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Límites de funciones

Aprenderás a calcular límites de funciones.


Limites de funciones trigonométricas

En los siguientes ejemplos vamos a estudiar los límites de funciones trigonométricas que más frecuentemente se encuentran en la resolución de problemas en matemáticas, ingeniería, administración, ciencias sociales y otras ramas del conocimiento.


Ejemplo 10

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} \end{equation*}

Si sustituimos x=0 en la función, obtenemos cero sobre cero. Así que tendremos que utilizar otra forma. Primero nos basaremos en la gráfica para tener una idea y después utilizaremos una forma algebraica para verificar el resultado. La gráfica de la función es la siguiente:

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De la gráfica inmediatamente podemos concluir que el límite buscado es 1, es decir:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1 \end{equation*}

Observa que la función no está definida para x = 0 debido a la división entre cero. Ahora vamos a jusfiticar el resultado por medio de un método algebraico. Suponemos que x es un ángulo medido en radianes, positivo. Si x fuera negativo, el resultado puede calcularse por medio de este mismo método, recordando que \sin(-x) = -\sin (x). Observa que:

    \begin{equation*}    \frac{\sin x}{x} = \frac{-\sin(x)}{-x} \end{equation*}

de manera que al cambiar el signo de x el resultado sigue siendo válido. Consideramos la siguiente figura:

Rendered by QuickLaTeX.com

El área del triángulo inscrito al arco de circunferencia es menor al área del sector circular del arco de x radianes. Igualmente el área del sector circular del arco es menor al área del triángulo más grande. Así que se cumple la siguiente desigualdad:

    \begin{eqnarray*}    \mbox{\'Area }\triangle_{\mbox{\tiny interno}} \leq  &     A_a     & \leq \mbox{\'Area }\triangle_{\mbox{\tiny externo}}\\ \displaystyle\frac{1}{2}\sin x\cos x 			  \leq &\displaystyle\frac{1}{2}\,x& \leq \displaystyle\frac{1}{2}\tan x \end{eqnarray*}

Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre \frac{1}{2}\sin x, obtenemos:

    \begin{equation*}    \cos x \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x} \end{equation*}

Cuando x se acerca mucho a cero \cos x se acerca mucho a 1. Entonces,

    \begin{equation*}    1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq 1 \end{equation*}

cuando x tiende a cero. El recíproco \displaystyle\frac{\sin x}{x}, por tanto, debe también tender a uno:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1 \end{equation*}


Con este resultado podemos calcular otros límites de funciones trigonométricas.


Ejemplo 11

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} \end{equation*}

Dado que x se aproxima a cero sin llegar a serlo, podemos multiplicar por 2\,x en el numerador y denominador de la función \sin (2x). De la misma manera, multiplicamos por 3\,x en el numerador y denominador de la función \sin (3x), así obtenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaysyle\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{    \left(\frac{2\,x\left(\displaysyle\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,x\left(\displaysyle\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)}\right)}    = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{2\,\left(\displaysyle\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,\left(\displaysyle\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)}\right)} \end{equation*}

Ahora aplicamos las propiedades II y V de los límites para obtener:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} =     \frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(2\,\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(3\,\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)}    = \frac{2\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)} \end{equation*}

Si x \rightarrow 0, entonces u = 2\,x \rightarrow 0 al igual que v = 3\,x \rightarrow 0. Por eso podemos aplicar el resultado que obtuvimos en el ejemplo anterior haciendo u = 2\,x y v = 3\,x, con lo que tenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} =     \frac{2\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin (2x)}{2\,x}\right)}{3\,\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{3\,x}\right)}%\\ 	= \frac{2\,\lim\limits_{u\rightarrow 0}\left(2\,\frac{\sin (u)}{u}\right)}{3\,\lim\limits_{v\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(v)}{v}\right)}%\\ 	= \frac{2\cdot(1)}{3\cdot(1)} = \frac{2}{3} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin (2x)}{\sin(3x)}\right)} = \frac{2}{3} \end{equation*}



Ejemplo 12

Calcula:

    \begin{equation*}     \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)} \end{equation*}

Necesitamos transformar la función a funciones cuyos límites ya conozcamos. En el primer paso multiplicamos por (3x)^2 en el numerador y en el denominador de la fracción:

    \begin{equation*}    \frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)} = \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2}\cdot\frac{(3x)^2}{x\tan (2x)} = \left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{(3x)^2}{x\tan (2x)} \end{equation*}

El primer factor ya tiene la forma de un límite conocido, haciendo u = 3x.

Ahora recuerda que \tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.
Sustituyendo esta identidad en el segundo factor obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)} = \left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{9x}{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}} = \left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{9x\,\cos(2x)}{\sin(2x)} \end{equation*}

Este resultado puede reescribirse como:

    \begin{equation*}    \frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)} = 9\,\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x\,\cos(2x)}{2\,\sin(2x)} 	= \frac{9}{2}\cdot\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x) \end{equation*}

Ahora ya podemos calcular el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{9}{2}\cdot\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\right)} \end{equation*}

Aplicamos las propiedades de los límites para simplificar el cálculo:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)}  	&=& \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{9}{2}\cdot\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\right)}\\ 	&=& \frac{9}{2}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)^2\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\right)}\\ 	&=& \frac{9}{2}\cdot\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)\right)^2\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{2x}{\sin(2x)}\right)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\cos(2x)\right)\\ 	&=& \frac{9}{2}\cdot\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(3x)}{(3x)}\right)\right)^2\cdot 	\left(\frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)}}\right)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\cos(2x)\right)\\ 	&=& \frac{9}{2}\cdot(1)^2 (1) (1) = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\sin^2(3x)}{x\tan (2x)}\right)} = \frac{9}{2} \end{equation*}



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