Límites de funciones

Ejemplo 9

Calcula:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)} \end{equation*}$

Ya sabemos que cuando $x\rightarrow 0$ , el cociente $1/x$ no está definido. Podemos hacer un cambio de variable, definiendo: $u = 1/x$ , entonces:

$\begin{equation*} \frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3} = \displaystyle\frac{u^2 + 5\,u + 6}{u + 3} \end{equation*}$

La fracción en términos de $u$ puede simplificarse si factorizamos el numerador:

$\begin{equation*} \frac{u^2 + 5\,u + 6}{u^2 + 3} = \frac{(u+2)(u+3)}{u+3} = u + 2 \end{equation*}$

Observa que el denominador se hace cero cuando $u = -3$ , es decir, cuando $x = -1/3$ .

Y al regresar a escribirlo en términos de $x$ tenemos:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{1}{x} + 2\right)} \end{equation*}$

Esto puede descomponerse como una suma de límites, gracias a la propiedad III de los límites:

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x} + 2\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(2\right)} \end{equation*}$

Por la propiedad I, tenemos: $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(2\right)}=2$ , pero ya sabíamos que

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}\right)} \mbox{ no existe.} \end{equation*}$

Entonces, el límite

$\begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x} + 6}{\displaystyle\frac{1}{x} + 3}\right)}\mbox{ tampoco existe.} \end{equation*}$

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Ejemplo 9