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Límites

Aprenderás la noción intuitiva de límite.

Prestamos fáciles y rápidos

Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Empezaremos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial y del cálculo integral. Los conceptos fundamentales en cálculo, la derivada y la integral, son definidos a partir de otro, todavía más fundamental: el concepto de límite.

Aunque no siempre lo reconocemos, utilizamos los límites muy frecuentemente, pero no los reconocemos como tales simplemente porque no estamos acostumbrados a pensar en términos de ellos.


Ejemplo

¿Cómo medimos la velocidad de un coche?

Cuando viajamos en un coche es común revisar frecuentemente el velocímetro.

Supongamos que la velocidad que éste indica es de 45 km/hr. Nosotros podemos calcular la velocidad promedio \bar{v} de un móvil dividiendo la distancia d recorrida por él entre el tiempo t que le tomó recorrerla.

En un instante, es decir, en un punto del tiempo, la distancia recorrida es cero. ¿Cómo, entonces, medimos la velocidad para indicarla en el velocímetro?



Ejemplo

Imagina que tienes que llenar un vaso con agua. Abres el grifo del agua y ésta sale a razón de 30 mililitros por segundo. Sabiendo que la capacidad del vaso es de 300 ml, ¿Cuánto tiempo requieres para llenarlo?

Como cada segundo se vierten 30 ml de agua al vaso, en t=10 segundos está a su capacidad máxima. Lo interesante de esto es que notemos que conforme el valor de t se acerca a 10 el volumen de agua vertido en el vaso se aproxima cada vez más a 300 ml.



Ejemplo

Imagina que deseas calcular el valor exacto del número \pi. Sabiendo que el área del círculo unitario (de radio 1) es igual a \pi, vamos a encontrar una forma de ir aproximando el valor de esta constante geométrica.

Ya sabes que el área de un círculo de radio 1 es igual a \pi unidades cuadradas. Esto lo obtienes de sustituir r = 1 en la fórmula:

    \begin{equation*}    A = \pi\,r^2 \end{equation*}

donde A es el área del círculo y r es su radio. Entonces, podemos ir dibujando polígonos regulares en el círculo unitario (es decir, de radio 1), calcular el área de cada uno, y después aumentar el número de lados del polígono.

Sea n el número de lados del polígono dibujado en el círculo unitario, y hagamos que n vayan creciendo. Cuando n sea infinito, obtedremos el valor exacto del número \pi. Decimos que \pi es el valor del límite al cual tiende el área del polígono inscrito en el círculo unitario.

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Observa que conforme hacemos crecer el número de lados n, el área A_n del polígono de n lados se acerca cada vez más al área de la círculo, que es igual a \pi, dado que su radio es 1. El polígono regular que vamos dibujando inscrito al círculo tiene su propia área.
Si hacemos que el número de lados de este polígono crezca mucho, su área cada vez se acercará a la del círculo.

Un matemático diría: el límite del área del polígono inscrito a la circunferencia unitaria cuando su número de lados tiende a infinito es \pi.



Ejemplo

Luisa tiene una cuerda de un metro de largo. Como está aburrida y quiere matar el ocio, empieza a cortar la cuerda por la mitad exactamente. De los dos trozos que obtuvo, uno lo coloca en una mesa que está junto a ella y el otro trozo lo vuelve a partir por la mitad; de nuevo un trozo lo coloca en la mesa y el otro lo vuelve a cortar por la mitad. Si ella realiza n cortes, ¿Cuál es la longitud de cuerda que está en la mesa?

Observa que cada vez corta la mitad de lo que le queda en la mano. En el primer corte tiene medio metro en cada trozo. Después de cortar la segunda vez tiene un cuarto. Después de cortar la tercera vez tiene un octavo de metro, y así sucesivamente. Esto es,

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + &\cdots& + \frac{1}{2^n}\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + &\cdots& + \frac{1}{2^n}\\ \end{eqnarray*}

En cada corte que hace Luisa a la cuerda, obtiene la mitad del pedazo anterior, y éste lo suma a la longitud que ya tenía en la mesa.
La misma situación práctica nos sugiere una interpretación en una recta numérica, como se muestra a continuación:

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O bien, en una tabla:

    \[\begin{array}{cc}\hline \text{\textbf{No. Corte}} & \text{\texbf{Longitud del corte}} \\\hline 0 & 1 \;\mathrm{m}\\ 1 & 1/2 \;\mathrm{m}\\ 2 & 1/2^2 \;\mathrm{m}\\ 3 & 1/2^3 \;\mathrm{m}\\ $\cdots$ & $\cdots$\\ $n$ & $1/2^n\;\mathrm{m}$ \\\hline \end{array}\]

