Lugares geométricos

En esta sección estudiaremos el concepto de lugar geométrico, concepto clave para el desarrollo del estudio de los conceptos de este semestre.

Contenido

1 Lugar geométrico
2 Geometría analítica
3 Ejemplo 1
4 Ejemplo 2

Lugar geométrico

El conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen ciertas condiciones dadas, y solamente esos puntos, se llama el lugar geométrico de esas condiciones.

La curva representada por una ecuación dada (referida a un sistema de coordenadas) es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Es decir, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación, en ésta se cumple la igualdad. Generalmente hablaremos de la ecuación de una curva refiriéndonos a lo anterior. También frecuentemente utilizaremos las palabras curva o gráfica como sinónimo de lugar geométrico.

La geometría analítica se dedica al estudio de las propiedades algebraicas y geométricas de los lugares geométricos.

Geometría analítica

Es el estudio de las propiedades geométricas por medio de operaciones algebraicas sobre símbolos definidos en términos de un sistema de coordenadas. La geometría analítica también se conoce como geometría de coordenadas.

La idea central de la geometría analítica está basada en el concepto de lugar geométrico, en el sentido de que si conocemos cualquier punto $P(x,y)$ que pertenece al lugar geométrico dado, entonces las condiciones nos ayudan a encontrar la ecuación del lugar geométrico.

Los siguientes ejemplos aclaran esta idea.

Ejemplo 1

Encuentra la ecuación de lugar geométrico cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento $\overline{AB}$ siendo $A(-1,3)$ y $B(3,1)$ .

Para esto necesitamos escribir de manera algebraica la condición dada en el problema. Sabemos que si el punto $P(x,y)$

pertenece al lugar geométrico, la distancia $\overline{AP}$

es igual a la distancia $\overline{PB}$

. Algebraicamente, la distancia del punto $A$

al punto $P$

es:

$\begin{equation*} |\overline{AP}| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 3)^2} \end{equation*}$

Por otra parte, la distancia del punto $P$ al punto $B$ es:

$\begin{equation*} |\overline{PB}| = \sqrt{(3 - x)^2 + (1 - y)^2} \end{equation*}$

El problema nos dice que estas distancias son iguales, entonces:

$\begin{eqnarray*} |\overline{AP}| &=& |\overline{PB}|\qquad\Rightarrow\\ \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 3)^2} &=& \sqrt{(3 - x)^2 + (1 - y)^2} \end{eqnarray*}$

Ahora debemos simplificar esta expresión hasta donde nos sea posible. Empezamos elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 3)^2}\right)^2 &=& \left(\sqrt{(3 - x)^2 + (1 - y)^2}\right)^2\\ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 &=& (3 - x)^2 + (1 - y)^2 \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a desarrollar los binomios que aparecen elevados al cuadrado:

$\begin{eqnarray*} \cancel{x^2} + 2\,x + \cancel{1} + \cancel{y^2} - 6\,y + \cancel{9} &=& \cancel{9} - 6\,x + \cancel{x^2} + \cancel{1} - 2\,y + \cancel{y^2}\\ 2\,x - 6\,y &=& - 6\,x - 2\,y \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a agrupar todos los términos que tienen como factor la literal $x$ y vamos a factorizarla. De manera semejante con la literal $y$ :

$\begin{eqnarray*} 2\,x + 6\,x - 6\,y + 2\,y &=& 0\\ 8\,x - 4\,y &=& 0\\ 2\,x - y &=& 0 \end{eqnarray*}$

Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

donde $\overline{AP} = \overline{PB}$ . La recta $y = 2\,x$ es la mediatriz del segmento $\overline{AB}$ . Es decir, pasa por el punto medio de los dos puntos y además es perpendicular al segmento mismo.

También podemos resolver el problema anterior de manera más general, lo cual se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación de lugar geométrico cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento $\overline{AB}$ siendo $A(x_a,y_a)$ y $B(x_b,y_b)$ .

Para esto necesitamos escribir de manera algebraica la condición dada en el problema. Sabemos que si el punto $P(x,y)$

pertenece al lugar geométrico, la distancia $\overline{AP}$

es igual a la distancia $\overline{PB}$

. Algebraicamente, la distancia del punto $A$

al punto $P$

es:

$\begin{equation*} |\overline{AP}| = \sqrt{(x - x_a)^2 + (y - y_a)^2} \end{equation*}$

Por otra parte, la distancia del punto $P$ al punto $B$ es:

$\begin{equation*} |\overline{PB}| = \sqrt{(x_b - x)^2 + (y_b - y)^2} \end{equation*}$

El problema nos dice que estas distancias son iguales, entonces:

$\begin{eqnarray*} |\overline{AP}| &=& |\overline{PB}|\qquad\Rightarrow\\\\ \sqrt{(x - x_a)^2 + (y - y_a)^2} &=& \sqrt{(x_b - x)^2 + (y_b - y)^2} \end{eqnarray*}$

Ahora debemos simplificar esta expresión hasta donde nos sea posible. Empezamos elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{(x - x_a)^2 + (y - y_a)^2}\right)^2 &=& \left(\sqrt{(x_b - x)^2 + (y_b - y)^2}\right)^2\\ (x - x_a)^2 + (y - y_a)^2 &=& (x_b - x)^2 + (y_b - y)^2 \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a desarrollar los binomios que aparecen elevados alcuadrado:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{(x - x_a)^2} + \textcolor{red}{(y - y_a)^2} &=& \textcolor{blue}{(x_b - x)^2} + \textcolor{red}{(y_b - y)^2}\\ \textcolor{blue}{x^2 - 2\,x\,x_a + x_a^2} + \textcolor{red}{y^2 - 2\,y\,y_a + y_a^2} &=& \textcolor{blue}{x_b^2 + 2\,x_b\,x + x^2} + \textcolor{red}{y_b^2 + 2\,y_b\,y + y^2}\\ \cancel{x^2} - 2\,x\,x_a + x_a^2 + \cancel{y^2} - 2\,y\,y_a + y_a^2 &=& x_b^2 + 2\,x_b\,x + \cancel{x^2} + y_b^2 - 2\,y_b\,y + \cancel{y^2}\\ - 2\,x\,x_a + x_a^2 - 2\,y\,y_a + y_a^2 &=& x_b^2 + 2\,x_b\,x + y_b^2 + 2\,y_b\,y \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a agrupar todos los términos que tienen como factor la literal $x$ y vamos a factorizarla. De manera semejante con la literal $y$ :

$\begin{eqnarray*} 2\,\textcolor{red}{x}\,x_a + 2\,x_b\,\textcolor{red}{x} + 2\,y_b\,\textcolor{blue}{y} + 2\,\textcolor{blue}{y}\,y_a + x_b^2 + y_b^2 - x_a^2 - y_a^2 &=& 0\\ \left(2\,x_a + 2\,x_b\right)\,\textcolor{red}{x} + \left(2\,y_a + 2\,y_b\right)\,\textcolor{blue}{y} + x_b^2 + y_b^2 - \left(x_a^2 + y_a^2\right) &=& 0 \end{eqnarray*}$