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Máximos y mínimos en otros contextos

Aprenderás a calcular máximos y mínimos de funciones en diversos contextos.



Ejemplo 6

Una compañía ha encontrado que las funciones de ingreso I(x) y de costo C(x) para un ventilador de pedestal doméstico son:

    \begin{eqnarray*}    I(x) &=& 250\,x - 0.5\,x^2\\    C(x) &=& 1\,200 +125\,x + 0.05\,x^2 \end{eqnarray*}

Calcula la cantidad x de ventiladores que deben producir para obtener la máxima utilidad.

Por definición, la utilidad U(x) es igual a la diferencia del ingreso y el costo:

    \begin{eqnarray*}    U(x) &=& \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{C(x)}\\ 	&=& \textcolor{blue}{250\,x - 0.5\,x^2} - \textcolor{red}{1\,200 + 129\,x + 0.05\,x^2}\\ 	&=& -1\,200 + 121\,x -0.55\,x^2 \end{eqnarray*}

Evidentemente, esta función tiene un máximo, pues es una parábola que abre hacia abajo. Ahora calculamos el máximo:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = 121 - 1.1\,x = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = 110 \end{equation*}

Se recomienda que produzcan 110 ventiladores para obtener la mayor utilidad.


Obviamente, lo mejor sería conocer la utilidad de vender un producto en función de su precio. Esto se puede lograr algunas veces, y el siguiente ejemplo muestra cómo determinar el precio que maximiza la utilidad.


Ejemplo 7

La utilidad U que obtiene una compañía al vender evaluaciones por Internet, cada una a p pesos, está dada por:

    \begin{equation*}    U(p) = -1.25\,p^2 + 635\,p - 120 \end{equation*}

¿A qué precio deben ofertar las evaluaciones para obtener la mayor utilidad?

Debemos calcular el máximo de U en función de p.

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dp} = 635 - 2.5\,p = 0\qquad\Rightarrow\qquad p = \frac{635}{2.5} = 254 \end{equation*}

Al vender a $254.00 pesos cada evaluación, la compañía obtendrá la mayor utilidad.



Ejemplo 8

La utilidad U(x) de producir x reguladores de voltaje se puede calcular con:

    \begin{equation*}    U(x) = \frac{50\,000}{x} + 5\,x \end{equation*}

Calcula:

  • la utilidad marginal
  • el número de reguladores de voltaje que deben producir para maximizar la utilidad.

Empezamos calculando la utilidad marginal:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = -\frac{50\,000}{x^2} + 5 \end{equation*}

Para calcular el número de reguladores de voltaje que deben producir para maximizar la utilidad, igualamos a cero el resultado anterior y resolvemos para x:

    \begin{equation*}    -\frac{50\,000}{x^2} + 5 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x^2 = \frac{50\,000}{5} = 10\,000 \end{equation*}

Esto significa que deben producir x = \sqrt{10\,000} = 100 reguladores de voltaje para obtener la mayor utilidad posible.



Ejemplo 9

Un fabricante de altavoces para computadora ha encontrado que el precio p y el número x de altavoces del modelo SR-71 que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:

    \begin{equation*}    p = 500 - \frac{x}{2} \end{equation*}

Por otra parte, saben que el costo C de producir x de esos altavoces viene dado por:

    \begin{equation*}    C(x) = 12\,000 + 125\,x - 0.001\,x^2 \end{equation*}

    i Determina x como una función de p

    ii Expresa C(x) como una función de p

    iii Calcula el valor de p que minimiza el costo de producción.

Para escribir x en términos de p, debemos despejar:

    \begin{eqnarray*}    p &=& 500 - \frac{x}{2}\\    \frac{x}{2} &=& 500 - p\\    x &=& 1\,000 - 2\,p \end{eqnarray*}

Ahora vamos a sustituir este resultado en la expresión para C(x):

    \begin{eqnarray*}    C(x) &=& 12\,000 + 125\,x + 0.001\,x^2\\ 	&=& 12\,000 + 12\,\left(1\,000 - 2\,p\right) + 0.001(1\,000 - 2\,p)^2\\ 	&=& 24\,000 - 24\,p + 0.001\,(10^6 - 4\,000\,p + 4\,p^2)\\ 	&=& 24\,000 - 24\,p + 1\,000 - 4\,p + 0.004\,p^2\\ 	&=& 25\,000 - 28\,p + 0.004\,p^2 \end{eqnarray*}

Para minimizar el costo, derivamos C(p) respecto de p, igualamos a cero y resolvemos:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dp} = -28 + 0.008\,p = 0\qquad\Rightarrow\qquad p = 3\,500 \end{equation*}

Esto significa que debe venderlos a $3,500.00 pesos para obtener la mayor utilidad posible. Observando la función de demanda que relaciona a x y a p, ¿crees que esto es posible?



Ejemplo 10

La utilidad U de producir x artículos diariamente en una planta de fabricación de neumáticos en Apodaca, N.L., es:

    \begin{equation*}    U(x) = 500 - 250\,x + 32\,x^2 - 0.35\,x^3 \end{equation*}

¿Qué producción diaria les trae la mayor utilidad?

Para calcular el máximo de la función de utilidad usaremos el criterio de la segunda derivada. Empezamos calculando la derivada:

    \begin{equation*}    \frac{dU}{dx} = -250 + 64\,x - 1.05\,x^2 \end{equation*}

Para conocer los puntos críticos igualamos a cero y resolvemos la ecuación cuadrática: -250 + 64\,x - 1.05\,x^2 = 0

    \begin{eqnarray*}    x &=& \frac{-64 \pm \sqrt{4096 - 4\,(1.05)(250)}}{-2.1}\\ 	&=& \frac{-64 \pm \sqrt{4096 - 1050}}{-2.1}\\ 	&=& \frac{-64 \pm \sqrt{3046}}{-2.1}\\ 	&\approx& \frac{-64 \pm 55.1906}{-2.1} \end{eqnarray*}

Nosotros solamente consideramos el valor positivo:

    \begin{equation*}    x \approx \frac{-64 - 55.1906}{-2.1} = 56.7574 \end{equation*}

Entonces, si la producción diaria se fija en 57 obtendrán una utilidad muy cercana a la máxima posible de acuerdo al modelo.

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