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Ley de cosenos

Aprenderás a aplicar la ley de cosenos para la resolución de triángulos.

La ley de cosenos nos permite calcular la longitud de uno de sus lados a partir de la longitud de los otros dos y la medida del ángulo entre éstos.

Justificación

Para justificar la ley de cosenos empezamos trazando un triángulo cualquiera. Suponemos que conocemos las longitudes a y b de dos de sus lados y la medida \theta del ángulo entre ellos. Queremos calcular la longitud c del tercer lado del triángulo:

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Conviene dibujar un triángulo rectángulo, con los siguientes trazos auxiliares para poder aplicar el teorema de Pitágoras:

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Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

    \begin{equation*} 	c^2 = (a - b\,\cos\theta)^2 + (b\,\sin\theta)^2 \end{equation*}

Ahora desarrollamos los binomios al cuadrado:

    \begin{eqnarray*} 	c^2 &=& a^2 - 2\,ab\,\cos\theta + b^2\,\cos^{2}\theta + b^2\,\sin^2\theta \end{eqnarray*}

Lo siguiente es factorizar b^2 de los últimos 2 términos:

    \begin{eqnarray*} 	c^2 &=& a^2 - 2\,ab\,\cos\theta + b^2\,\left(\cos^{2}\theta + \sin^2\theta\right) \end{eqnarray*}

Dado que \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, la simplificación da:

    \begin{eqnarray*} 	c^2 &=& a^2  + b^2 - 2\,ab\,\cos\theta \end{eqnarray*}

Observa que cuando el ángulo \theta mide 90\textdegree, esto es, (\pi/2)\,\textrm{rad}, tenemos que \cos\theta = 0. En ese caso, la ley de cosenos se reduce al teorema de Pitágoras.




Por la forma en que se expresa tradicionalmente la ley de cosenos, fácilmente podemos calcular la longitud de un lado conocidas las longitudes de los otros dos lados y la magnitud del ángulo entre ellos.


Ejemplo 1

Calcula la longitud del tercer lado del triángulo sabiendo que a = 3\;\mathrm{cm}, b = 7\;\mathrm{cm} y la medida del ángulo entre estos dos lados es \gamma = 98.13\textdegree.

Este problema pide calcular la longitud del tercer lado conocidos dos lados y el ángulo entre ellos. Es una oportunidad para aplicar la ley de cosenos.

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	c^2 &=& a^2 + b^2 - 2\,ab\,\cos(\gamma)\\ 		&=& 3^2 + 7^2 - 2\,(3)(7)\cdot\cos(98.13\textdegree)\\ 		&=& 64.0025 \end{eqnarray*}

Por lo tanto, c = 8\;\mathrm{cm}.


Considera dos lados de un triángulo con longitud fija y varía el ángulo que hay entre ellos. Conforme el ángulo va aumentando, la longitud del tercer lado aumenta. Esto indica que el ángulo interior de mayor magnitud está opuesto al lado de mayor longitud. Este hecho se utiliza en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 2

Calcula la medida del ángulo interior de mayor magnitud del triángulo cuyos lados miden 6, 11 y 13, respectivamente.

Geométricamente, se tiene la siguiente situación.

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Dado que la ley de cosenos involucra las medidas de los tres lados y un ángulo, con esta fórmula podemos calcular las magnitud de alguno de los ángulos interiores del triángulo. Con base en la figura previa es obvio que se pide calcular la magnitud del ángulo \gamma.

De acuerdo con la ley de cosenos:

    \begin{equation*} 	c^2 = a^2 + b^2 - 2\,ab\,\cos(\gamma) \end{equation*}

Ahora, nuestra incógnita es la magnitud del ángulo \gamma, por eso conviene despejar \cos(\gamma) de la expresión previa:

    \begin{equation*} 	\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,ab} \end{equation*}

Ahora sustituyendo los valores conocidos, podemos calcular el valor del coseno del ángulo \gamma:

    \begin{equation*} 	\cos(\gamma) = \frac{6^2 + 11^2 - 13^2}{2\,(6)(11)} = \frac{-11}{132} = - \frac{1}{12} \end{equation*}

Es decir, \cos(\gamma) = - 1/12. Para calcular la magnitud de \gamma, aplicamos la función inversa de la función coseno:

    \begin{equation*} 	\gamma = \mathrm{arccos}\left(- \frac{1}{12}\right) = 95.22\textdegree \end{equation*}

Y terminamos.


