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Límites de funciones

Aprenderás a calcular límites de funciones.



Ejemplo 9

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)} \end{equation*}

Ya sabemos que cuando x\rightarrow 0, el cociente 1/x no está definido. Podemos hacer un cambio de variable, definiendo: u = 1/x, entonces:

    \begin{equation*}    \frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3} = \displaystyle\frac{u^2 + 5\,u + 6}{u + 3} \end{equation*}

La fracción en términos de u puede simplificarse si factorizamos el numerador:

    \begin{equation*}    \frac{u^2 + 5\,u + 6}{u^2 + 3} = \frac{(u+2)(u+3)}{u+3} = u + 2 \end{equation*}

Observa que el denominador se hace cero cuando u = -3, es decir, cuando x = -1/3.

Y al regresar a escribirlo en términos de x tenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)} 	= \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{1}{x} + 2\right)} \end{equation*}

Esto puede descomponerse como una suma de límites, gracias a la propiedad III de los límites:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x} + 2\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(2\right)} \end{equation*}

Por la propiedad I, tenemos: \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(2\right)}=2, pero ya sabíamos que

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} \mbox{ no existe.} \end{equation*}

Entonces, el límite

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)}\mbox{ tampoco existe.} \end{equation*}



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