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Simetría respecto a los ejes de coordenadas





Si al sustituir en lugar de
en la ecuación y obtenemos la misma ecuación después de realizar las operaciones que han quedado indicadas, entonces la gráfica de esa ecuación es simétrica respecto al eje
.
Ejemplo 6
Grafica la siguiente ecuación:
Para esto, vamos a sustitur


Como la ecuación no se altera al sustituir en lugar de
, entonces, es simétrica respecto del eje
.
Ahora vamos a hacer lo mismo, pero ahora cambiando el signo de en cualquier lugar que aparezca:
La ecuación que obtuvimos es distinta a la ecuación que nos dieron en el problema, así que ésta no presenta simetría respecto al eje . Para graficar una ecuación es una buena idea tabular valores
que satisfagan la misma. A continuación se muestra la gráfica de esta ecuación:
Intersección con los ejes







Arriba del eje , los valores de
son positivos, debajo del eje
los valores de
son negativos. Exactamente sobre el eje
los valores de
son iguales a cero. Por eso, cuando queremos encontrar los puntos donde la gráfica que representa el lugar geométrico de una ecuación corta al eje
, sustituimos
. De manera semejante, a la izquierda del eje
, los valores de
son negativos, y su derecha son positivos. Exactamente sobre el eje
, los valores de
son iguales a cero. Esto nos ayuda a encontrar las intersecciones de la gráfica de una ecuación.
Ejemplo 7
Verifica si el lugar geométrico de la ecuación es simétrico respecto de los ejes coordenados y encuentra sus intersecciones con los ejes.



Como cambió el signo del último término, no es simétrica respecto del eje . Ahora verificamos si es simétrica respecto del eje
. Para eso, sustituimos
en lugar de
:
Ahora cambió el signo del tercer término. Tampoco es simétrica respecto del eje . Para encontrar las intersecciones del lugar geométrico con el eje
. Para eso sustituimos
en la ecuación, y resolvemos para
:
Por factorización, tenemos que , y que
. Por lo que las intersecciones del lugar geométrico con el eje
están en los puntos:
y
. Ahora vamos a encontrar las intersecciones con el eje
. Vamos a sustituir
en la ecuación y resolvemos para
:
En este caso, y también,
. Entonces, las intersecciones con el eje
están en los puntos:
y
. Ahora graficamos la ecuación.
Si sustituyes cada una de las coordenadas de los puntos de intersección deben satisfacerla ecuación. Esto es así porque esos puntos pertenecen a ese lugar geométrico.
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