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Límites de funciones

Aprenderás a calcular límites de funciones.



Ejemplo 13

A través de una gráfica calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{equation*}

La gráfica de la función y = \sin\left(\frac{1}{x}\right) es la siguiente:

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Observa que conforme x se acerca a cero, 1/x crece muy rápidamente. Entonces, podemos transformar el límite como sigue:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\sin x\right)} \end{equation*}

Pero cuando x se hace muy grande la función \sin x varía entre -1 y 1. En otras palabras, no existe una asíntota horizontal a la cual se aproxime la función \sin x cuando x tiende a infinito. Por tanto este límite no existe.

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\sin x\right)}\qquad\rightarrow\qquad\mbox{no existe.} \end{equation*}


El siguiente ejemplo está muy relacionado con el anterior.


Ejemplo 14

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{equation*}

Vamos a empezar con la gráfica de la función para darnos una idea del resultado del límite:

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Al parecer tiende a cero. Vamos a justificarlo usando las propiedades de los límites.

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} 	&=& \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\right)}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{eqnarray*}

Nosotros ya sabemos que el segundo factor siempre está en el intervalo [-1,1]. Como el primer factor se acerca mucho a cero, cuando x tiende a cero estaremos multiplicando un número muy pequeño por otro número en el intervalo [-1,1].

El resultado de ese producto debe ser un número muy cercano a cero, como lo muestra la gráfica de la función. Entonces, el límite es:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = 0 \end{equation*}


Hay muchas aplicaciones en diferentes ramas de las ciencias de los límites de funciones trigonométricas. En este apartado solamente hemos explicado los más frecuentes y los que te pueden dar una idea de cómo resolver límites de funciones trigonométricas. Otras funciones que hemos estudiado en otros semestres son las funciones exponenciales y las logarítmicas.


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