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Límites de funciones

Aprenderás a calcular límites de funciones.

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Vamos a aplicar las propiedades de los límites para calcular límites de algunas funciones.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}+ \frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} \end{equation*}$

Sin el apoyo de las propiedades de los límites que se acaban de mencionar (en la lección previa), empezaríamos realizando la suma de fracciones algebraicas que está indicada en la función. Mejor calculamos dos límites, aplicando la propiedad III.

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} \end{equation*}$

El primero de los límites es inmediato, dado que al sustituir no obtenemos división entre cero:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{2} \end{equation*}$

El segundo límite lo calculamos factorizando el denominador:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}} \end{equation*}$

Ahora podemos simplificar la fracción, con lo que obtenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x + 2}\right)} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \end{equation*}$

Por lo tanto,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}+ \frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \end{equation*}$

Se te queda como ejercicio verificar con el uso de una tabla de valores que el resultado es correcto.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{x^2 + 11}{x + 1}\right)} \end{equation*}$

aplicando la propiedad V de los límites.

Este problema se resolvió en la lección previa. Aplicamos directamente la propiedad V de los límites para verificar el resultado:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{x^2 + 11}{x + 1}\right)} = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 3}{(x^2 + 11)}}{\lim\limits_{x\rightarrow 3}{(x+1)}} = \frac{(3)^2 + 11}{3 + 1} = \frac{20}{4} = 5 \end{equation*}$

Y ambos resultados son correctos. Observa que como en el numerador como en el denomimador tenemos funciones polinomiales, podemos sustituir directamente el valor al cual tienen las funciones. También debes notar que el denominador no se hace cero. Eso nos permite evaluar inmediatamente el límite.

Sin embargo, hay casos en los que el límite de la función en un punto particular no existe.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)} \end{equation*}$

aplicando la propiedad V de los límites.

Este problema es parecido al anterior. Aplicamos directamente la propiedad V de los límites:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left(\displaystyle\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)} = \displaystyle\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}{(x^2 + 11)}}{\lim\limits_{x\rightarrow 1}{(x-1)}} = \displaystyle\frac{(3)^2 + 11}{1- 1} = \displaystyle\frac{12}{0} \end{equation*}$

Pero no tiene sentido dividir entre cero. Si tratamos de resolver el problema tratando de simplificar, nos damos cuenta que no podemos factorizar el binomio $x-1$ de $x^2+ 11$ . Esto nos indica que conforme nos acercamos a $x = 1$ la gráfica de la función

$\begin{equation*} y = \frac{x^2 + 11}{x - 1} \end{equation*}$

crece mucho, porque precisamente en $x = 1$ esta gráfica tiene una asíntota.

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Cuando nos acercamos a $x=1$ por la derecha, la función tiende a crecer infinitamente. Es decir,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)} = \infty \end{equation*}$

Por otra parte, cuando $x$ se acerca mucho a $1$ por la izquierda, la función se hace negativa y se va a menos infinito:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)} = -\infty \end{equation*}$

Si ambos límites laterales fueran iguales, por ejemplo, que ambos se fueran a $+\infty$ , entonces concluiríamos que el límite es ese valor. Pero no ocurre así, los dos límites laterales son distintos. Entonces,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)}\mbox{ no existe.} \end{equation*}$

Límite lateral

Cuando calculamos el límite $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)}$ usando valores de $x$ tales que $x_i < x_0$ , entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la izquierda. Por otra parte, si calculamos el mismo límite pero usando valores de $x$ tales que $x_i > x_0$ , entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la derecha.

Cuando los dos límites son iguales decimos que el límite existe y es igual al valor común obtenido en ellos.

Cuando los límites laterales no coinciden decimos que el límite $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)}$ no existe.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} \end{equation*}$

Ya sabemos que la función $y = 1/x$ no está definida cuando $x = 0$ . Además, cuando $x$ es negativo, los valores de $y$ que le corresponden también son negativos. Y cuando $x$ es positivo, los valores que le corresponden de $y$ también son positivos. Cuando $x$ es muy cercano a cero, los valores de $y$ crecen. Por ejemplo, considere, $x = \displaystyle\frac{1}{10^k}$ , con $k\in\mathbb{N}$ , entonces:

$\begin{equation*} \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{10^k}\right)}\right) = \left(\displaystyle\frac{10^k}{1}\right) = 10^k \end{equation*}$

Conforme $k$ crece, los valores de $x$ se acercan cada vez más a cero, porque $x = \displaystyle\frac{1}{10^k}$ .

