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Límites en el infinito

Aprenderás a calcular límites de funciones cuando la variable independiente tiende a infinito.



Ejemplo 9

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^{-x^2/2}\right)}  \end{equation*}

Empezamos observando que el exponente de la función es negativo. Esto nos indica que podemos escribir:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^{-x^2/2}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{e^{x^2/2}}\right)}  \end{equation*}

Cuando x crece mucho, x^2/2 crece todavía más y e^{x^2/2} crece mucho más. Así que estamos calculando el resultado de dividir 1 entre un número que crece muy rápido. Entonces, conforme x tienda a infinito, esperamos que e^{-x^2/2} se vaya a cero muy rápido. La gráfica de la función nos da la misma información:

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Como conclusión, tenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(e^{-x^2/2}\right)} = 0 \end{equation*}



Ejemplo 10

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\frac{3}{2} + 5e^{-2t}\right)} \end{equation*}

Empezamos aplicando las propiedades de los límites:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3}{2} + 5e^{-2t}\right)}  &=& \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)} + \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{5e^{-2t}}\\ &=& \displaystyle\frac{3}{2} + \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{5e^{-2t}}\\ &=& \displaystyle\frac{3}{2} + 5\cdot\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{e^{-2t}}\\ \end{eqnarray*}

Cuando t tiende a infinito e^{-2t} = 1/e^{2t} tiende a cero, porque e^{2t} crece muy rápido. Entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3}{2} + 5e^{-2t}\right)} = \displaystyle\frac{3}{2} + 5\cdot\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{e^{-2t}} = \displaystyle\frac{3}{2} + 5\cdot(0) = \displaystyle\frac{3}{2} \end{equation*}

Se te queda como ejercicio graficar la función y = \displaystyle\frac{3}{2} + 5e^{-2x} y verificar gráficamente el resultado.



Ejemplo 11

La producción de un trabajador de ensamble de juguetes después de t días es de:

    \begin{equation*}    P(t) = 35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right) \end{equation*}

en cada hora de trabajo. ¿Cuál es el número máximo de juguetes que puede ensamblar en una hora un experto ensamblador?

Para calcular el número de juguetes que puede ensamblar un experto, consideramos que tiene mucho tiempo de práctica ensamblando juguetes. Así que tenemos que calcular:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} = \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left[35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right)\right]} \end{equation*}

Aplicando las propiedades de los límites obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} &=& \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left[35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right)\right]}\\ &=& 35\cdot\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left[1 - e^{-0.25t}\right]}\\ &=& 35\cdot\left[\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(1\right)} - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(e^{-0.25t}\right)}\right]\\ &=& 35\cdot\left[1 - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(e^{-0.25t}\right)}\right] \end{eqnarray*}

Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} &=& 35\cdot\left[1 - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(e^{-0.25t}\right)}\right]\\ &=& 35\cdot\left[1 - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{1}{e^{0.25t}}\right)}\right] \end{eqnarray*}

Cuando t tiende a infinito, el cociente 1/e^{0.25t} tiende a cero, entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{t\rightarrow\infty}{P(t)} = 35\cdot\left[1 - 0\right] = 35\cdot(1) = 35 \end{equation*}

Con el paso del tiempo un trabajador puede ensamblar a lo más 35 juguetes por hora. Verifica geométricamente el resultado graficando la función P(t) = 35\cdot\left(1 - e^{-0.25t}\right).



Ejemplo 12

Si p es el precio de una caja de cereal, el número de unidades demandadas por los clientes está relacionada con el precio de acuerdo a la siguiente función:

    \begin{equation*}    p(x) = \frac{100}{\ln(x + 5)} \end{equation*}

Si la demanda crece mucho, ¿qué pasa con el precio?

Necesitamos calcular el siguiente límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{p(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{100}{\ln(x + 5)}\right)} \end{equation*}

Empezamos graficando la función:

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Ya sabemos que la función y = \ln (x+5) se va a infinito cuando x tiende a infinito.
Entonces, \displaystyle\frac{100}{\ln(x + 5)} tiende a cero cuando x tiende a infinito, porque el denominador crece más y más.

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{p(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{100}{\ln(x + 5)}\right)} = 0 \end{equation*}


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