Observa que cada vez que ella corta el trozo de cuerda que le queda en la mano, obtiene otros dos nuevos trozos que tienen el mismo tamaño, porque siempre corta por la mitad. Entonces, el último trozo que sumó a la cantidad de cuerda que había en la mesa es igual al trozo con el que se quedó en la mano. Esto significa que la suma de la cuerda que está en la mesa es igual a 1 metro de cuerda (la longitud inicial de la cuerda) menos la longitud del trozo que le quedó en la mano, cuya longitud es igual a la del último trozo que agregó.

    \begin{equation*}  \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}      = 1 - \frac{1}{2^n} = \frac{2^n}{2^n}-\frac{1}{2^n}	= \frac{2^n-1}{2^n} \end{equation*}

Observa que conforme n crece la suma se acerca cada vez más a 1.
Esto es así porque el trozo de cuerda que le queda en la mano es cada vez más pequeño.





Ejemplo

Un terreno que va a ser repartido entre todos los que llegarán al Castillo de Chato Petter de tal forma que a la primera persona le tocará la mitad del terreno, a la segunda persona la mitad de lo que quede y a la siguiente persona la mitad que quede, y así sucesivamente. Enseguida se muestra la interpretación geométrica de esta situación.

Como a la primer persona le toca la mitad, dividimos el terreno por la mitad. A la segunda persona le corresponde la mitad de la mitad, es decir, una cuarta parte de todo el terreno. A la siguiente personal la mitad de lo que quede, y así sucesivamente… A la persona n-ésima le darán 1/2^n del terreno:

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Observa que la suma:

    \begin{equation*}    \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} = \frac{2^n-1}{2^n} \end{equation*}

se aproxima mucho a 1 cuando el valor de n crece mucho, sin embargo, nunca se hace igual a 1, porque para que eso ocurriera, necesariamente el numerador debería ser igual al denominador, pero eso nunca ocurre, porque se está restando 1 a 2^n.
Por otra parte, cuando los valores de n crecen mucho, el número 1 se hace insignificante comparado con 2^n, y esto hace que el cociente:

    \begin{equation*}    \frac{2^n-1}{2^n} \end{equation*}

se aproxime cada vez más al número 1, pero como ya dijimos, nunca lo iguala.



Ejemplo

Cuando una piedra cae desde 10 metros de altura, su posición y puede calcularse con la fórmula:

    \begin{equation*}    y = 10 - 4.905 t^2 \end{equation*}

donde t es el tiempo que lleva cayendo. ¿Qué velocidad lleva a los 1.25 segundos después de inciar la caída?

Podemos calcular la altura a la que se encuentra 1.2 segundos después de iniciar la caída:

    \begin{equation*}    y(1.2) = 10 - 4.905 (1.2)^2 = 2.9368\mbox{ metros.} \end{equation*}

Y cuando ya pasaron 1.25 segundos su altura es:

    \begin{equation*}    y(1.25) = 10 - 4.905 (1.25)^2 = 2.3329\mbox{ metros.} \end{equation*}

Entonces, entre los primeros 1.2 y 1.25 segundos ha recorrido:

    \begin{equation*}    y(1.2) - y(1.25) = 2.9368 - 2.3329 = 0.6 \mbox{ metros} \end{equation*}

Su velocidad promedio en ese intervalo es:

    \begin{equation*}    \bar{v} = \frac{d}{t} = \displaystyle\frac{0.6}{0.05} = 12 \mbox{ m/s} \end{equation*}

Observa que hemos considerado la piedra justo antes de que pase por t = 1.25.

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Vamos a calcular su velocidad justo después de pasar por ahí. Primero calculamos la altura que tiene esa predra a los 1.3 segundos:

    \begin{equation*}    y(1.3) = 10 - 4.905 (1.3)^2 = 1.71\mbox{ metros.} \end{equation*}

Y como y(1.25) = 2.3329, entre los primeros 1.25 y 1.3 segundos ha recorrido:

    \begin{equation*}    y(1.2) - y(1.25) = 2.3329 - 1.71 = 0.6229 \mbox{ metros} \end{equation*}

Y ahora su velocidad es:

    \begin{equation*}    \bar{v} = \displaystyle\frac{d}{t} = \displaystyle\frac{0.6229}{0.05} = 12.458 \mbox{ m/s} \end{equation*}

Obviamente, al llevar más tiempo de caída, como está siendo acelerado debido a la gravedad, su velocidad creció. Pero no hemos medido su velocidad cuando t = 1.25 segundos, sino un poco antes y un poco después.