Observa que:

$\begin{equation*} x\cdot y = 1 \end{equation*}$

y que

$\begin{equation*} \frac{1}{10^k}\cdot 10^k = 1 \end{equation*}$

Pero los valores de $y$ se hacen cada vez más grandes: $y = 10^k$ . Observa que $x>0$ implica que $y > 0$ .

Cuando $x$ sea negativo ocurrirá lo mismo, pero ahora los valores de $y$ serán negativos.

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Entonces, por una parte, el límite por la izquierda:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}{\left(\frac{1}{x}\right)} = -\infty \end{equation*}$

Y el límite por la derecha:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}{\left(\frac{1}{x}\right)} = \infty \end{equation*}$

Como ambos límites son diferentes, el límite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)}\mbox{ no existe.} \end{equation*}$

Observa la notación:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}{f(x)} \end{equation*}$

indica el límite por la izquierda, mientras que:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}{f(x)} \end{equation*}$

indica el límite por la derecha.

Es importante hacer notar que no todos los límites de funciones racionales cuando $x$ tiende a cero no existen. El verdadero problema surge cuando el denominador de la función racional se hace cero. Entonces habrá que ver que los límites laterales coincidan.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} \end{equation*}$

En este caso, la función tampoco está definida para $x=0$ . De nuevo, la gráfica presenta una asíntota en $x=0$ . Pero $y$ siempre es positiva, porque $x$ aparece elevada al cuadrado. Esto nos indica que los límites laterales tienden a infinito los dos. Esto es evidente de la gráfica de la función:

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El límite por la izquierda es:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = \infty \end{equation*}$

Y el límite por la derecha:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = \infty \end{equation*}$

Como ambos límites son iguales,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = \infty \end{equation*}$

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{6\,x^2 - 18\,x}\right)} \end{equation*}$

Si empezamos sustituyendo $x = 3$ en la función obtenemos una indeterminación:

$\begin{equation*} y(3) = \frac{2\,(3) - 6}{6\,(3)^2 - 18\,(3)} = \frac{0}{0} \end{equation*}$

Así que lo que tenemos que hacer es factorizar:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{6\,x^2 - 18\,x}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{3x\,(2\,x - 6)}\right)} \end{equation*}$

Para $x \neq 3$ , podemos escribir:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{6\,x^2 - 18\,x}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{1}{3\,x}\right)} = \frac{1}{9} \end{equation*}$

Como el denominador no se hace cero, podemos evaluar la función en $x = 3$ . También podemos justificar este resultado usando la propiedad V de los límites. Se te queda como ejercicio.

Algunos límites parecen difíciles de calcular, pero no lo son.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}\right)} \end{equation*}$

Si sustituimos $x = 2$ en la función obtenemos cero sobre cero:

$\begin{equation*} y(2) = \frac{2 - 2}{\sqrt{2 - 2}} = \frac{0}{0} \end{equation*}$

Así que tenemos que simplificar la expresión (si es posible). Recuerda que $\sqrt{p}\cdot\sqrt{p} = p$ para cualquier valor $p$ . Entonces,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\displaystyle\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x - 2}\cdot\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} \end{equation*}$

Ahora sí podemos evaluar el límite porque no tenemos división entre cero:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\displaystyle\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} = \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = \textcolor{red}{0} \end{equation*}$

Y terminamos.

Debes tener en mente que no siempre basta con sustituir el valor al cual tiende $x$ . También hay que verificar que este valor esté en el dominio de la función. El dominio de la función $y = \sqrt{x - 2}$ es: $x\geq 2$ , porque el radicando debe ser no negativo para que la función asigne un valor a $y$ .

El siguiente ejemplo termina el previo.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} \end{equation*}$

Primero debemos observar que $x = 2$ es el mínimo valor que puede tomar $x$ para que la función $y = \sqrt{x - 2}$ nos devuelva un valor para $y$ . Por ejemplo, si $x = 1$ , obtenemos: $y(1) = \sqrt{1 - 2} = \sqrt{-1}$ . Como no nos devuelve un número real, decimos que no está definida para $x < 2$ .

