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Límites

Aprenderás la noción intuitiva de límite.

Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Empezaremos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial y del cálculo integral. Los conceptos fundamentales en cálculo, la derivada y la integral, son definidos a partir de otro, todavía más fundamental: el concepto de límite.

Aunque no siempre lo reconocemos, utilizamos los límites muy frecuentemente, pero no los reconocemos como tales simplemente porque no estamos acostumbrados a pensar en términos de ellos.


Ejemplo 1

¿Cómo medimos la velocidad de un coche?

Cuando viajamos en un coche es común revisar frecuentemente el velocímetro.

Supongamos que la velocidad que éste indica es de 45 km/hr. Nosotros podemos calcular la velocidad promedio \bar{v} de un móvil dividiendo la distancia d recorrida por él entre el tiempo t que le tomó recorrerla.

En un instante, es decir, en un punto del tiempo, la distancia recorrida es cero. ¿Cómo, entonces, medimos la velocidad para indicarla en el velocímetro?



Ejemplo 2

Imagina que tienes que llenar un vaso con agua. Abres el grifo del agua y ésta sale a razón de 30 mililitros por segundo. Sabiendo que la capacidad del vaso es de 300 ml, ¿Cuánto tiempo requieres para llenarlo?

Como cada segundo se vierten 30 ml de agua al vaso, en t=10 segundos está a su capacidad máxima. Lo interesante de esto es que notemos que conforme el valor de t se acerca a 10 el volumen de agua vertido en el vaso se aproxima cada vez más a 300 ml.



Ejemplo 3

Imagina que deseas calcular el valor exacto del número \pi. Sabiendo que el área del círculo unitario (de radio 1) es igual a \pi, vamos a encontrar una forma de ir aproximando el valor de esta constante geométrica.

Ya sabes que el área de un círculo de radio 1 es igual a \pi unidades cuadradas. Esto lo obtienes de sustituir r = 1 en la fórmula:

    \begin{equation*}    A = \pi\,r^2 \end{equation*}

donde A es el área del círculo y r es su radio. Entonces, podemos ir dibujando polígonos regulares en el círculo unitario (es decir, de radio 1), calcular el área de cada uno, y después aumentar el número de lados del polígono.

Sea n el número de lados del polígono dibujado en el círculo unitario, y hagamos que n vayan creciendo. Cuando n sea infinito, obtedremos el valor exacto del número \pi. Decimos que \pi es el valor del límite al cual tiende el área del polígono inscrito en el círculo unitario.

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Observa que conforme hacemos crecer el número de lados n, el área A_n del polígono de n lados se acerca cada vez más al área de la círculo, que es igual a \pi, dado que su radio es 1. El polígono regular que vamos dibujando inscrito al círculo tiene su propia área.
Si hacemos que el número de lados de este polígono crezca mucho, su área cada vez se acercará a la del círculo.

Un matemático diría: el límite del área del polígono inscrito a la circunferencia unitaria cuando su número de lados tiende a infinito es \pi.



Ejemplo 4

Luisa tiene una cuerda de un metro de largo. Como está aburrida y quiere matar el ocio, empieza a cortar la cuerda por la mitad exactamente. De los dos trozos que obtuvo, uno lo coloca en una mesa que está junto a ella y el otro trozo lo vuelve a partir por la mitad; de nuevo un trozo lo coloca en la mesa y el otro lo vuelve a cortar por la mitad. Si ella realiza n cortes, ¿Cuál es la longitud de cuerda que está en la mesa?

Observa que cada vez corta la mitad de lo que le queda en la mano. En el primer corte tiene medio metro en cada trozo. Después de cortar la segunda vez tiene un cuarto. Después de cortar la tercera vez tiene un octavo de metro, y así sucesivamente. Esto es,

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + &\cdots& + \frac{1}{2^n}\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + &\cdots& + \frac{1}{2^n}\\ \end{eqnarray*}

En cada corte que hace Luisa a la cuerda, obtiene la mitad del pedazo anterior, y éste lo suma a la longitud que ya tenía en la mesa.
La misma situación práctica nos sugiere una interpretación en una recta numérica, como se muestra a continuación:

Rendered by QuickLaTeX.com

O bien, en una tabla:

    \[\begin{array}{cc}\hline \text{\textbf{No. Corte}} & \text{\texbf{Longitud del corte}} \\\hline 0 & 1 \;\mathrm{m}\\ 1 & 1/2 \;\mathrm{m}\\ 2 & 1/2^2 \;\mathrm{m}\\ 3 & 1/2^3 \;\mathrm{m}\\ $\cdots$ & $\cdots$\\ $n$ & $1/2^n\;\mathrm{m}$ \\\hline \end{array}\]

Observa que cada vez que ella corta el trozo de cuerda que le queda en la mano, obtiene otros dos nuevos trozos que tienen el mismo tamaño, porque siempre corta por la mitad. Entonces, el último trozo que sumó a la cantidad de cuerda que había en la mesa es igual al trozo con el que se quedó en la mano. Esto significa que la suma de la cuerda que está en la mesa es igual a 1 metro de cuerda (la longitud inicial de la cuerda) menos la longitud del trozo que le quedó en la mano, cuya longitud es igual a la del último trozo que agregó.

    \begin{equation*}  \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}      = 1 - \frac{1}{2^n} = \frac{2^n}{2^n}-\frac{1}{2^n}	= \frac{2^n-1}{2^n} \end{equation*}

Observa que conforme n crece la suma se acerca cada vez más a 1.
Esto es así porque el trozo de cuerda que le queda en la mano es cada vez más pequeño.





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