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Ley de senos

Aprenderás a resolver triángulos oblicuángulos aplicando la ley de senos.

Hasta ahora hemos resuelto triángulos rectángulos, pero también es común encontrar problemas con triángulos que no son rectángulos, como acutángulos u obtusángulos. Para resolver estos problemas el método que hemos utilizado no funciona, pero podemos utilizar la ley de senos.


Teorema (Ley de senos)

Para cualquier triángulo que se encuentre en el plano, con ángulos internos \alpha,\beta,\gamma, y longitudes de lados opuestos a,b,c respectivamente, se cumple:

    \begin{equation*}    \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c} \end{equation*}


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En palabras, la ley de senos dice: para cualquier triángulo que se encuentra en un plano, las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si nosotros conocemos la longitud de uno de los lados del triángulo y sus ángulos internos, podemos calcular las longitudes de los otros dos lados utilizando esta ley.




Ejemplo 1

Resuelve el siguiente triángulo isósceles:

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Como el triángulo es isósceles, los dos lados inclinados miden 3 cm. Vamos a demostrarlo usando la ley de senos. Para esto definimos: a = 3 cm, \alpha = 50\textdegree, \beta = 50\textdegree y necesitamos calcular b. Utilizando:

    \begin{equation*}    \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} \end{equation*}

podemos despejar b para obtener:

    \begin{equation*}    b = \frac{a\,\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{3\,\sin(50\textdegree)}{\sin(50\textdegree)} = 3\mbox{ cm} \end{equation*}

Con esto queda demostrado que es un triángulo isósceles. Para calcular la longitud de la base, debemos notar que la suma de los dos ángulos conocidos es 100\textdegree y que el tercer ángulo debe medir 80\textdegree. Con esto podemos volver a utilizar la ley de senos para calcular la longitud de c:

    \begin{equation*}    \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\gamma}{c}\qquad\Rightarrow\qquad      c = \frac{a\,\sin\gamma}{\sin\alpha} \end{equation*}

Ahora solamente sustituimos los valores conocidos:

    \begin{equation*}    c = \frac{a\,\sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{3\,\sin(80\textdegree)}{\sin(50\textdegree)} \approx 3.85673\mbox{ cm} \end{equation*}

Y con esto hemos resuelto este triángulo acutángulo.


La ley de senos también funciona para triángulos obtusángulos, como se muestra en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 2

Resuelve el siguiente triángulo obtusángulo:

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En este caso a = 5 cm, \beta = 15\textdegree, \gamma= 100\textdegree y podemos calcular \alpha:

    \begin{equation*}    \alpha = 180\textdegree - 15\textdegree - 100\textdegree = 65\textdegree \end{equation*}

Ahora podemos calcular la longitud del lado b aplicando la ley de senos:

    \begin{equation*}    \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} \qquad\Rightarrow\qquad  	\frac{\sin(65\textdegree)}{5} = \frac{\sin(15\textdegree)}{b} \end{equation*}

Despejando y resolviendo obtenemos: b \approx 1.427876 cm.
Finalmente, podemos calcular el valor de c:

    \begin{equation*}    \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\gamma}{c}\qquad\Rightarrow\qquad c = \frac{a\,\sin\gamma}{\sin\alpha} \end{equation*}

Sustituyendo los valores obtenemos:

    \begin{equation*}    c = \frac{5\,\sin(100\textdegree)}{\sin(65\textdegree)} \approx 5.4330756\mbox{ cm} \end{equation*}

Y terminamos.


La ley de senos sirve también para resolver problemas en diversos contextos.


Ejemplo 3

Una compañía constructora va a perforar un tunel a través de un cerro para reducir el tiempo de transporte de Acatlán (punto A en la figura) a Bacatlán (punto B). Si el tunel está sobre la recta que pasa por los puntos A y B, ¿cuál será la distancia de la carretera? Cazatlán es el punto C indicado en la siguiente figura. Se midieron: |\overline{AC}| = 31.6 km, \angle CBA = 45\textdegree
y \angle CAB = 71.6\textdegree.

