Lugares geométricos

Ahora vamos a resolver un ejemplo donde no obtendremos una recta, sino una circunferencia.

Ejemplo 3

Un punto $P(x,y)$ se mueve de tal manera que su distancia al punto $C(2,4)$ siempre es igual a 4. Encuentra la ecuación de este lugar geométrico.

La distancia desde el punto $P(x,y)$

hasta el punto $C(2,4)$

siempre es 4. Algebraicamente esta condición se escribe:

$\begin{equation*} 4 = \sqrt{(x-2)^2 + (y-4)^2} \end{equation*}$

Podemos simplificar esta expresión si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:

$\begin{equation*} 16 = (x-2)^2 + (y-4)^2 \end{equation*}$

Finalmente podemos desarrollar los binomios que quedaron indicados y simplificar la expresión:

$\begin{eqnarray*} 16 &=& x^2 - 4\,x + 4 + y^2 - 8\,y + 16\\ x^2 + y^2 - 4\,x - 8\,y + 4 &=& 0 \end{eqnarray*}$

La gráfica de este lugar geométrico es una circunferencia:

Cualquier punto $P(x,y)$ que esté sobre la circunferencia, estará a 4 unidades de distancia del punto $C(2,4)$ .

Ejemplo 4

Un punto $P(x,y)$ se mueve sobre el plano de manera que su distancia al punto $F(2,3)$ sea siempre la misma que la distancia a la recta $\ell:\hspace{0.25ex}y + 2 = 0$ . Encuentra la ecuación que representa a este lugar geométrico.

Sabemos que el punto $P$

está a la misma distancia de $F$

como de la recta $\ell$

. Por otra parte, un punto que está sobre la recta $y + 2 = 0$

tiene coordenadas $(x,-2)$

, porque $y=-2$

, independientemente del valor de $x$

. Entonces, la condición impuesta por el lugar geométrico se representa algebraicamente como:

$\begin{eqnarray*} |\overline{PF}| &=& |\ell\,P|\\ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} &=& \sqrt{(x - x)^2 + (y - 2)^2}\\ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} &=& \sqrt{(y - 2)^2} \end{eqnarray*}$

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad para desaparecer las raíces cuadradas y después desarrollamos los binomios que están elevados al cuadrado.

$\begin{eqnarray*} (x - 2)^2 + (y - 3)^2 &=& (y - 2)^2\\ \left[x^2 - 4\,x + 4\right] + \left[\cancel{y^2} - 6\,y + 9\right] &=& \cancel{y^2} - 6\,y + 9\\ x^2 - 4\,x - 10\,y + 9 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Esta es la ecuación que representa al lugar geométrico. Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

Ejemplo 5

Encuentra la ecuación del lugar geométrico que forma el punto $P(x,y)$ que se mueve de tal manera que su distancia del punto $A(8,0)$ siempre es el doble de la distancia al punto $B(2,0)$ .

Del texto es claro que se debe cumplir que:

$\begin{eqnarray*} \mbox{distancia }\overline{AP} &=& 2\cdot\mbox{distancia }\overline{BP}\\ |\overline{AP}| &=& 2\,|\overline{BP}|\\ \sqrt{(8 - x)^2 + y^2} &=& 2\,\sqrt{(2-x)^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad obtenemos:

$\begin{equation*} (8 - x)^2 + y^2 = 4\cdot[(2-x)^2 + y^2] \end{equation*}$

Podemos desarrollar los binomios al cuadrado y simplificar:

$\begin{eqnarray*} (8 - x)^2 + y^2 &=& 4\cdot[(2-x)^2 + y^2]\\ 64 - 16\,x + x^2 + y^2 &=& 4\cdot[4 - 4\,x + x^2 + y^2]\\ 64 - \cancel{16\,x} + x^2 + y^2 &=& 16 - \cancel{16\,x} + 4\,x^2 + 4\,y^2\\ 48 &=& 3\,x^2 + 3\,y^2\\ x^2 + y^2 &=& 16 \end{eqnarray*}$

Ahora nos enfrentamos al problema de visualizar el lugar geométrico.

La otra parte de la historia referente a los lugares geométricos consiste en tener una ecuación y nosotros debemos encontrar el lugar geométrico que ésta describe. Por ejemplo, si tenemos la ecuación: $2\,x + y - 1 = 0$ , nosotros debemos dibujar la gráfica de esta ecuación.