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Lenguaje algebraico

Aprenderás a escribir algebraicamente expresiones textuales de las matemáticas y a traducir una expresión algebraica al lenguaje hablado.

Las matemáticas son un lenguaje, hecho por los humanos para los humanos. Y como todo lenguaje, tiene sus reglas, y si conoces sus reglas, podrás entender todas las matemáticas.

Evidentemente, la base está en este lenguaje que nos ayuda a describir con palabras lo que dicen los objetos matemáticos, es decir, las ecuaciones, funciones, gráficas, vectores, etc.

Para poder entender las matemáticas más elementales, debes conocer el significado de las siguientes palabras:


 \begin{tabular}{cc}\hline     \textbf{Palabra}   &       \textbf{Significa} \\ \hline       Suma          & resultado de una suma\\ \hline       Diferencia    & resultado de una resta\\ \hline       Producto      & resultado de una multiplicaci\'on\\ \hline       Cociente      & resultado de una divisi\'on\\ \hline       Doble, triple,... & multiplicar por 2, 3, etc.\\ \hline       Mitad, tercio,... & dividir entre 2, 3, etc.\\ \hline       Cuadrado      & resultado de elevar al cuadrado\\ \hline       Cubo          & resultado de elevar al cubo\\ \hline       Cuarta potencia & elevar a la potencia 4\\ \hline       Ra\'iz cuadrada & calcular ra\'iz cuadrada\\ \hline       Ra\'iz c\'ubica & calcular ra\'iz c\'ubica\\\hline \end{tabular}

En realidad esta lista ya debes conocerla. Cuando una persona te pide: suma 3 al número 2, en realidad entiendes lo que debes hacer. Sin embargo, algunas palabras prácticamente nunca las utilizamos, a pesar de que ya sabemos realizar la operación.


Ejemplo 1

Traduce a lenguaje matemático, es decir, a una expresión algebraica, el siguiente enunciado:


El doble de un número menos el cuadrado de otro.

Vamos a trabajar con dos cantidades desconocidas, la primera la llamaremos x y a la segunda y. Como ya sabemos, la palabra doble nos indica que multipliquemos por dos: 2\,x indica el doble del primer número.

El cuadrado del otro quiere decir: multiplica el número por sí mismo dos veces, es decir, elevalo al cuadrado.

Entonces, la expresión algebraica que expresa matemáticamente esa frase es: y^2. Finalmente, la frase El doble de un número menos el cuadrado de otro, matemáticamente se escribe:

    \begin{equation*}    2\,x-y^2 \end{equation*}

Con lo que hemos traducido al lenguaje matemático la frase.


Cualquier expresión matemática, por más compleja que parezca, siempre puede expresarse en palabras a través del lenguaje algebraico. Otras palabras que se usan frecuentemente en el lenguaje algebraico son las siguientes:


 \begin{tabular}{cc}\hline \textbf{Palabra}   &       \textbf{Significa} \\ \hline       Aumentado          & m\'as o sumado a\\ \hline       Disminuido    & menos o restado de \\ \hline       Raz\'on         & cociente\\ \hline       Proporci\'on    & cociente\\ \hline       Incrementado  & sumado\\ \hline       Semi          & mitad de...\\\hline \end{tabular}


Ejemplo 2

Traduce a una expresión matemática la siguiente frase: El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.

Primero debemos notar que se está hablando de una fórmula de geometría. Necesitamos una literal para denotar el área del cuadrado.
Por similitud, utilizaremos A. Y para denotar la longitud del lado del cuadrado usaremos l. Entonces, el área (A) la encontramos elevando al cuadrado la longitud del lado (l):

    \begin{equation*} 	A = l^2 \end{equation*}

Esta es la fórmula que nos expresa matemáticamente la frase que nos pidieron traducir al lenguaje algebraico.


Seguramente ahora podrás reconocer las fórmulas de geometría como expresiones que nos dan información acerca de las figuras a las cuales corresponden.

La fórmula del área del círculo, por ejemplo: A =\pi\,r^2 nos indica que su área depende solamente de una medida: su radio. Esto es semejante al caso del cuadrado: su área solamente depende de la longitud de uno de sus lados.


Ejemplo 3

Traduce a una expresión matemática la siguiente información: Carlos tiene 6 canicas más que Benjamín. Entre los dos tienen en total 78 canicas.