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Empezamos notando que podemos calcular el valor del ángulo \angle ABC:

    \begin{equation*}    \angle ABC = 180\textdegree - 45\textdegree - 71.6\textdegree = 63.4\textdegree \end{equation*}

Ahora podemos calcular la distancia entre los puntos A y B aplicando la ley de senos:

    \begin{equation*}    |\overline{AB}| = \frac{31.6\,\sin(45\textdegree)}{\sin(63.4\textdegree)} \approx 39.9\mbox{ km} \end{equation*}

También podemos calcular la distancia entre el punto C y Bacatlán:

    \begin{equation*}    |\overline{BC}| = \frac{31.6\,\sin(71.6\textdegree)}{\sin(45\textdegree)} \approx 42.4\mbox{ km} \end{equation*}

Con esto hemos resuelto completamente el triángulo \trianglele ABC. Esto significa que actualmente para llegar desde Acatlán a Bacatlán recorren, al menos, 31.6 km desde Acatlán hasta Cazatlán primero, y después 42.4 km desde Cazatlán hasta Bacatlán. 31.6 \mbox{ km} + 42.4 \mbox{ mk} = 74\mbox{ km} en total. Con la nueva carretera que pasará a través del tunel, la distancia se acorta a 40 km, aproximadamente.



Ejemplo 4

En el punto A se encuentra un avión que viaja hacia el este, desde ahí a 70\textdegree grados hacia el norte (izquerda del frente del avión) se encuentra un aeropuerto. Si avanza 100 kilómetros, ubicándose el avión ahora en el punto B, el mismo aeropuerto está a 70\textdegree al sur respecto del mismo avión. ¿A qué distancia se encuentran los puntos A y B del eropuerto?

Empezamos elaborando un diagrama para tener una mejor idea del problema:

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Definimos: \alpha = 70\textdegree, y \beta = 30\textdegree. El tercer ángulo \gamma = 80\textdegree, porque 70\textdegree + 30\textdegree + 80\textdegree = 180\textdegree. Para calcular las distancias que queremos conocer aplicamos la ley de senos.

    \begin{equation*}    \frac{|\overline{BC}|}{\sin(70\textdegree)} = \frac{100}{\sin(80\textdegree)} \qquad\Rightarrow\qquad  	|\overline{BC}| = \frac{100\,\sin(70\textdegree)}{\sin(80\textdegree)} \approx 95.42 \mbox{ km} \end{equation*}

La distancia desde el punto A hasta el punto C es:

    \begin{equation*}    \frac{|\overline{AC}|}{\sin(30\textdegree)} = \frac{100}{\sin(80\textdegree)} \qquad\Rightarrow\qquad  	|\overline{AC}| = \frac{100\,\sin(30\textdegree)}{\sin(80\textdegree)} \approx 50.77\mbox{ km} \end{equation*}

Y hemos terminado.



Ejemplo 5

Marco notó que se forma un ángulo de 15\textdegree desde un punto P en el suelo hasta la copa de un árbol, pero si avanza horizontalmente 20 metros hacia el árbol a un punto Q, el ángulo que se forma es de 25\textdegree. ¿Cuál es la altura del árbol?

Empezamos haciendo un bosquejo de la situación:

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Dado que los ángulos \angle RQT y \angle TQP son suplementarios y \angle RQT mide 25\textdegree, se sigue que \angle TQP mide 155\textdegree. Ahora que conocemos dos ángulos internos del triángulo \trianglele PQT podemos calcular la medida del ángulo \angle PQT:

    \begin{equation*}    \angle PQT = 180\textdegree - 15\textdegree - 155\textdegree = 10\textdegree \end{equation*}

Ahora podemos aplicar la ley de senos para calcular la medida del lado \overline{QT}:

    \begin{equation*}    \frac{|\overline{QT}|}{\sin(15\textdegree)} = \frac{20}{\sin(10\textdegree)}\qquad\Rightarrow\qquad 	|\overline{QT}| = \frac{20\,\sin(15\textdegree)}{\sin(10\textdegree)} \approx 29.81\mbox{ metros} \end{equation*}

Ahora podemos calcular la longitud del segmento \overline{QR}, aplicando la definición de la función coseno en el triángulo rectángulo \trianglele QRT:

    \begin{equation*}    |\overline{QR}| = |\overline{QT}|\,\cos(25\textdegree) = 29.81\,\cos(25\textdegree) \approx 27.02\mbox{ metros} \end{equation*}

Finalmente, podemos aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo \trianglele QRT para calcular la altura del árbol. En este triángulo, la hipotenusa mide |\overline{QT}| = 29.81, y el cateto conocido: |\overline{QR}| = 27.02.

    \begin{eqnarray*}    |\overline{RT}| &=& \sqrt{|\overline{QT}|^2 - |\overline{QR}|^2} \\ 	&=& \sqrt{(29.81)^2 - (27.02)^2} \\ 	&=& \sqrt{888.64 - 730.08} \\ 	&=& \sqrt{158.55} \\ 	&\approx& 12.59 \mbox{ metros} \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.


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