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Límites en el infinito

Aprenderás a calcular límites de funciones cuando la variable independiente tiende a infinito.
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Prestamos fáciles y rápidos

Muchas veces nos interesa conocer cómo se comporta la función cuando x crece mucho. Por ejemplo, para saber qué va a pasar con la población de una especie en extinción, se elabora un modelo matemático que nos ayuda a predecir el tamaño de la población como una función del tiempo y lo que nos interesa saber es cuánto tiempo tenemos para tratar de incrementarla antes de que el tamaño de esa población sea igual a cero.

Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(x^2 + 1\right)} \end{equation*}

Este límite es evidente. Conforme x crece más, los valores de x^2 crecen todavía más. Así que conforme x se va a infinito, los valores de x^2 se van más rápido. Entonces,

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(x^2 + 1\right)} = \infty \end{equation*}

Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1 + x}{x^2}\right)} \end{equation*}

Podemos reescribir el límite de la siguiente manera:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right)} \end{equation*}

Y aplicando la propiedad III de los límites, obtenemos:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)} \end{equation*}

Cuando x crece mucho, el cociente 1/x se va a cero rápidamente. Lo mismo le ocurre al cociente 1/x^2. Por lo tanto,

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1 + x}{x^2}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)} = 0 + 0 = 0 \end{equation*}

Observa que el grado del denominador era mayor al grado del numerador.
Como ya sabes, el polinomio de mayor grado crece más rápido.
Esto nos debe indicar que la función:

    \begin{equation*} y = \frac{1 + x}{x^2} \end{equation*}

tiende a cero cuando los valores de x crecen mucho. La gráfica también sugiere eso:

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Cuando debemos calcular el límite de una función racional cuando x tiende a infinito, es una buena idea observar primero el grado de cada polinomio que forma la función racional. Cuando el grado del polinomio que está en el numerador es mayor al grado del polinomio que está en el denominador pasa lo ocurrió en el ejemplo anterior. En caso de que el grado del denominador sea mayor que el grado del numerador debemos usar otra estrategia.

Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} \end{equation*}

En este caso, el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador de la función racional.
Observa que el polinomio se puede factorizar, pero la factorización no nos ayuda a simplificar la función:

    \begin{equation*} y = \frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{1 + 2\,x} \end{equation*}

Así que usaremos otro truco en este caso. El truco consiste en dividir cada uno de los términos de cada polinomio entre el monomio de mayor grado en el denominador de la función racional. En este caso, tendremos que dividir entre x:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x} - \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{2\,x}{x}}\right)} \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x - \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x} + 2}\right)} \end{eqnarray*}

Ahora aplicamos la propiedad V de los límites para obtener:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x - \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x} + 2}\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(x - \displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x} + 2\right)} \end{eqnarray*}

Ya sabemos que cuando x tiende a infinito, el cociente 1/x tiende a cero, luego

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} &=& \displaystyle\frac{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(x - \displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x} + 2\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{\infty - 0}{0 + 2}\\ &=& \infty \end{eqnarray*}

Con lo que

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} = \infty \end{equation*}

En este caso, el polinomio que está en el numerador tiene mayor grado que el polinomio que está en el denominador de la función racional. Esto nos sugiere que la función debe crecer conforme x crece más. Ese argumento se sigue de que para valores de x suficientemente grandes, el numerador siempre será mayor que el denominador. El resultado está de acuerdo con este argumento.

El único caso que nos queda pendiente es en el que el grado del polinomio que está en el numerador sea igual al grado del que está en el denominador de la función racional.

Ejemplo

Calula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4}\right)} \end{equation*}

No tienes por qué entrar en pánico al ver un ejercicio así. Solamente debes usar el mismo truco que usamos en el ejemplo anterior. Vamos a dividir ambos polinomios entre el monomio de mayor grado. En este caso vamos a dividir entre x^4:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{ \left(\frac{\displaystyle\frac{3\,x^4}{x^4} - \frac{2\,x^3}{x^4} + \frac{x^2}{x^4} - \frac{7}{x^4}}{\displaystyle\frac{1}{x^4} + \frac{2\,x}{x^4} - \frac{3\,x^2}{x^4} + \frac{5\,x^3}{x^4} + \frac{7\,x^4}{x^4}}\right) }\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{ \left(\frac{3 - \displaystyle\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{7}{x^4}}{\displaystyle\frac{1}{x^4} + \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^2} + \frac{5}{x} + 7}\right) } \end{eqnarray*}

Ahora observa que todos los cocientes que tienen a x o alguna de sus potencias en el denominador se hacen cero cuando x tiende a infinito.

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{3 - \displaystyle\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{7}{x^4}}{\displaystyle\frac{1}{x^4} + \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^2} + \frac{5}{x} + 7} \\ &=& \frac{3 - 0 + 0 - 0}{0 + 0 - 0 + 0 + 7} = \frac{3}{7} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4}\right)} = \frac{3}{7} \end{equation*}

Se te queda como ejercicio graficar la función para el intervalo 10\leq x \leq 100 dando valores de 10 en 10.