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Podemos calcular el promedio de las dos velocidades y suponer que este promedio está muy cerca de la velocidad que tiene la piedra cuando t = 1.25 segundos:

    \begin{equation*}    \bar{v}_f = \frac{12 + 12.458}{2} = 12.229 \mbox{ m/s} \end{equation*}

Sin embargo, no estamos seguros de que esta velocidad esté correcta. Si comparamos otros valores de t poco antes y poco después y volvemos a calcular el promedio, el resultado no necesariamente será el mismo.

Vamos a elaborar una tabla, para calcular la altura de la piera para diferentes valores de t antes y después de t=1.25. A partir de esos valores vamos a calcular la velocidad alrededor del valor de t = 1.25 para ver cómo cambia.

Aprende Producción de Audio

    \[\begin{array}{ccccc}\hline t      & y(t)  & \Delta d & \Delta t & \bar{v} \\ \hline 1.2000 &  2.9368 & 0.6009     & 0.0500     & 12.0180 \\ 1.2250 &  2.6394 & 0.3035     & 0.0250     & 12.1400 \\ 1.2375 &  2.4885 & 0.1526     & 0.0125     & 12.2080 \\ 1.2500 &  2.3359 & 0.0000     & 0.0000     & --\,--\,--\,-- \\ 1.2625 &  2.1819 & 0.1540     & 0.0125     & 12.3200 \\ 1.2750 &  2.0263 & 0.3096     & 0.0250     & 12.3840 \\ 1.3000 &  1.7106 & 0.6253     & 0.0500     & 12.5060\\ \hline \end{array}\]

De la tabla podemos observar que la velocidad que obtenemos depende cómo nos acerquemos al punto t = 1.25 s. Nuestro problema consiste en calcular la velocidad de la piedra en ese instante. De cualquier manera, el promedio que dimos antes (\bar{v}_f = 12.229 m/s) parece estar correcto.


Esa palabra parece nos deja con la duda. Sabemos que es una aproximación inteligente, pero nos gustaría conocer con mayor certeza el valor de la velocidad en ese punto. En el siguiente ejemplo utilizaremos un recurso geométrico.


Ejemplo

Un estudiante de física lanzó una piedra hacia arriba de manera tal que su trayectoria sigue una parábola y la altura y medida en metros puede calcularse con:

    \begin{equation*}    y(t) = -4.905\,t^2 + 24.535\,t \end{equation*}

donde t es el tiempo que lleva la piedra en el aire medido en segundos. Interpreta gráficamente la velocidad de la piedra a los dos segundos de haber sido lanzada.

Podemos calcular la posición de la piedra a los dos segundos:

    \begin{equation*}    y(2) = -4.905\,(2)^2 + 24.535\,(2) = 29.45\mbox{ metros.} \end{equation*}

Y su posición a los 2.5 segundos es:

    \begin{equation*}    y(2.5) = -4.905\,(2.5)^2 + 24.535\,(2.5) = 30.68 \mbox{ metros.} \end{equation*}

Mientras que su posición después de 1.5 segundos de haber sido lanzada es:

    \begin{equation*}    y(1.5) = -4.905\,(1.5)^2 + 24.535\,(1.5) = 25.76 \mbox{ metros.} \end{equation*}

Vamos a graficar esta función en el intervalo 2\leq t \leq 2.5:

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Recuerda que en el eje vertical tenemos la distancia que recorrió en t segundos. El eje horizontal está representando al tiempo. En la gráfica se incluyeron los puntos A(1.5,25.76), B(2,29.45) y C(2.5,30.68).

De la gráfica se deduce inmediatamente que mientras la piedra se movía del punto A al punto B recorrió una mayor distancia que en el trayecto de B a C, a pesar de que utilizó la misma cantidad de tiempo. Esto nos indica que viajó, en promedio a mayor velocidad en el primer intervalo.

