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Lenguaje algebraico

Aprenderás a escribir algebraicamente expresiones textuales de las matemáticas y a traducir una expresión algebraica al lenguaje hablado.



Ejemplo 7

Explica si es correcta o incorrecta la siguiente aseveración:

El promedio de dos números es igual a su semisuma.

Calculamos el promedio sumando los números y dividiendo entre el número de datos. En este caso estamos hablando de 2 números. El promedio en este caso es:

    \begin{equation*}    \frac{x+y}{2} \end{equation*}

Por otra parte, semi significa mitad, es decir, dividir entre dos. La semi suma de los números indica que debemos dividir entre dos la suma de los números… y eso es precisamente lo que escribimos:

    \begin{equation*}    \frac{x+y}{2} \end{equation*}

Esto nos indica que la aseveración es correcta.



Ejemplo 8

Una paquete de galletas indica en la tabla de especificaciones nutricionales que cada galleta contiene 54.5 kilocalorías (kCal). Pedro también compró 250 mL de una bebida que contenía 505 kCal en total. Si él se tomó los 250 mL de bebida y además comió n galletas. (a) ¿Cuántas kilocalorías ingirió? (b) Traduce a lenguaje algebraico la expresión obtenida.

Este es un problema clásico de dieta. Llamemos C la cantidad de kilocalorías que ingirió Pedro. Las kCal que ingirió al tomar la bebida son 545 kCal. Hasta ahora, considerando solamente las kCal ingeridas debido a la bebida son:

    \begin{equation*}    C = 505 \end{equation*}

Pero no es lo único que ingirió. También comió n galletas. Sabemos que cada galleta le provee de 54.5 kCal. Si él come solamente una galleta, ingiere 54.5 kCal, y si come dos galletas, ingiere (54.5)(2) kCal. Si come tres galletas, ingiere (54.5)(3) kCal, etc., y en general, si come n galletas, está ingiriendo (54.5\cdot n) kCal.

Entonces, considerando la bebida, más las galletas que comió, en total ingirió:

    \begin{equation*}    C = 505 + 54.5\,n \end{equation*}

Una vez que conozcamos el valor de n, el número de galletas que comió, podremos conocer el total de kCal que ingirió. Ahora traducimos al lenguaje algebraico esta expresión:


El número de kilocalorías que ingirió Pedro es igual a 505 kCal, que ingirió por tomar 250 mL de una bebida, aumentado con el producto de las kCal que contiene una galleta, es decir, 54.5 kCal, por el número de galletas que ingiera, que hemos denotado por n.



Ejemplo 9

Un truco para multiplicar por 9 mentalmente.

Cuando tengas que multiplicar por 9, es mejor agregar un cero a la derecha del otro factor y restar el factor del número así obtenido. Por ejemplo, 9\times123 = 1\,230 - 123 =1\,107. La justificación de este procedimiento es muy sencilla. Cuando multiplicamos un número k por 9, en realidad estamos sumando k+k+\cdots+k nueve veces.

Cuando agregamos un cero a la derecha del número k, obtenemos el resultado de multiplicarlo por 10. Cuando restamos k a este resultado, obtenemos 9\,k. Es decir, 10\,k - k = 9\,k.


Debes recordar que multiplicar significa sumar de una manera abreviada. Por ejemplo, si multiplicas 3 \times 4, en realidad estás sumando 3 + 3 + 3 + 3, o bien, 4 + 4 + 4. En ambos casos obtienes el mismo resultado porque 3\times4 = 4\times3.


Ejemplo 10

Multiplicar un número por 99 mentalmente.

Este caso es similar al anterior: agregamos dos ceros a la derecha del otro factor y restamos el número. Por ejemplo: 99\times23 = 2\,300 - 23 = 2\,277. La justificación está en que 100 = 99 - 1. Es decir, multiplicamos 100 por el otro factor y después lo restamos, con lo que terminamos multiplicando por 99.

    \begin{equation*}    99\,k = 100\,k - k \end{equation*}

Ahora generaliza este procedimiento para poder multiplicar por cualquier número cuyos dígitos sean solamente nueves.



Ejemplo 11

Multiplicar un número de dos cifras por 11

La regla es muy sencilla. Sumar las dos cifras, y escribir el número en medio de las cifras. Cuando la suma es mayor o igual a 10, escribe en medio la cifra de las unidades (de la suma) y suma uno a la cifra de las decenas para escribirlo en las centenas. Por ejemplo: 11\times23 = 253.

Este truco se explica fácilmente cuando se desarrolla la multiplicación de manera convencional.

    \begin{equation*} \begin{array}{cccc} &&2&3\\ &\times&1&1\\\hline &&2&3\\ &2&3&\\\hline &2&5&3 \end{array} \end{equation*}

Siempre quedan en medio los dígitos del número y se deben sumar. Por eso, cuando la suma es mayor o igual a 10, debemos escribir el dígito de las unidades (de la suma) y sumar uno al dígito de las decenas para escribirlo en las centenas.

