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Límites de funciones

Aprenderás a calcular límites de funciones.


Limites de funciones exponenciales y logarítmicas


Ejemplo 15

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(2^{-x}\right)} \end{equation*}

Las funciones exponenciales están deifinidas para todo x real. Cuando x = 0, 2^{-x} = 1. Entonces, si hacemos que los valores de x se acerquen a 0, esperamos que 2^x se acerque a 1. Matemáticamente:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(2^{-x}\right)} = 1 \end{equation*}

La gráfica nos muestra eso:

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Ejemplo 16

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 - e^{-x}\right)} \end{equation*}

De nuevo, cuando x tiende a cero, e^{-x} tiende a 1. Pero no queremos el límite de la función e^{-x} cuando x tiende a cero, sino de 1 - e^{-x}. Así que aplicando las propiedades de los límites, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 - e^{-x}\right)}  	&=& \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1\right)} - \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(e^{-x}\right)}\\ 	&=& 1 - 1 = 0 \end{eqnarray*}

La gráfica muestra el mismo resultado geométricamente:

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Observa que cuando x crece mucho, los valores de y tienden a 1.


Como puedes ver, la gráfica de la función siempre nos ayuda a calcular un límite. Sin embargo, también podemos calcular los límites sin necesidad de una gráfica. El análisis de la función y cada una de sus partes es la herramienta que nos ayuda a realizar los cálculos de los límites sin gráficas de las funciones.


Ejemplo 17

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 -\ln(x)\right)} \end{equation*}

Cuando x tiende a cero por la derecha, \ln(x) se va a -\infty. Pero por la izquierda, \ln(x) no está definida. De esto nos damos cuenta con la gráfica. Entonces, cuando x tiende a cero, -\ln(x) se va a \infty, porque el signo menos refleja la gráfica respecto al eje x. Aplicando las propiedades de los límites, podemos calcular el límite por la derecha:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}{\left(1 - \ln(x)\right)}  	&=& \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}{\left(1\right)} - \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}{\left(\ln(x)\right)} \\ 	&=& 1 - (-\infty)\\ 	&=& \infty \end{eqnarray*}

Pero no podemos calcular el límite por la izquierda, porque la función \ln(x) no está definida para x \leq 0. Entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(1 -\ln(x)\right)} \mbox{~~no existe.} \end{equation*}



Ejemplo 18

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(\ln|x|\right)} \end{equation*}

En este caso, dado que el argumento de la función siempre es no negativo, la función está definida para toda x, excepto en x=0.
Cuando x tiende a cero por la derecha, \ln|x| se va a -\infty. Igual ocurre por la izquierda, debido a la simetría de la función |x|. Entonces, cuando x tiende a cero, \ln|x| se va a -\infty, tanto por la izquierda como por la derecha. Por lo tanto,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\left(\ln|x|\right)} = -\infty \end{equation*}

La gráfica de la función es la siguiente:

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Ejemplo 19

La población de una especie de rata que vive en los mercados se calcula con la siguiente fórmula:

    \begin{equation*}    P(t) = \frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02t}} \end{equation*}

donde la población inicial es de 700 ratas (t = 0), y t es el tiempo medido en días. Si no se utilizan raticidas para controlar la población, ¿cuál será la población de ratas a los 30 días?

Primero debes observar que el denominador de la función nunca se hace cero. Eso se debe a que:

    \begin{equation*}    700 + 500\cdot e^{-1.02t} = 0\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{7}{5}= e^{-1.02t} \end{equation*}

pero la función exponencial nunca toma valores negativos. Entonces, el denominador nunca se hace cero. Luego, el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{t\rightarrow30}{P(t)} = \lim\limits_{t\rightarrow30}{\left(\frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02t}}\right)}\qquad\mbox{existe.} \end{equation*}

Vamos a calcularlo. Como la función está definida para toda t\in\mathbb{R}, tenemos que evaluar la función en t = 30:

    \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow30}{P(t)} = \lim\limits_{t\rightarrow30}{\left(\frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02t}}\right)} 	= \frac{840\,000}{700 + 500\cdot e^{-1.02(30)}} 	= 1200 \end{equation*}

Entonces, si en un mercado hay 700 ratas al inicio del mes, al final del mismo habrá 1200 ratas.


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