Lugares geométricos

Contenido

1 Simetría respecto a los ejes de coordenadas
2 Ejemplo 6
3 Intersección con los ejes
4 Ejemplo 7

Simetría respecto a los ejes de coordenadas

La gráfica de una ecuación $f(x,y)=0$ es simétrica respecto al eje $x$ si $f(x,y)=f(x,-y)$ . De manera semejante, la gráfica de la ecuación será simétrica respecto al eje $y$ si $f(x,y)=f(-x,y)$ .

Si al sustituir $-x$ en lugar de $x$ en la ecuación y obtenemos la misma ecuación después de realizar las operaciones que han quedado indicadas, entonces la gráfica de esa ecuación es simétrica respecto al eje $y$ .

Ejemplo 6

Grafica la siguiente ecuación:

$\begin{equation*} y - 2\,x^2 = 0 \end{equation*}$

Primero vamos a averiguar si la gráfica de esta función es simétrica respecto a alguno de los ejes.
Para esto, vamos a sustitur $-x$

en lugar de $x$

y después vamos a realizar las operaciones que queden indicadas para ver si cambió la ecuación:

$\begin{eqnarray*} y - 2\,(-x)^2 &=& 0\\ y - 2\,x^2 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Como la ecuación no se altera al sustituir $-x$ en lugar de $x$ , entonces, es simétrica respecto del eje $y$ .
Ahora vamos a hacer lo mismo, pero ahora cambiando el signo de $y$ en cualquier lugar que aparezca:

$\begin{eqnarray*} -y - 2\,x^2 &=& 0\\ y + 2\,x^2 &=& 0 \end{eqnarray*}$

La ecuación que obtuvimos es distinta a la ecuación que nos dieron en el problema, así que ésta no presenta simetría respecto al eje $x$ . Para graficar una ecuación es una buena idea tabular valores $(x,y)$ que satisfagan la misma. A continuación se muestra la gráfica de esta ecuación:

Intersección con los ejes

El lugar geométrico de la ecuación $f(x,y) = 0$ puede intersectar a uno o a ambos ejes. Para conocer los puntos de intersección con el eje $x$ sustituimos $y=0$ y resolvemos para $y$ . De manera semejante, para conocer las intersecciones con el eje $y$ sustituimos $x = 0$ y resolvemos para $y$ .

Arriba del eje $x$ , los valores de $y$ son positivos, debajo del eje $x$ los valores de $y$ son negativos. Exactamente sobre el eje $x$ los valores de $y$ son iguales a cero. Por eso, cuando queremos encontrar los puntos donde la gráfica que representa el lugar geométrico de una ecuación corta al eje $x$ , sustituimos $y = 0$ . De manera semejante, a la izquierda del eje $y$ , los valores de $x$ son negativos, y su derecha son positivos. Exactamente sobre el eje $y$ , los valores de $x$ son iguales a cero. Esto nos ayuda a encontrar las intersecciones de la gráfica de una ecuación.

Ejemplo 7

Verifica si el lugar geométrico de la ecuación $x^2 + y^2 - 14\,x - 8\,y = 0$ es simétrico respecto de los ejes coordenados y encuentra sus intersecciones con los ejes.

Para verificar si es simétrico respecto del eje $x$

sustituimos $-y$

en lugar de $y$

y verificamos si la ecuación cambia:

$\begin{eqnarray*} x^2 + (-y)^2 - 14\,x - 8\,(-y) &=& 0\\ x^2 + y^2 - 14\,x + 8\,y &=& 0 \end{eqnarray*}$

Como cambió el signo del último término, no es simétrica respecto del eje $x$ . Ahora verificamos si es simétrica respecto del eje $y$ . Para eso, sustituimos $-x$ en lugar de $x$ :

$\begin{eqnarray*} (-x)^2 + y^2 - 14\,(-x) - 8\,y &=& 0\\ x^2 + y^2 + 14\,x - 8\,y &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora cambió el signo del tercer término. Tampoco es simétrica respecto del eje $y$ . Para encontrar las intersecciones del lugar geométrico con el eje $x$ . Para eso sustituimos $y = 0$ en la ecuación, y resolvemos para $x$ :

$\begin{eqnarray*} x^2 + 0^2 - 14\,x - 8\,(0) &=& 0\\ x^2 - 14\,x &=& 0\\ x\,(x - 14) &=& 0 \end{eqnarray*}$

Por factorización, tenemos que $x=0$ , y que $x = 14$ . Por lo que las intersecciones del lugar geométrico con el eje $x$ están en los puntos: $(0,0)$ y $(14,0)$ . Ahora vamos a encontrar las intersecciones con el eje $y$ . Vamos a sustituir $x = 0$ en la ecuación y resolvemos para $y$ :

$\begin{eqnarray*} 0^2 + y^2 - 14\,x(0) - 8\,y &=& 0\\ y^2 - 8\,y &=& 0 \\ y\,(y - 8) &=& 0 \end{eqnarray*}$

En este caso, $y = 0$ y también, $y = 8$ . Entonces, las intersecciones con el eje $y$ están en los puntos: $(0,0)$ y $(0,8)$ . Ahora graficamos la ecuación.

Si sustituyes cada una de las coordenadas de los puntos de intersección deben satisfacerla ecuación. Esto es así porque esos puntos pertenecen a ese lugar geométrico.

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Simetría respecto a los ejes de coordenadas

Ejemplo 6

Intersección con los ejes

Ejemplo 7