Esto nos hace imposible calcular el límite por la derecha de esta función. En otras palabras, el límite por la izquierda no existe. Por otra parte, el límite por la derecha se puede calcular fácilmente. Dado que la función está definida para $x \geq 2$ , tenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} = \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0 \end{equation*}$

Pero para que el límite $\lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\right)}$ exista, se requiere que los límites laterales sean iguales. Como un límite lateral no existe (el izquierdo), es imposible que los dos límites laterales sean iguales y por eso

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)}\mbox{ no existe.} \end{equation*}$

La moraleja que debes aprender de los dos ejemplos anteriores es que no basta con simplificar y sustituir. Siempre tienes que tener en mente que para que el límite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)}\qquad\mbox{exista,} \end{equation*}$

deben existir los dos límites laterales por la izquierda y por la derecha:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow x_0^{-}}{f(x)}\qquad\mbox{ y } \qquad \lim\limits_{x\rightarrow x_0^{+}}{f(x)} \end{equation*}$

En el caso de que la función no esté definida a la izquierda o a la derecha de $x_0$ nos impide calcular el límite por ese lado, por lo que el límite no existe.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)} \end{equation*}$

Ya sabemos que cuando $x\rightarrow 0$ , el cociente $1/x$ no está definido. Podemos hacer un cambio de variable, definiendo: $u = 1/x$ , entonces:

$\begin{equation*} \frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3} = \displaystyle\frac{u^2 + 5\,u + 6}{u + 3} \end{equation*}$

La fracción en términos de $u$ puede simplificarse si factorizamos el numerador:

$\begin{equation*} \frac{u^2 + 5\,u + 6}{u^2 + 3} = \frac{(u+2)(u+3)}{u+3} = u + 2 \end{equation*}$

Observa que el denominador se hace cero cuando $u = -3$ , es decir, cuando $x = -1/3$ .

Y al regresar a escribirlo en términos de $x$ tenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{1}{x} + 2\right)} \end{equation*}$

Esto puede descomponerse como una suma de límites, gracias a la propiedad III de los límites:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x} + 2\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(2\right)} \end{equation*}$

Por la propiedad I, tenemos: $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(2\right)}=2$ , pero ya sabíamos que

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} \mbox{ no existe.} \end{equation*}$

Entonces, el límite

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)}\mbox{ tampoco existe.} \end{equation*}$

Limites de funciones trigonométricas

En los siguientes ejemplos vamos a estudiar los límites de funciones trigonométricas que más frecuentemente se encuentran en la resolución de problemas en matemáticas, ingeniería, administración, ciencias sociales y otras ramas del conocimiento.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} \end{equation*}$

Si sustituimos $x=0$ en la función, obtenemos cero sobre cero. Así que tendremos que utilizar otra forma. Primero nos basaremos en la gráfica para tener una idea y después utilizaremos una forma algebraica para verificar el resultado. La gráfica de la función es la siguiente:

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De la gráfica inmediatamente podemos concluir que el límite buscado es 1, es decir:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1 \end{equation*}$

Observa que la función no está definida para $x = 0$ debido a la división entre cero. Ahora vamos a jusfiticar el resultado por medio de un método algebraico. Suponemos que $x$ es un ángulo medido en radianes, positivo. Si $x$ fuera negativo, el resultado puede calcularse por medio de este mismo método, recordando que $\sin(-x) = -\sin (x)$ . Observa que:

$\begin{equation*} \frac{\sin x}{x} = \frac{-\sin(x)}{-x} \end{equation*}$

de manera que al cambiar el signo de $x$ el resultado sigue siendo válido. Consideramos la siguiente figura:

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El área del triángulo inscrito al arco de circunferencia es menor al área del sector circular del arco de $x$ radianes. Igualmente el área del sector circular del arco es menor al área del triángulo más grande. Así que se cumple la siguiente desigualdad:

$\begin{eqnarray*} \mbox{\'Area }\triangle_{\mbox{\tiny interno}} \leq & A_a & \leq \mbox{\'Area }\triangle_{\mbox{\tiny externo}}\\ \displaystyle\frac{1}{2}\sin x\cos x \leq &\displaystyle\frac{1}{2}\,x& \leq \displaystyle\frac{1}{2}\tan x \end{eqnarray*}$

Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre $\frac{1}{2}\sin x$ , obtenemos:

$\begin{equation*} \cos x \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x} \end{equation*}$

Cuando $x$ se acerca mucho a cero $\cos x$ se acerca mucho a 1. Entonces,

$\begin{equation*} 1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq 1 \end{equation*}$

cuando $x$ tiende a cero. El recíproco $\displaystyle\frac{\sin x}{x}$ , por tanto, debe también tender a uno:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1 \end{equation*}$

Con este resultado podemos calcular otros límites de funciones trigonométricas.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} \end{equation*}$

