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Lugares geométricos

Aprenderás a representar algebraicamente lugares geométricos.


Ahora vamos a resolver un ejemplo donde no obtendremos una recta, sino una circunferencia.


Ejemplo 3

Un punto P(x,y) se mueve de tal manera que su distancia al punto C(2,4) siempre es igual a 4. Encuentra la ecuación de este lugar geométrico.

La distancia desde el punto P(x,y) hasta el punto C(2,4) siempre es 4. Algebraicamente esta condición se escribe:

    \begin{equation*}    4 = \sqrt{(x-2)^2 + (y-4)^2} \end{equation*}

Podemos simplificar esta expresión si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:

    \begin{equation*}    16 = (x-2)^2 + (y-4)^2 \end{equation*}

Finalmente podemos desarrollar los binomios que quedaron indicados y simplificar la expresión:

    \begin{eqnarray*}    16 &=& x^2 - 4\,x + 4 + y^2 - 8\,y + 16\\    x^2 + y^2 - 4\,x - 8\,y + 4 &=& 0 \end{eqnarray*}

La gráfica de este lugar geométrico es una circunferencia:

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Cualquier punto P(x,y) que esté sobre la circunferencia, estará a 4 unidades de distancia del punto C(2,4).



Ejemplo 4

Un punto P(x,y) se mueve sobre el plano de manera que su distancia al punto F(2,3) sea siempre la misma que la distancia a la recta \ell:\hspace{0.25ex}y + 2 = 0. Encuentra la ecuación que representa a este lugar geométrico.

Sabemos que el punto P está a la misma distancia de F como de la recta \ell. Por otra parte, un punto que está sobre la recta y + 2 = 0 tiene coordenadas (x,-2), porque y=-2, independientemente del valor de x. Entonces, la condición impuesta por el lugar geométrico se representa algebraicamente como:

    \begin{eqnarray*}    |\overline{PF}| &=& |\ell\,P|\\    \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} &=& \sqrt{(x - x)^2 + (y - 2)^2}\\    \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} &=& \sqrt{(y - 2)^2} \end{eqnarray*}

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad para desaparecer las raíces cuadradas y después desarrollamos los binomios que están elevados al cuadrado.

    \begin{eqnarray*}    (x - 2)^2 + (y - 3)^2 &=& (y - 2)^2\\    \left[x^2 - 4\,x + 4\right] + \left[\cancel{y^2} - 6\,y + 9\right] &=& \cancel{y^2} - 6\,y + 9\\    x^2 - 4\,x - 10\,y + 9 &=& 0 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación que representa al lugar geométrico. Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

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Ejemplo 5

Encuentra la ecuación del lugar geométrico que forma el punto P(x,y) que se mueve de tal manera que su distancia del punto A(8,0) siempre es el doble de la distancia al punto B(2,0).

Del texto es claro que se debe cumplir que:

    \begin{eqnarray*}    \mbox{distancia }\overline{AP} &=& 2\cdot\mbox{distancia }\overline{BP}\\    |\overline{AP}| &=& 2\,|\overline{BP}|\\    \sqrt{(8 - x)^2 + y^2} &=& 2\,\sqrt{(2-x)^2 + y^2} \end{eqnarray*}

Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad obtenemos:

    \begin{equation*}    (8 - x)^2 + y^2 = 4\cdot[(2-x)^2 + y^2] \end{equation*}

Podemos desarrollar los binomios al cuadrado y simplificar:

    \begin{eqnarray*}    (8 - x)^2 + y^2 &=& 4\cdot[(2-x)^2 + y^2]\\    64 - 16\,x + x^2 + y^2 &=& 4\cdot[4 - 4\,x + x^2 + y^2]\\    64 - \cancel{16\,x} + x^2 + y^2 &=& 16 - \cancel{16\,x} + 4\,x^2 + 4\,y^2\\    48 &=& 3\,x^2 + 3\,y^2\\    x^2 + y^2 &=& 16 \end{eqnarray*}

Ahora nos enfrentamos al problema de visualizar el lugar geométrico.

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La otra parte de la historia referente a los lugares geométricos consiste en tener una ecuación y nosotros debemos encontrar el lugar geométrico que ésta describe. Por ejemplo, si tenemos la ecuación: 2\,x + y - 1 = 0, nosotros debemos dibujar la gráfica de esta ecuación.

Para poder graficar de una manera rápida el lugar geométrico de una ecuación sirve apoyarnos en los siguientes conceptos.


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