A partir del ejemplo previo es muy fácil deducir cómo calcular las magnitudes de los tres ángulos del triángulo cuando se conocen las longitudes de sus tres lados.


Ejemplo 3

Calcula la medida de los ángulos interiores de un triángulo cuyos lados miden a = 7\;\mathrm{cm}, b = 5\;\mathrm{cm} y c = 8\;\mathrm{cm}, respectivamente.

En la siguiente figura se representa geométricamente la situación.

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Para simplificar el problema, llamemos \alpha a la medida del ángulo opuesto al lado a (que mide a = 5\;\mathrm{cm}), \beta a la medida del ángulo opuesto al lado b (que mide b = 7\;\mathrm{cm}), \gamma a la medida del ángulo opuesto al lado c (que mide c = 8\;\mathrm{cm}).

De acuerdo con la ley de cosenos,

    \begin{equation*} 	c^2 = a^2 + b^2 - 2\,ab\,\cos(\gamma) \end{equation*}

Despejando de esta ecuación \cos(\gamma), obtenemos:

    \begin{equation*} 	\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,ab} \end{equation*}

Sustituyendo los valores ya conocidos en esta expresión, y evaluando obtenemos:

    \begin{equation*} 	\cos(\gamma) = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2\,(5)(7)} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \end{equation*}

Utilizando la calculadora científica, podemos obtener la medida del ángulo \gamma con la función inversa del coseno: \gamma = \mathrm{arccos}\left(\frac{1}{7}\right) = 81.79\textdegree.

Para calcular la magnitud del ángulo \beta aplicamos de nuevo la ley de cosenos, pero en este caso, observando al lado b como el que deseamos calcular:

    \begin{equation*} 	b^2 = a^2 + c^2 - 2\,ac\,\cos(\beta) \end{equation*}

Básicamente, el procedimiento es el mismo: primero despejamos en este caso \cos(\beta):

    \begin{equation*} 	\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2\,ac} \end{equation*}

Ahora sustituímos los valores conocidos:

    \begin{equation*} 	\cos(\beta) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2\,(5)(8)} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \end{equation*}

Por lo tanto, \beta = 60\textdegree.

Para calcular la medida del tercer ángulo \alpha, utilizamos el hecho de que la suma de los tres ángulos interiores del triángulo que se encuentra en un plano suman 180\textdegree:

    \begin{equation*} 	\alpha + 60\textdegree + 81.79\textdegree = 180\textdegree 	\qquad\Rightarrow\qquad  	\alpha = 180\textdegree - 60\textdegree - 81.79\textdegree = 38.21\textdegree \end{equation*}

Con esto terminamos.


Dado que triángulos semejantes tienen sus ángulos interiores iguales uno a uno, a partir de las proporciones de sus lados podemos calcular la magnitud de cualquiera de sus ángulos.


Ejemplo 4

Las longitudes de los lados de un triángulo están en la proporción 4:5:7. Calcula la magnitud del ángulo interior de mayor magnitud.

En este problema en realidad no importan las medidas actuales de los lados del triángulo, porque todos los triángulos que cumplen con que las longitudes de sus lados estén en la proporción 4:5:7 son semejantes, y por ello, sus ángulos interiores tienen la misma medida (uno a uno entre dos de esos triángulos).

Así que podemos considerar un triángulo cuyos lados miden a = 4\;\mathrm{cm}, b = 5\;\mathrm{cm} y c = 7\;\mathrm{cm}, respectivamente.

Ya sabemos que el ángulo interior de mayor magnitud está opuesto al lado de mayor longitud. Es decir, está opuesto al lado de longitud 7\;\mathrm{cm}.

Dado que conocemos las longitudes de sus tres lados, podemos calcular la magnitud de cualquiera de sus ángulos. En este caso, nos conviene escribir la ley de cosenos como sigue:

    \begin{equation*} 	c^2 = a^2 + b^2 - 2\,ab\,\cos(\gamma) \end{equation*}

Despejando \cos(\gamma), obtenemos:

    \begin{equation*} 	\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,ab} \end{equation*}

Ahora sustituímos los valores conocidos para calcular el \cos(\gamma):

    \begin{equation*} 	\cos(\gamma) = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2\,(4)(5)} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5} \end{equation*}

Despejamos la incógnita \gamma aplicando la función inversa del coseno: \gamma = \mathrm{arccos}\left(-\frac{1}{5}\right) = 101.54\textdegree.

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