Dado que $x$ se aproxima a cero sin llegar a serlo, podemos multiplicar por $2\,x$ en el numerador y denominador de la función $\sin (2x)$ . De la misma manera, multiplicamos por $3\,x$ en el numerador y denominador de la función $\sin (3x)$ , así obtenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaysyle\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{ \left(\frac{2\,x\left(\displaysyle\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,x\left(\displaysyle\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{2\,\left(\displaysyle\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,\left(\displaysyle\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)}\right)} \end{equation*}$

Ahora aplicamos las propiedades II y V de los límites para obtener:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} = \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(2\,\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(3\,\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)} = \frac{2\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)} \end{equation*}$

Si $x \rightarrow 0$ , entonces $u = 2\,x \rightarrow 0$ al igual que $v = 3\,x \rightarrow 0$ . Por eso podemos aplicar el resultado que obtuvimos en el ejemplo anterior haciendo $u = 2\,x$ y $v = 3\,x$ , con lo que tenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} = \frac{2\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)}%\\ = \frac{2\,\lim\limits_{u\rightarrow 0}\left(2\,\frac{\sin (u)}{u}\right)}{3\,\lim\limits_{v\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(v)}{v}\right)}%\\ = \frac{2\cdot(1)}{3\cdot(1)} = \frac{2}{3} \end{equation*}$

Entonces,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} = \frac{2}{3} \end{equation*}$

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)} \end{equation*}$

Necesitamos transformar la función a funciones cuyos límites ya conozcamos. En el primer paso multiplicamos por $(3x)^2$ en el numerador y en el denominador de la fracción:

$\begin{equation*} \frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)} = \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2}\cdot\frac{(3x)^2}{x\tan (2x)} = \left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{(3x)^2}{x\tan (2x)} \end{equation*}$

El primer factor ya tiene la forma de un límite conocido, haciendo $u = 3x$ .

Ahora recuerda que $\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .
Sustituyendo esta identidad en el segundo factor obtenemos:

$\begin{equation*} \frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)} = \left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{9x}{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}} = \left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{9x\,\cos(2x)}{\sin(2x)} \end{equation*}$

Este resultado puede reescribirse como:

$\begin{equation*} \frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)} = 9\,\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x\,\cos(2x)}{2\,\sin(2x)} = \frac{9}{2}\cdot\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x) \end{equation*}$

Ahora ya podemos calcular el límite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{9}{2}\cdot\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\right)} \end{equation*}$

Aplicamos las propiedades de los límites para simplificar el cálculo:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{9}{2}\cdot\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\right)}\\ &=& \frac{9}{2}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\right)}\\ &=& \frac{9}{2}\cdot\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)\right)^2\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{2x}{\sin(2x)}\right)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\cos(2x)\right)\\ &=& \frac{9}{2}\cdot\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)\right)^2\cdot \left(\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)}}\right)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\cos(2x)\right)\\ &=& \frac{9}{2}\cdot(1)^2 (1) (1) = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

Entonces,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)} = \frac{9}{2} \end{equation*}$

Ejemplo

A través de una gráfica calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{equation*}$

La gráfica de la función $y = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ es la siguiente:

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Observa que conforme $x$ se acerca a cero, $1/x$ crece muy rápidamente. Entonces, podemos transformar el límite como sigue:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\sin x\right)} \end{equation*}$

Pero cuando $x$ se hace muy grande la función $\sin x$ varía entre $-1$ y $1$ . En otras palabras, no existe una asíntota horizontal a la cual se aproxime la función $\sin x$ cuando $x$ tiende a infinito. Por tanto este límite no existe.

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\sin x\right)}\qquad\rightarrow\qquad\mbox{no existe.} \end{equation*}$

El siguiente ejemplo está muy relacionado con el anterior.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{equation*}$

Vamos a empezar con la gráfica de la función para darnos una idea del resultado del límite:

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Al parecer tiende a cero. Vamos a justificarlo usando las propiedades de los límites.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\right)}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{eqnarray*}$

Nosotros ya sabemos que el segundo factor siempre está en el intervalo $[-1,1]$ . Como el primer factor se acerca mucho a cero, cuando $x$ tiende a cero estaremos multiplicando un número muy pequeño por otro número en el intervalo $[-1,1]$ .

El resultado de ese producto debe ser un número muy cercano a cero, como lo muestra la gráfica de la función. Entonces, el límite es:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = 0 \end{equation*}$

Hay muchas aplicaciones en diferentes ramas de las ciencias de los límites de funciones trigonométricas. En este apartado solamente hemos explicado los más frecuentes y los que te pueden dar una idea de cómo resolver límites de funciones trigonométricas. Otras funciones que hemos estudiado en otros semestres son las funciones exponenciales y las logarítmicas.

