.


Función de ingreso

La función de ingreso I = f(x) indica el ingreso total de vender x artículos


Función de utilidad

La función de utilidad se define como la diferencia entre las funciones de ingreso y de costo:

    \begin{equation*}    U(x) = I(x) - C(x) \end{equation*}


Para algunos problemas de economía y administración se utiliz muy frecuentemente la palabra marginal. Esta palabra se refiere a: para el siguiente producto. Por ejemplo, la utilidad marginal se refiere a la utilidad que obtendrán si venden un producto más; el costo marginal es el costo de producir un producto más, etc. En sí, la palabra marginal se refiere a una razón de cambio promedio medida en un punto dado, que puede aproximarse a través de la derivada evaluada en ese punto.


Ingreso marginal

Es la razón de cambio instantánea del ingreso con respecto a la cantidad de unidades vendidas.


Utilidad marginal

Es la razón de cambio instantánea de la utilidad con respecto a la cantidad de unidades vendidas.


Ejemplo 4

Una compañía fabricante de vestidos ha encontrado que la utilidad de producir x vestidos está dada por:

    \begin{equation*}    U(x) = \frac{1\,200}{\sqrt{x^2 + 25}} - 150 \end{equation*}

Calcula la utilidad marginal.

La utilidad marginal es la utilidad que obtedrán al vender un producto más. Es decir, si al vender 200 vestidos obtengo en promedio una utilidad de $12 pesos por vestido, ¿qué utilidad obtendré por vender un vestido más? Esto se calcula con la derivada, pues se trata de la razón de cambio unitaria en un punto dado:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = - \frac{1\,200\,x}{\left(x^2 + 25\right)^{3/2}} \end{equation*}



Ejemplo 5

La función de ingreso por la venta de x calculadoras científicas en total es:

    \begin{equation*}    I(x) = 50 + 250\,x - 0.25\,x^2 \end{equation*}

Calcula el ingreso marginal con x = 100. Compara este resultado con I(101) - I(100).

Primero calculamos el ingreso marginal:

    \begin{equation*}    \frac{dI}{dx} = 250 - 0.5\,x \end{equation*}

El ingreso marginal de vender la calculadora 101 es:

    \begin{equation*}    \left.\frac{dI}{dx}\right\vert_{x=100} = 250 - 0.5\,(100) = 200 \end{equation*}

Por otra parte,

    \begin{eqnarray*}    I(101) &=&  50 + 250\,(101) - 0.25\,(101)^2 = 22794.75\\    I(100) &=&  50 + 250\,(100) - 0.25\,(100)^2 = 22\,550\\    I(101) - I(100) &=& 22\,794.75 - 22\,550 = 199.75 \end{eqnarray*}

¿Qué concluyes?



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