Otra forma alternativa de realizar esta misma multiplicación consiste en agregar un cero a la derecha del número, que equivale a multiplicar por 10, y después sumar el número. En el caso del ejemplo anterior, tendremos:

    \begin{equation*}    11\times23 = 230 + 23 \end{equation*}

La justificación de este procedimiento se da con la ley distributiva para los números reales:

    \begin{equation*} 11\times23 = 23\times11 = 23\times(10 + 1) = 230 + 23 \end{equation*}



Reto

Con el procedimiento utilizado para multiplicar por 11, encuentra un método para multiplicar por 22, 33, etc.


Ejemplo 12

Multiplicar por un número entre 12 y 20 mentalmente.

Para realizar el cálculo mental de (13)(45) multiplicamos solamente por la cifra de las unidades del número entre 12 y 20, agregamos un cero al 45 y sumamos los resultados:

    \begin{equation*} (13)(45) = 450 + 135 = 585 \end{equation*}

La justificación de este procedimiento también está en la ley distributiva:

    \begin{equation*}    (13)(45) = (45)(13) = (45)(10 + 3) = (45)(10) + (45)(3) \end{equation*}

Al multiplicar (45)(10) estamos agregando un cero a la derecha del número 45, y a este resultado le sumamos (45)(3). En general, si vamos a multiplicar el número a por 10 + k, aplicamos de nuevo la ley distributiva y obtenemos:

    \begin{equation*}    (10 + k)(a) = (10)(a) + (k)(a) \end{equation*}

Ahora debes deducir un método como el que se explica en la multiplicación por 11, donde acomodes los números para sumarlos.



Ejemplo 13

Multiplicar por 15 mentalmente.

La multiplicación por 15 es muy sencilla: agregamos un cero al otro factor y después sumamos la mitad del número que obtuvimos. Por ejemplo, para multiplicar (15)(37), agregamos un cero al 37 y obtenemos 370, después sumamos a este número su mitad, es decir, 185. Entonces,

    \begin{equation*}    (15)(37) = 370 + 185 = 555 \end{equation*}

Lo que justifica este procedimiento consiste en que al agregar un cero al otro factor (37 en este caso), equivale a haberlo multiplicado por 10. Cuando calculamos la mitad de este número, en realidad estamos calculando el resultado de multiplicar el factor (37) por cinco, porque:

    \begin{equation*}    \frac{(37)(\cancel{10})}{\cancel{2}} = (37)(5) \end{equation*}

Entonces, si necesitamos multiplicar el número k por 15, agregamos un cero a la derecha del número k, y a ese resultado le sacamos mitad. Sumamos estos dos últimos números y terminamos.



Ejemplo 14

Multiplicar por un número que termina en 9 mentalmente.

Como es muy fácil multiplicar por un número que es múltiplo de 10, cuando debemos multiplicar por un número que termina en 9, es muy buena idea sumar 1 a ese número, realizar la multiplicación y después restar el otro factor.
Esto porque:

    \begin{equation*}    m\cdot(10\,k + \left[9\right]) = m\cdot(10\,k + \left[10 - 1\right])                                    = m\cdot(10\,(k + 1) - 1) = 10\,(k+1)\,m - m \end{equation*}

donde hemos aplicado la ley distributiva para los números. Por ejemplo,

    \begin{equation*}    (29)(47) = (30)(47) - 47 = (3)(470) - 47 = 1\,410 - 47 = 1\,363 \end{equation*}

Ahora explica (utilizando la ley distributiva) la justificación de este procedimiento.



Ejemplo 15

Multiplicar por 50 mentalmente.

Por ejemplo, multiplicar 17\times50. Es muy sencillo multiplicar por 100, pues solamente agregamos dos ceros a la derecha del otro factor. Sabemos que (2)(50) = 100, entonces, para multiplicar por 50, basta hacer:

    \begin{equation*}    (17)(50) = (17)(50)\cdot\left(\frac{2}{2}\right)              = (17)\cdot\left(\frac{100}{2}\right)              = \frac{1\,700}{2} = 850 \end{equation*}



Ejemplo 16

Dividir entre 5 mentalmente.

Dado que dividir por 10 significa correr el punto decimal un lugar a la izquierda, y que 10 = (2)(5), mejor multiplicamos por 2 y al resultado le corremos el punto decimal un lugar a la izquierda. Por ejemplo,

    \begin{equation*}    \frac{37}{5} = (37)\left(\frac{1}{5}\right)                  = (37)\left(\frac{2}{10}\right)                  = \frac{(37)(2)}{10} = \frac{74}{10} = 7.4 \end{equation*}

La justificación del procedimiento para dividir por 5 es similar al truco anterior. Supongamos que queremos dividir al número k entre 5. Es decir, queremos encontrar:

    \begin{equation*}    \frac{k}{5} = \frac{2\cdot k}{10} \end{equation*}

Esta expresión indica: Duplica al dividendo (es decir, el numerador de la fracción) y al resultado córrele el punto decimal un lugar a la izquierda.



Reto

Encuentra un procedimiento para multiplicar cualquier número por un divisor de 100 mentalmente.

Para resolver el reto puedes tomar algunas ideas del ejemplo donde se explica cómo multiplicar por 50. Observa cómo puedes generalizar esta idea para los demás divisores de 100.

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