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Límites en el infinito

Aprenderás a calcular límites de funciones cuando la variable independiente tiende a infinito.



Ejemplo 5

Calcula:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)} \end{equation*}

De nuevo, tenemos una función racional con polinomios en el numerador como el denominador de igual grado.
Así que vamos a dividir entre el monomio de mayor grado: x^3

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)}  &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{\displaystyle\frac{a_3x^3}{x^3} + \frac{a_2x^2}{x^3} + \frac{a_1x}{x^3} + \frac{a_0}{x^3}}{\displaystyle\frac{b_3x^3}{x^3} + \frac{b_2x^2}{x^3} + \frac{b_1x}{x^3} + \frac{b_0}{x^3}}\right) } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3 + \displaystyle\frac{a_2}{x} + \frac{a_1}{x^2} + \frac{a_0}{x^3}}{b_3 + \displaystyle\frac{b_2}{x} + \frac{b_1}{x^2} + \frac{b_0}{x^3}}\right) } \end{eqnarray*}

Cuando x tiende a infinito, cada cociente que incluye a x en el denominador se hace cero y obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)}  &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left( \frac{a_3 + \displaystyle\frac{a_2}{x} +  \frac{a_1}{x^2} +  \frac{a_0}{x^3}}{b_3 + \displaystyle\frac{b_2}{x} +  \frac{b_1}{x^2} +  \frac{b_0}{x^3}}\right) }\\ &=&  \frac{a_3 + 0 + 0 + 0}{b_3 + 0 + 0 + 0} \\ &=&  \frac{a_3}{b_3} \end{eqnarray*}

En otras palabras, el limite de una función racional con polinomios en el numerador y denominador del mismo grado tiende al cociente de los coeficientes principales de los polinomios que definen la función. Matemáticamente, para polinomios de tercer grado, tenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\frac{a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}{b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0}\right)} = \frac{a_3}{b_3} \end{equation*}

Es muy sencillo generalizar este resultado a polinomios de grado n. Ese es tu ejercicio.



Ejemplo 6

Una fábrica de ventiladores ha encontrado que cuando invierte x millones de pesos tiene ventas por V(x) millones de pesos por cada millón invertido, donde

    \begin{equation*}    V(x) = \frac{7\,x^2 - 3\,x + 10}{2\,x^2 + 3\,x + 5} \end{equation*}

¿Cuál es la máxima venta que puede esperar tener esa compañía?

Obviamente, mientras más invierta esa fábrica, mayores ventas debe tener.
Si eso es cierto, entonces necesitamos conocer a qué valor se aproxima la función de ventas cuando lo que invierte la compañía es muy grande. Matemáticamente, necesitamos calcular:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{V(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{7\,x^2 - 3\,x + 10}{2\,x^2 + 3\,x + 5}\right)} \end{equation*}

Calcular el límite es sencillo:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{V(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{7\,x^2 - 3\,x + 10}{2\,x^2 + 3\,x + 5}\right)}\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7\,x^2}{x^2} - \displaystyle\frac{3\,x}{x^2} + \displaystyle\frac{10}{x^2}}{\displaystyle\frac{2\,x^2}{x^2} + \displaystyle\frac{3\,x}{x^2} + \displaystyle\frac{5}{x^2}}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{7 - \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{10}{x^2}}{2 + \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{5}{x^2}}\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{7 - 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \displaystyle\frac{7}{2} \end{eqnarray*}

Entonces, por más que invierta, nunca podrá vender más de 3.5 millones de pesos por cada millón que invierta. Cuando x crece mucho, V(x) tiende a 3.5 millones. Geométricamente tenemos que y = 3.5 es una asíntota horizontal:

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Los límites al infinito, entonces, pueden ayudarnos a graficar una función racional, pues nos dicen cómo se comporta la función para valores de x muy grandes.


Ejemplo 7

Calcula las ecuaciones de las asíntotas horizontales de la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{3\,x - 2}{x + 1} \end{equation*}

Cuando x tiende a -\infty, tenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3\,x - 2}{x + 1}\right)} \end{equation*}

Dividiremos cada término del numerador como del denominador entre x y después simplificamos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3\,x - 2}{x + 1}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\,x}{x} - \displaystyle\frac{2}{x}}{\displaystyle\frac{x}{x} + \displaystyle\frac{1}{x}}\right)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3 - \displaystyle\frac{2}{x}}{1 + \displaystyle\frac{1}{x}}\right)} \end{equation*}

Cuando x tiende a +\infty o -\infty, obtenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{\left(\displaystyle\frac{3 + 0}{1 - 0}\right)} = 3\qquad\qquad    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{y(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{3 - 0}{1 + 0}\right)} = 3 \end{equation*}

Así que y=3 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función:

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Ejemplo 8

Un fabricante de tenis deportivos ha encontrado que el costo C(x) de producción de x pares de tenis es de:

    \begin{equation*}    C(x) = 275\,x + 25\,000 \end{equation*}

Calcula el costo promedio de producción de cada par de tenis deportivos.

Para calcular el costo promedio de producción tenemos que dividir el costo de producción de todos los pares de tenis entre el número de tenis producidos:

    \begin{equation*}    \bar{C}(x) = \displaystyle\frac{275\,x + 25\,000}{x} \end{equation*}

Cuando el número x de pares de tenis producidos es muy grande, el promedio se aproxima a:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\bar{C}(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{275\,x + 25\,000}{x}\right)}\\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{275\,x}{x} + \displaystyle\frac{25\,000}{x}}{\displaystyle\frac{x}{x}}\right)}\\ &=& \displaystyle\frac{275 + 0}{1} = 275 \end{eqnarray*}

El precio promedio cuando produce muchos pares de tenis se acerca a $275.00 pesos. ¿Puedes decir, a partir de la siguiente gráfica, si producir más le hace más barato o más caro el precio de producción promedio?

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