Podemos generalizar el resultado del ejemplo anterior con el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)} \end{equation*}

De nuevo, tenemos una función racional con polinomios en el numerador como el denominador de igual grado.
Así que vamos a dividir entre el monomio de mayor grado: x^3

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{\displaystyle\frac{a_3x^3}{x^3} + \frac{a_2x^2}{x^3} + \frac{a_1x}{x^3} + \frac{a_0}{x^3}}{\displaystyle\frac{b_3x^3}{x^3} + \frac{b_2x^2}{x^3} + \frac{b_1x}{x^3} + \frac{b_0}{x^3}}\right) } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3 + \displaystyle\frac{a_2}{x} + \frac{a_1}{x^2} + \frac{a_0}{x^3}}{b_3 + \displaystyle\frac{b_2}{x} + \frac{b_1}{x^2} + \frac{b_0}{x^3}}\right) } \end{eqnarray*}

Cuando x tiende a infinito, cada cociente que incluye a x en el denominador se hace cero y obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left( \frac{a_3 + \displaystyle\frac{a_2}{x} + \frac{a_1}{x^2} + \frac{a_0}{x^3}}{b_3 + \displaystyle\frac{b_2}{x} + \frac{b_1}{x^2} + \frac{b_0}{x^3}}\right) }\\ &=& \frac{a_3 + 0 + 0 + 0}{b_3 + 0 + 0 + 0} \\ &=& \frac{a_3}{b_3} \end{eqnarray*}

En otras palabras, el limite de una función racional con polinomios en el numerador y denominador del mismo grado tiende al cociente de los coeficientes principales de los polinomios que definen la función. Matemáticamente, para polinomios de tercer grado, tenemos:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)} = \frac{a_3}{b_3} \end{equation*}

Es muy sencillo generalizar este resultado a polinomios de grado n. Ese es tu ejercicio.

Ejemplo

Una fábrica de ventiladores ha encontrado que cuando invierte x millones de pesos tiene ventas por V(x) millones de pesos por cada millón invertido, donde

    \begin{equation*} V(x) = \frac{7\,x^2 - 3\,x + 10}{2\,x^2 + 3\,x + 5} \end{equation*}

¿Cuál es la máxima venta que puede esperar tener esa compañía?

Obviamente, mientras más invierta esa fábrica, mayores ventas debe tener.
Si eso es cierto, entonces necesitamos conocer a qué valor se aproxima la función de ventas cuando lo que invierte la compañía es muy grande. Matemáticamente, necesitamos calcular:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{V(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{7\,x^2 - 3\,x + 10}{2\,x^2 + 3\,x + 5}\right)} \end{equation*}

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Calcular el límite es sencillo:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{V(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{7\,x^2 - 3\,x + 10}{2\,x^2 + 3\,x + 5}\right)}\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7\,x^2}{x^2} - \displaystyle\frac{3\,x}{x^2} + \displaystyle\frac{10}{x^2}}{\displaystyle\frac{2\,x^2}{x^2} + \displaystyle\frac{3\,x}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x^2}}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{7 - \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{10}{x^2}}{2 + \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{5}{x^2}}\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{7 - 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \displaystyle\frac{7}{2} \end{eqnarray*}

Entonces, por más que invierta, nunca podrá vender más de 3.5 millones de pesos por cada millón que invierta. Cuando x crece mucho, V(x) tiende a 3.5 millones. Geométricamente tenemos que y = 3.5 es una asíntota horizontal:

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Los límites al infinito, entonces, pueden ayudarnos a graficar una función racional, pues nos dicen cómo se comporta la función para valores de x muy grandes.

Ejemplo

Calcula las ecuaciones de las asíntotas horizontales de la función:

    \begin{equation*} y = \frac{3\,x - 2}{x + 1} \end{equation*}

Cuando x tiende a -\infty, tenemos:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3\,x - 2}{x + 1}\right)} \end{equation*}

Dividiremos cada término del numerador como del denominador entre x y después simplificamos:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3\,x - 2}{x + 1}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\,x}{x} - \displaystyle\frac{2}{x}}{\displaystyle\frac{x}{x} + \displaystyle\frac{1}{x}}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3 - \displaystyle\frac{2}{x}}{1 + \displaystyle\frac{1}{x}}\right)} \end{equation*}

Cuando x tiende a +\infty o -\infty, obtenemos:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3 + 0}{1 - 0}\right)} = 3\qquad\qquad \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3 - 0}{1 + 0}\right)} = 3 \end{equation*}

Así que y=3 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función:

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Ejemplo

Un fabricante de tenis deportivos ha encontrado que el costo C(x) de producción de x pares de tenis es de:

    \begin{equation*} C(x) = 275\,x + 25\,000 \end{equation*}

Calcula el costo promedio de producción de cada par de tenis deportivos.

