Límites de funciones

Ejemplo 13

A través de una gráfica calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{equation*}$

La gráfica de la función $y = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ es la siguiente:

Observa que conforme $x$ se acerca a cero, $1/x$ crece muy rápidamente. Entonces, podemos transformar el límite como sigue:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\sin x\right)} \end{equation*}$

Pero cuando $x$ se hace muy grande la función $\sin x$ varía entre $-1$ y $1$ . En otras palabras, no existe una asíntota horizontal a la cual se aproxime la función $\sin x$ cuando $x$ tiende a infinito. Por tanto este límite no existe.

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\sin x\right)}\qquad\rightarrow\qquad\mbox{no existe.} \end{equation*}$

El siguiente ejemplo está muy relacionado con el anterior.

Ejemplo 14

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{equation*}$

Vamos a empezar con la gráfica de la función para darnos una idea del resultado del límite:

Al parecer tiende a cero. Vamos a justificarlo usando las propiedades de los límites.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\right)}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} \end{eqnarray*}$

Nosotros ya sabemos que el segundo factor siempre está en el intervalo $[-1,1]$ . Como el primer factor se acerca mucho a cero, cuando $x$ tiende a cero estaremos multiplicando un número muy pequeño por otro número en el intervalo $[-1,1]$ .

El resultado de ese producto debe ser un número muy cercano a cero, como lo muestra la gráfica de la función. Entonces, el límite es:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = 0 \end{equation*}$

Hay muchas aplicaciones en diferentes ramas de las ciencias de los límites de funciones trigonométricas. En este apartado solamente hemos explicado los más frecuentes y los que te pueden dar una idea de cómo resolver límites de funciones trigonométricas. Otras funciones que hemos estudiado en otros semestres son las funciones exponenciales y las logarítmicas.

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Ejemplo 13

Ejemplo 14