La velocidad se calcula dividiendo distancia entre tiempo. La velocidad promedio a la que viajó el tramo \segm{AB} es:

    \begin{equation*}    \bar{v}_{AB} = \frac{29.45 - 25.76}{2.0 - 1.5} = \frac{3.7}{0.5} = 7.4 \mbox{ m/s} \end{equation*}

Por otra parte, la velocidad promedio para el tramo \segm{BC} es:

    \begin{equation*}    \bar{v}_{BC} = \frac{30.68 - 29.45}{2.5 - 2.0} = \frac{1.23}{0.5} = 2.46 \mbox{ m/s} \end{equation*}

¡Vaya diferencia!

Observa que la velocidad promedio en realidad es la pendiente de la recta que pasa por los puntos de interés. Recuerda que la pendiente de una recta es una razón de dos cantidades:

    \begin{equation*}    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{equation*}

Si en el numerador de la pendiente escribimos una distancia y en el denominador tiempo, la pendiente representa una velocidad promedio. Geométricamente ahora puedes notar la gran diferencia en las velocidad medida entre los puntos A y B comparada con los puntos B y C. La pendiente de cada segmento en la gráfica nos debe mostrar eso (los segmentos no están incluidos en la gráfica.)


Pero no hemos terminado con el problema inicial. Debemos calcular la velocidad de un objeto que se mueve, pero en un instante.


Ejemplo

Sabiendo que la pendiente se interpreta como una velocidad, aproxima la velocidad promedio para acercarla cada vez más a la velocidad instantánea.

Utilizaremos la gráfica del ejemplo anterior:

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Ahora lo que debemos hacer es acercar el punto C al punto B poco a poco para ver cómo se comporta la pendiente de la recta que pasa por B y C. Ya sabemos cómo calcular y a partir de t:

    \begin{equation*}    y(t) = -4.905\,t^2 + 24.535\,t \end{equation*}

Así que si hacemos t_0 = 2, trataremos de averiguar qué ocurre con la pendiente de la recta conforme los valores de \Delta t se acercan a cero. Esto implica que el punto C se aproxime cada vez más al punto B. Así podremos calcular la velocidad de esa piedra en el instante t = 2. Empezamos, si t_0 = 2 está fijo y le sumamos la cantidad \Delta t, entonces, y se comporta así:

    \begin{eqnarray*}    y(2 + \Delta t) &=& -4.905\,(2 + \Delta t)^2 + 24.535\,(2 + \Delta t)\\ 	&=& -4.905\,\left(4 + 4 \Delta t + (\Delta t)^2\right) + 49.08 + 24.535\,\Delta t\\ 	&=& -19.62 - 19.62\,\Delta t - 4.05\,(\Delta t)^2 + 49.08 + 24.535\,\Delta t\\ 	&=& 29.46 + 4.915\,\Delta t - 4.05\,(\Delta t)^2  \end{eqnarray*}

La última expresión nos indica cómo se comporta y(2 + \Delta t). Cuando \Delta t se hace muy pequeño, casi cero, y(2 + \Delta t) debe aproximarse a y(2):

    \begin{equation*}    y(2) = 29.46 + 4.915\,(0) - 4.05\,(0)^2  = 29.46 \end{equation*}

Esto está de acuerdo con la intuición. Observa que y(2 + \Delta t) - y(2) representa la distancia que la piedra recorrió durante \Delta t segundos, a partir de t=2. Ahora veamos qué pasa con el cociente [y(2 + \Delta t) - y(2)]/(\Delta t), que es igual a la velocidad promedio:

    \begin{eqnarray*}    \bar{v}_{BC} &=& \displaystyle\frac{y(2 + \Delta t) - y(2)}{\Delta t}\\ 	&=& \displaystyle\frac{[29.46 + 4.915\,\Delta t - 4.05\,(\Delta t)^2] - 29.46}{\Delta t}\\ 	&=& 4.915 - 4.05\,\Delta t\\ \end{eqnarray*}

Cuando \Delta t se hace muy pequeño, la velocidad promedio se acerca mucho a la velocidad que debe tener la piedra cuando t=2 segundos, que en este caso es de:

    \begin{equation*}    v_B = 4.915 - 4.05\,(0) = 14.725 \mbox{ m/s.} \end{equation*}


En el ejemplo anterior notamos que la velocidad promedio de la piedra entre los puntos B y C está representada geométricamente por la pendiente de la recta que pasa por esos puntos.

Cuando acercamos el punto C al punto B la recta secante a la parábola se va acercando a la tangente a la parábola en el punto B.

Precisamente esta es la interpretación geométrica de la velocidad instantánea.

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