Vamos a utilizar la letra C para denotar la cantidad de canicas que tiene Carlos. Y B servirá para denotar la cantidad de canicas que tiene Benjamín. Sabemos que Carlos tiene 6 canicas más que Benjamín, así que si sumamos 6 al número B obtenemos lo que tiene Carlos:

    \begin{equation*}    C = B + 6 \end{equation*}

Si sumamos las dos cantidades, obtenemos lo que tienen los dos juntos, en este caso, 78 canicas:

    \begin{equation*}    B + C = 78 \end{equation*}

Pero ya habíamos encontrado que C = B + 6, por lo que podemos escribir también:

    \begin{equation*}    B + (B + 6) = 78 \end{equation*}

Cualquiera de las dos ecuaciones sirve como solución al texto dado en el encabezado del ejemplo. Más adelante estudiaremos cómo resolver estas ecuaciones.


Es importante que notes que dos ecuaciones distintas en el ejemplo anterior pueden servir para expresar exactamente la misma situación. Cuál utilizar dependerá de la situación en la que nos encontremos. Observa que algunas veces podemos expresar la misma información de varias maneras distintas. Después de todo, las matemáticas son un lenguaje.


Ejemplo 4

Expresa en forma de una ecuación la siguiente información: Un rectángulo tiene un área de 84 metros cuadrados. Sabemos que su base mide 5 metros más que su altura.

Denotemos con una literal la altura del rectángulo, por ejemplo, h. Para nosotros la letra h representa los metros que mide la altura del rectángulo. El texto nos dice que la base mide 5 metros más, es decir, tengo que sumar 5 a la altura para obtener lo que mide la base:

    \begin{equation*}    b = h + 5 \end{equation*}

Además, sabemos que el área del rectángulo es igual a 84 metros cuadrados. Entonces:

    \begin{eqnarray*}    \mbox{\'Area} & = & \mbox{base}\times\mbox{altura}\\    A  & = & b\cdot h\quad =\quad (h+5)\cdot h\\    84 & = & (h+5)\cdot h \end{eqnarray*}

Esta ecuación expresa matemáticamente el texto que se dio en el encabezado del ejemplo.


El ejemplo anterior nos dice algo importante: las expresiones matemáticas nos dan información acerca de algún proceso. En este caso, la ecuación (h+5)\cdot h = 84 nos indica las condiciones para que el área de un rectángulo sea igual a 84 unidades cuadradas si su base mide 5 unidades más que su altura.

No siempre es así de fácil obtener información de una ecuación, pero cuando sea posible, es importante reconocerla porque así tendremos mayor información acerca del problema que estamos resolviendo.


Ejemplo 5

Escribe en palabras la siguiente expresión algebraica:

    \begin{equation*}    \frac{x+y}{x-y} \end{equation*}

Primero observamos que se trata de la división de dos cantidades. La cantidad que está en el numerador es la suma de dos números y la cantidad que está en el denominador es la diferencia de los mismos números. Ahora, debemos recordar que el resultado de una división, en matemáticas se llama: cociente. Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{x+y}{x-y} \end{equation*}

se lee:

El cociente de la suma de dos números entre su diferencia.


El lenguaje algebraico es la forma como expresamos los procedimientos para resolver problemas matemáticos de todas sus áreas. Nos ayuda a expresar en palabras ecuaciones o a escribir en forma de ecuación una o varias operaciones que debemos realizar con algunas cantidades.


Ejemplo 6

Escribe en forma de expresión algebraica el siguiente juego:

Piensa un número, sumale dos; al resultado multiplícalo por 3, después réstale 6. Calcula la tercera parte de ese resultado y obtienes el número que pensaste.

Primero debemos definir el número que pensó: x. A ese número le van a sumar 2, así obtenemos: x + 2. Al resultado van a multiplicarlo por 3, con lo que obtenemos: 3\,(x + 2). Después le restan 6, y así se obtiene: 3\,(x + 2) - 6. Finalmente, dividimos entre 3, esto se denota por:

    \begin{equation*}    \frac{3\,(x + 2) - 6}{3} \end{equation*}

Y terminamos.


Es importante que observes que cuando multiplican por 3, no escriben: 3\,x + 2, porque en este caso, estamos multiplicando por 3 el número que pensaron y al resultado le sumamos dos. Para que te convenzas que los resultados son distintos, puedes considerar distintos valores y verás que no obtienes el mismo resultado.

Por ejemplo, digamos que pensaste el número 10. Si sumamos 2 obtenemos 12, y después multiplicamos por 3 para obtener 36. Por otra parte si multiplicas 3 por 10 (el número que pensaste, sin sumar 2) obtienes 30, y después sumamos 2 para obtener 32. Como ya sabemos 36 \neq 32. En matemáticas, cuando se explica un resultado, necesariamente debemos utilizar palabras que indiquen cada objeto o idea. Si no memorizas los significados de las palabras que aparecen en las tablas dadas anteriormente, no podrás aprovechar tus cursos de matemáticas, incluyendo éste.


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