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Lugares geométricos

Aprenderás a representar algebraicamente lugares geométricos.



Simetría respecto a los ejes de coordenadas

La gráfica de una ecuación f(x,y)=0 es simétrica respecto al eje x si f(x,y)=f(x,-y). De manera semejante, la gráfica de la ecuación será simétrica respecto al eje y si f(x,y)=f(-x,y).

Si al sustituir -x en lugar de x en la ecuación y obtenemos la misma ecuación después de realizar las operaciones que han quedado indicadas, entonces la gráfica de esa ecuación es simétrica respecto al eje y.


Ejemplo 6

Grafica la siguiente ecuación:

    \begin{equation*}    y - 2\,x^2 = 0 \end{equation*}

Primero vamos a averiguar si la gráfica de esta función es simétrica respecto a alguno de los ejes.
Para esto, vamos a sustitur -x en lugar de x y después vamos a realizar las operaciones que queden indicadas para ver si cambió la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    y - 2\,(-x)^2 &=& 0\\    y - 2\,x^2 &=& 0 \end{eqnarray*}

Como la ecuación no se altera al sustituir -x en lugar de x, entonces, es simétrica respecto del eje y.
Ahora vamos a hacer lo mismo, pero ahora cambiando el signo de y en cualquier lugar que aparezca:

    \begin{eqnarray*}    -y - 2\,x^2 &=& 0\\    y + 2\,x^2 &=& 0 \end{eqnarray*}

La ecuación que obtuvimos es distinta a la ecuación que nos dieron en el problema, así que ésta no presenta simetría respecto al eje x. Para graficar una ecuación es una buena idea tabular valores (x,y) que satisfagan la misma. A continuación se muestra la gráfica de esta ecuación:

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Intersección con los ejes

El lugar geométrico de la ecuación f(x,y) = 0 puede intersectar a uno o a ambos ejes. Para conocer los puntos de intersección con el eje x sustituimos y=0 y resolvemos para y. De manera semejante, para conocer las intersecciones con el eje y sustituimos x = 0 y resolvemos para y.

Arriba del eje x, los valores de y son positivos, debajo del eje x los valores de y son negativos. Exactamente sobre el eje x los valores de y son iguales a cero. Por eso, cuando queremos encontrar los puntos donde la gráfica que representa el lugar geométrico de una ecuación corta al eje x, sustituimos y = 0. De manera semejante, a la izquierda del eje y, los valores de x son negativos, y su derecha son positivos. Exactamente sobre el eje y, los valores de x son iguales a cero. Esto nos ayuda a encontrar las intersecciones de la gráfica de una ecuación.


Ejemplo 7

Verifica si el lugar geométrico de la ecuación x^2 + y^2 - 14\,x - 8\,y = 0 es simétrico respecto de los ejes coordenados y encuentra sus intersecciones con los ejes.

Para verificar si es simétrico respecto del eje x sustituimos -y en lugar de y y verificamos si la ecuación cambia:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + (-y)^2 - 14\,x - 8\,(-y) &=& 0\\    x^2 + y^2 - 14\,x + 8\,y &=& 0 \end{eqnarray*}

Como cambió el signo del último término, no es simétrica respecto del eje x. Ahora verificamos si es simétrica respecto del eje y. Para eso, sustituimos -x en lugar de x:

    \begin{eqnarray*}    (-x)^2 + y^2 - 14\,(-x) - 8\,y &=& 0\\    x^2 + y^2 + 14\,x - 8\,y &=& 0 \end{eqnarray*}

Ahora cambió el signo del tercer término. Tampoco es simétrica respecto del eje y. Para encontrar las intersecciones del lugar geométrico con el eje x. Para eso sustituimos y = 0 en la ecuación, y resolvemos para x:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + 0^2 - 14\,x - 8\,(0) &=& 0\\    x^2 - 14\,x &=& 0\\    x\,(x - 14) &=& 0 \end{eqnarray*}

Por factorización, tenemos que x=0, y que x = 14. Por lo que las intersecciones del lugar geométrico con el eje x están en los puntos: (0,0) y (14,0). Ahora vamos a encontrar las intersecciones con el eje y. Vamos a sustituir x = 0 en la ecuación y resolvemos para y:

    \begin{eqnarray*}    0^2 + y^2 - 14\,x(0) - 8\,y &=& 0\\    y^2 - 8\,y &=& 0 \\    y\,(y - 8) &=& 0 \end{eqnarray*}

En este caso, y = 0 y también, y = 8. Entonces, las intersecciones con el eje y están en los puntos: (0,0) y (0,8). Ahora graficamos la ecuación.

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Si sustituyes cada una de las coordenadas de los puntos de intersección deben satisfacerla ecuación. Esto es así porque esos puntos pertenecen a ese lugar geométrico.


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