Para calcular el costo promedio de producción tenemos que dividir el costo de producción de todos los pares de tenis entre el número de tenis producidos:

    \begin{equation*} \bar{C}(x) = \displaystyle\frac{275\,x + 25\,000}{x} \end{equation*}

Cuando el número x de pares de tenis producidos es muy grande, el promedio se aproxima a:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\bar{C}(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{275\,x + 25\,000}{x}\right)}\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{275\,x}{x} + \displaystyle\frac{25\,000}{x}}{\displaystyle\frac{x}{x}}\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{275 + 0}{1} = 275 \end{eqnarray*}

El precio promedio cuando produce muchos pares de tenis se acerca a $275.00 pesos. ¿Puedes decir, a partir de la siguiente gráfica, si producir más le hace más barato o más caro el precio de producción promedio?

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Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^{-x^2/2}\right)} \end{equation*}

Empezamos observando que el exponente de la función es negativo. Esto nos indica que podemos escribir:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^{-x^2/2}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{e^{x^2/2}}\right)} \end{equation*}

Cuando x crece mucho, x^2/2 crece todavía más y e^{x^2/2} crece mucho más. Así que estamos calculando el resultado de dividir 1 entre un número que crece muy rápido. Entonces, conforme x tienda a infinito, esperamos que e^{-x^2/2} se vaya a cero muy rápido. La gráfica de la función nos da la misma información:

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Como conclusión, tenemos:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^{-x^2/2}\right)} = 0 \end{equation*}

Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\frac{3}{2} + 5e^{-2t}\right)} \end{equation*}

Empezamos aplicando las propiedades de los límites:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3}{2} + 5e^{-2t}\right)} &=& \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)} + \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{5e^{-2t}}\\ &=& \displaystyle\frac{3}{2} + \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{5e^{-2t}}\\ &=& \displaystyle\frac{3}{2} + 5\cdot\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{e^{-2t}}\\ \end{eqnarray*}

Cuando t tiende a infinito e^{-2t} = 1/e^{2t} tiende a cero, porque e^{2t} crece muy rápido. Entonces,

    \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3}{2} + 5e^{-2t}\right)} = \displaystyle\frac{3}{2} + 5\cdot\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{e^{-2t}} = \displaystyle\frac{3}{2} + 5\cdot(0) = \displaystyle\frac{3}{2} \end{equation*}

Se te queda como ejercicio graficar la función y = \displaystyle\frac{3}{2} + 5e^{-2x} y verificar gráficamente el resultado.

Ejemplo

La producción de un trabajador de ensamble de juguetes después de t días es de:

    \begin{equation*} P(t) = 35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right) \end{equation*}

en cada hora de trabajo. ¿Cuál es el número máximo de juguetes que puede ensamblar en una hora un experto ensamblador?

Para calcular el número de juguetes que puede ensamblar un experto, consideramos que tiene mucho tiempo de práctica ensamblando juguetes. Así que tenemos que calcular:

    \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} = \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left[35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right)\right]} \end{equation*}

Aplicando las propiedades de los límites obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} &=& \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left[35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right)\right]}\\ &=& 35\cdot\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left[1 - e^{-0.25t}\right]}\\ &=& 35\cdot\left[\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(1\right)} - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(e^{-0.25t}\right)}\right]\\ &=& 35\cdot\left[1 - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(e^{-0.25t}\right)}\right] \end{eqnarray*}

Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} &=& 35\cdot\left[1 - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(e^{-0.25t}\right)}\right]\\ &=& 35\cdot\left[1 - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{e^{0.25t}}\right)}\right] \end{eqnarray*}

Cuando t tiende a infinito, el cociente 1/e^{0.25t} tiende a cero, entonces,

    \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} = 35\cdot\left[1 - 0\right] = 35\cdot(1) = 35 \end{equation*}

Con el paso del tiempo un trabajador puede ensamblar a lo más 35 juguetes por hora. Verifica geométricamente el resultado graficando la función P(t) = 35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right).

Ejemplo

Si p es el precio de una caja de cereal, el número de unidades demandadas por los clientes está relacionada con el precio de acuerdo a la siguiente función:

    \begin{equation*} p(x) = \frac{100}{\ln(x + 5)} \end{equation*}

Si la demanda crece mucho, ¿qué pasa con el precio?

Necesitamos calcular el siguiente límite:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{p(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{100}{\ln(x + 5)}\right)} \end{equation*}

Empezamos graficando la función:

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Ya sabemos que la función y = \ln (x+5) se va a infinito cuando x tiende a infinito.
Entonces, \displaystyle\frac{100}{\ln(x + 5)} tiende a cero cuando x tiende a infinito, porque el denominador crece más y más.

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{p(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{100}{\ln(x + 5)}\right)} = 0 \end{equation*}

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