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Límites en el infinito

Aprenderás a calcular límites de funciones cuando la variable independiente tiende a infinito.
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Muchas veces nos interesa conocer cómo se comporta la función cuando x crece mucho. Por ejemplo, para saber qué va a pasar con la población de una especie en extinción, se elabora un modelo matemático que nos ayuda a predecir el tamaño de la población como una función del tiempo y lo que nos interesa saber es cuánto tiempo tenemos para tratar de incrementarla antes de que el tamaño de esa población sea igual a cero.

Ejemplo 1

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(x^2 + 1\right)} \end{equation*}

Este límite es evidente. Conforme x crece más, los valores de x^2 crecen todavía más. Así que conforme x se va a infinito, los valores de x^2 se van más rápido. Entonces,

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(x^2 + 1\right)} = \infty \end{equation*}

Ejemplo 2

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1 + x}{x^2}\right)} \end{equation*}

Podemos reescribir el límite de la siguiente manera:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2} + \frac{x}{x^2}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right)} \end{equation*}

Y aplicando la propiedad III de los límites, obtenemos:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)} \end{equation*}

Cuando x crece mucho, el cociente 1/x se va a cero rápidamente. Lo mismo le ocurre al cociente 1/x^2. Por lo tanto,

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1 + x}{x^2}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x^2}\right)} + \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)} = 0 + 0 = 0 \end{equation*}

Observa que el grado del denominador era mayor al grado del numerador.
Como ya sabes, el polinomio de mayor grado crece más rápido.
Esto nos debe indicar que la función:

    \begin{equation*} y = \frac{1 + x}{x^2} \end{equation*}

tiende a cero cuando los valores de x crecen mucho. La gráfica también sugiere eso:

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Cuando debemos calcular el límite de una función racional cuando x tiende a infinito, es una buena idea observar primero el grado de cada polinomio que forma la función racional. Cuando el grado del polinomio que está en el numerador es mayor al grado del polinomio que está en el denominador pasa lo ocurrió en el ejemplo anterior. En caso de que el grado del denominador sea mayor que el grado del numerador debemos usar otra estrategia.

Ejemplo 3

Calcula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} \end{equation*}

En este caso, el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador de la función racional.
Observa que el polinomio se puede factorizar, pero la factorización no nos ayuda a simplificar la función:

    \begin{equation*} y = \frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{1 + 2\,x} \end{equation*}

Así que usaremos otro truco en este caso. El truco consiste en dividir cada uno de los términos de cada polinomio entre el monomio de mayor grado en el denominador de la función racional. En este caso, tendremos que dividir entre x:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^2}{x} - \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{2\,x}{x}}\right)} \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x - \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x} + 2}\right)} \end{eqnarray*}


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Ahora aplicamos la propiedad V de los límites para obtener:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x - \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x} + 2}\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(x - \displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x} + 2\right)} \end{eqnarray*}

Ya sabemos que cuando x tiende a infinito, el cociente 1/x tiende a cero, luego

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} &=& \displaystyle\frac{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(x - \displaystyle\frac{1}{x}\right)}{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x} + 2\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{\infty - 0}{0 + 2}\\ &=& \infty \end{eqnarray*}

Con lo que

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{x^2 - 1}{1 + 2\,x}\right)} = \infty \end{equation*}

En este caso, el polinomio que está en el numerador tiene mayor grado que el polinomio que está en el denominador de la función racional. Esto nos sugiere que la función debe crecer conforme x crece más. Ese argumento se sigue de que para valores de x suficientemente grandes, el numerador siempre será mayor que el denominador. El resultado está de acuerdo con este argumento.

El único caso que nos queda pendiente es en el que el grado del polinomio que está en el numerador sea igual al grado del que está en el denominador de la función racional.

Ejemplo 4

Calula:

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4}\right)} \end{equation*}

No tienes por qué entrar en pánico al ver un ejercicio así. Solamente debes usar el mismo truco que usamos en el ejemplo anterior. Vamos a dividir ambos polinomios entre el monomio de mayor grado. En este caso vamos a dividir entre x^4:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4}\right)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{ \left(\frac{\displaystyle\frac{3\,x^4}{x^4} - \frac{2\,x^3}{x^4} + \frac{x^2}{x^4} - \frac{7}{x^4}}{\displaystyle\frac{1}{x^4} + \frac{2\,x}{x^4} - \frac{3\,x^2}{x^4} + \frac{5\,x^3}{x^4} + \frac{7\,x^4}{x^4}}\right) }\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{ \left(\frac{3 - \displaystyle\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{7}{x^4}}{\displaystyle\frac{1}{x^4} + \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^2} + \frac{5}{x} + 7}\right) } \end{eqnarray*}

Ahora observa que todos los cocientes que tienen a x o alguna de sus potencias en el denominador se hacen cero cuando x tiende a infinito.

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{3 - \displaystyle\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{7}{x^4}}{\displaystyle\frac{1}{x^4} + \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^2} + \frac{5}{x} + 7} \\ &=& \frac{3 - 0 + 0 - 0}{0 + 0 - 0 + 0 + 7} = \frac{3}{7} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{3\,x^4 - 2\,x^3 + x^2 - 7}{1 + 2\,x - 3\,x^2 + 5\,x^3 + 7\,x^4}\right)} = \frac{3}{7} \end{equation*}

Se te queda como ejercicio graficar la función para el intervalo 10\leq x \leq 100 dando valores de 10 en 10.

Podemos generalizar el resultado del ejemplo anterior con el siguiente ejemplo.


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