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Límites de funciones

Aprenderás a calcular límites de funciones.



Ejemplo 5

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} \end{equation*}

En este caso, la función tampoco está definida para x=0. De nuevo, la gráfica presenta una asíntota en x=0. Pero y siempre es positiva, porque x aparece elevada al cuadrado. Esto nos indica que los límites laterales tienden a infinito los dos. Esto es evidente de la gráfica de la función:

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El límite por la izquierda es:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = \infty \end{equation*}

Y el límite por la derecha:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = \infty \end{equation*}

Como ambos límites son iguales,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} = \infty \end{equation*}



Ejemplo 6

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{6\,x^2 - 18\,x}\right)} \end{equation*}

Si empezamos sustituyendo x = 3 en la función obtenemos una indeterminación:

    \begin{equation*}    y(3) = \frac{2\,(3) - 6}{6\,(3)^2 - 18\,(3)} = \frac{0}{0} \end{equation*}

Así que lo que tenemos que hacer es factorizar:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{6\,x^2 - 18\,x}\right)}     = \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{3x\,(2\,x - 6)}\right)}  \end{equation*}

Para x \neq 3, podemos escribir:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{2\,x - 6}{6\,x^2 - 18\,x}\right)}     = \lim\limits_{x\rightarrow 3}{\left(\frac{1}{3\,x}\right)}  = \frac{1}{9} \end{equation*}

Como el denominador no se hace cero, podemos evaluar la función en x = 3. También podemos justificar este resultado usando la propiedad V de los límites. Se te queda como ejercicio.


Algunos límites parecen difíciles de calcular, pero no lo son.


Ejemplo 7

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}\right)} \end{equation*}

Si sustituimos x = 2 en la función obtenemos cero sobre cero:

    \begin{equation*}    y(2) = \frac{2 - 2}{\sqrt{2 - 2}} = \frac{0}{0}  \end{equation*}

Así que tenemos que simplificar la expresión (si es posible). Recuerda que \sqrt{p}\cdot\sqrt{p} = p para cualquier valor p. Entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\displaystyle\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}\right)}  	= \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x - 2}\cdot\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}\right)} 	= \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} \end{equation*}

Ahora sí podemos evaluar el límite porque no tenemos división entre cero:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\displaystyle\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}\right)}  	= \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} 	= \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = \textcolor{red}{0} \end{equation*}

Y terminamos.


Debes tener en mente que no siempre basta con sustituir el valor al cual tiende x. También hay que verificar que este valor esté en el dominio de la función. El dominio de la función y = \sqrt{x - 2} es: x\geq 2, porque el radicando debe ser no negativo para que la función asigne un valor a y.

El siguiente ejemplo termina el previo.


Ejemplo 8

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} \end{equation*}

Primero debemos observar que x = 2 es el mínimo valor que puede tomar x para que la función y = \sqrt{x - 2} nos devuelva un valor para y. Por ejemplo, si x = 1, obtenemos: y(1) = \sqrt{1 - 2} = \sqrt{-1}. Como no nos devuelve un número real, decimos que no está definida para x < 2.

Esto nos hace imposible calcular el límite por la derecha de esta función. En otras palabras, el límite por la izquierda no existe. Por otra parte, el límite por la derecha se puede calcular fácilmente. Dado que la función está definida para x \geq 2, tenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)} = \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0 \end{equation*}

Pero para que el límite \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\right)} exista, se requiere que los límites laterales sean iguales. Como un límite lateral no existe (el izquierdo), es imposible que los dos límites laterales sean iguales y por eso

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\,\right)}\mbox{ no existe.} \end{equation*}

La moraleja que debes aprender de los dos ejemplos anteriores es que no basta con simplificar y sustituir. Siempre tienes que tener en mente que para que el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)}\qquad\mbox{exista,} \end{equation*}

deben existir los dos límites laterales por la izquierda y por la derecha:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow x_0^{-}}{f(x)}\qquad\mbox{ y } \qquad \lim\limits_{x\rightarrow x_0^{+}}{f(x)} \end{equation*}

En el caso de que la función no esté definida a la izquierda o a la derecha de x_0 nos impide calcular el límite por ese lado, por lo que el límite no existe.


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