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Límites de funciones

Aprenderás a calcular límites de funciones.

Vamos a aplicar las propiedades de los límites para calcular límites de algunas funciones.


Ejemplo 1

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}+ \frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} \end{equation*}

Sin el apoyo de las propiedades de los límites que se acaban de mencionar (en la lección previa), empezaríamos realizando la suma de fracciones algebraicas que está indicada en la función. Mejor calculamos dos límites, aplicando la propiedad III.

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} \end{equation*}

El primero de los límites es inmediato, dado que al sustituir no obtenemos división entre cero:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{2} \end{equation*}

El segundo límite lo calculamos factorizando el denominador:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}} \end{equation*}

Ahora podemos simplificar la fracción, con lo que obtenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x + 2}\right)} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}+ \frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} 	= \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{1}{x}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{x^2 - 4}\right)} 	= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} 	= \frac{3}{4} \end{equation*}

Se te queda como ejercicio verificar con el uso de una tabla de valores que el resultado es correcto.



Ejemplo 2

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{x^2 + 11}{x + 1}\right)} \end{equation*}

aplicando la propiedad V de los límites.

Este problema se resolvió en la lección previa. Aplicamos directamente la propiedad V de los límites para verificar el resultado:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{x^2 + 11}{x + 1}\right)}  	= \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 3}{(x^2 + 11)}}{\lim\limits_{x\rightarrow 3}{(x+1)}} 	= \frac{(3)^2 + 11}{3 + 1} 	= \frac{20}{4} = 5 \end{equation*}

Y ambos resultados son correctos. Observa que como en el numerador como en el denomimador tenemos funciones polinomiales, podemos sustituir directamente el valor al cual tienen las funciones. También debes notar que el denominador no se hace cero. Eso nos permite evaluar inmediatamente el límite.


Sin embargo, hay casos en los que el límite de la función en un punto particular no existe.


Ejemplo 3

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)} \end{equation*}

aplicando la propiedad V de los límites.

Este problema es parecido al anterior. Aplicamos directamente la propiedad V de los límites:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left(\displaystyle\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)}  	= \displaystyle\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}{(x^2 + 11)}}{\lim\limits_{x\rightarrow 1}{(x-1)}} 	= \displaystyle\frac{(3)^2 + 11}{1- 1} 	= \displaystyle\frac{12}{0} \end{equation*}

Pero no tiene sentido dividir entre cero. Si tratamos de resolver el problema tratando de simplificar, nos damos cuenta que no podemos factorizar el binomio x-1 de x^2+ 11. Esto nos indica que conforme nos acercamos a x = 1 la gráfica de la función

    \begin{equation*}    y = \frac{x^2 + 11}{x - 1} \end{equation*}

crece mucho, porque precisamente en x = 1 esta gráfica tiene una asíntota.

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Cuando nos acercamos a x=1 por la derecha, la función tiende a crecer infinitamente. Es decir,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)} = \infty \end{equation*}

Por otra parte, cuando x se acerca mucho a 1 por la izquierda, la función se hace negativa y se va a menos infinito:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)} = -\infty \end{equation*}

Si ambos límites laterales fueran iguales, por ejemplo, que ambos se fueran a +\infty, entonces concluiríamos que el límite es ese valor. Pero no ocurre así, los dos límites laterales son distintos. Entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left(\frac{x^2 + 11}{x - 1}\right)}\mbox{ no existe.} \end{equation*}



Límite lateral

Cuando calculamos el límite \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)} usando valores de x tales que x_i < x_0, entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la izquierda. Por otra parte, si calculamos el mismo límite pero usando valores de x tales que x_i > x_0, entonces decimos que hemos calculado el límite lateral por la derecha.

Cuando los dos límites son iguales decimos que el límite existe y es igual al valor común obtenido en ellos.

Cuando los límites laterales no coinciden decimos que el límite \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)} no existe.


Ejemplo 4

Calcula:

    \begin{equation*}     \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} \end{equation*}

Ya sabemos que la función y = 1/x no está definida cuando x = 0. Además, cuando x es negativo, los valores de y que le corresponden también son negativos. Y cuando x es positivo, los valores que le corresponden de y también son positivos. Cuando x es muy cercano a cero, los valores de y crecen. Por ejemplo, considere, x = \displaystyle\frac{1}{10^k}, con k\in\mathbb{N}, entonces:

    \begin{equation*}    \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) 	= \left(\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{10^k}\right)}\right)  	= \left(\displaystyle\frac{10^k}{1}\right) = 10^k  \end{equation*}

Conforme k crece, los valores de x se acercan cada vez más a cero, porque x = \displaystyle\frac{1}{10^k}.

Observa que:

    \begin{equation*}    x\cdot y = 1 \end{equation*}

y que

    \begin{equation*}    \frac{1}{10^k}\cdot 10^k = 1 \end{equation*}

Pero los valores de y se hacen cada vez más grandes: y = 10^k. Observa que x>0 implica que y > 0.

Cuando x sea negativo ocurrirá lo mismo, pero ahora los valores de y serán negativos.

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Entonces, por una parte, el límite por la izquierda:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}{\left(\frac{1}{x}\right)} = -\infty \end{equation*}

Y el límite por la derecha:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}{\left(\frac{1}{x}\right)} = \infty \end{equation*}

Como ambos límites son diferentes, el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)}\mbox{ no existe.} \end{equation*}


Observa la notación:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}{f(x)} \end{equation*}

indica el límite por la izquierda, mientras que:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}{f(x)} \end{equation*}

indica el límite por la derecha.

Es importante hacer notar que no todos los límites de funciones racionales cuando x tiende a cero no existen. El verdadero problema surge cuando el denominador de la función racional se hace cero. Entonces habrá que ver que los límites laterales coincidan.


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