Limites de funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(2^{-x}\right)} \end{equation*}$

Las funciones exponenciales están deifinidas para todo $x$ real. Cuando $x = 0$ , $2^{-x} = 1$ . Entonces, si hacemos que los valores de $x$ se acerquen a $0$ , esperamos que $2^x$ se acerque a 1. Matemáticamente:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(2^{-x}\right)} = 1 \end{equation*}$

La gráfica nos muestra eso:

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Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 - e^{-x}\right)} \end{equation*}$

De nuevo, cuando $x$ tiende a cero, $e^{-x}$ tiende a 1. Pero no queremos el límite de la función $e^{-x}$ cuando $x$ tiende a cero, sino de $1 - e^{-x}$ . Así que aplicando las propiedades de los límites, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 - e^{-x}\right)} &=& \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1\right)} - \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(e^{-x}\right)}\\ &=& 1 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

La gráfica muestra el mismo resultado geométricamente:

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Observa que cuando $x$ crece mucho, los valores de $y$ tienden a 1.

Como puedes ver, la gráfica de la función siempre nos ayuda a calcular un límite. Sin embargo, también podemos calcular los límites sin necesidad de una gráfica. El análisis de la función y cada una de sus partes es la herramienta que nos ayuda a realizar los cálculos de los límites sin gráficas de las funciones.

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 -\ln(x)\right)} \end{equation*}$

Cuando $x$ tiende a cero por la derecha, $\ln(x)$ se va a $-\infty$ . Pero por la izquierda, $\ln(x)$ no está definida. De esto nos damos cuenta con la gráfica. Entonces, cuando $x$ tiende a cero, $-\ln(x)$ se va a $\infty$ , porque el signo menos refleja la gráfica respecto al eje $x$ . Aplicando las propiedades de los límites, podemos calcular el límite por la derecha:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}{\left(1 - \ln(x)\right)} &=& \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}{\left(1\right)} - \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}{\left(\ln(x)\right)} \\ &=& 1 - (-\infty)\\ &=& \infty \end{eqnarray*}$

Pero no podemos calcular el límite por la izquierda, porque la función $\ln(x)$ no está definida para $x \leq 0$ . Entonces,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 -\ln(x)\right)} \mbox{~~no existe.} \end{equation*}$

Ejemplo

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(\ln|x|\right)} \end{equation*}$

En este caso, dado que el argumento de la función siempre es no negativo, la función está definida para toda $x$ , excepto en $x=0$ .
Cuando $x$ tiende a cero por la derecha, $\ln|x|$ se va a $-\infty$ . Igual ocurre por la izquierda, debido a la simetría de la función $|x|$ . Entonces, cuando $x$ tiende a cero, $\ln|x|$ se va a $-\infty$ , tanto por la izquierda como por la derecha. Por lo tanto,

$\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(\ln|x|\right)} = -\infty \end{equation*}$

La gráfica de la función es la siguiente:

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Ejemplo

La población de una especie de rata que vive en los mercados se calcula con la siguiente fórmula:

$\begin{equation*} P(t) = \frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02t}} \end{equation*}$

donde la población inicial es de $700$ ratas ( $t = 0$ ), y $t$ es el tiempo medido en días. Si no se utilizan raticidas para controlar la población, ¿cuál será la población de ratas a los 30 días?

Primero debes observar que el denominador de la función nunca se hace cero. Eso se debe a que:

$\begin{equation*} 700 + 500\cdot e^{-1.02t} = 0\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{7}{5}= e^{-1.02t} \end{equation*}$

pero la función exponencial nunca toma valores negativos. Entonces, el denominador nunca se hace cero. Luego, el límite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow30}{P(t)} = \lim\limits_{t\rightarrow30}{\left(\frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02t}}\right)}\qquad\mbox{existe.} \end{equation*}$

Vamos a calcularlo. Como la función está definida para toda $t\in\mathbb{R}$ , tenemos que evaluar la función en $t = 30$ :

$\begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow30}{P(t)} = \lim\limits_{t\rightarrow30}{\left(\frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02t}}\right)} = \frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02(30)}} = 1200 \end{equation*}$

Entonces, si en un mercado hay 700 ratas al inicio del mes, al final del mismo habrá 1200 ratas.

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