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La fórmula de Herón

Se justifica la fórmula para calcular el área del triángulo a partir de la longitud de sus lados

Considera el siguiente triángulo.

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Observa que la altura del triángulo h = ||\overline{AD}||. La longitud del segmento ||\overline{CD}|| es b\cdot \cos\gamma. Por la ley de cosenos,

    \begin{equation*} 	||\overline{CD}|| = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a} \end{equation*}

Y por el teorema de Pitágoras, h^2 = b^2 - ||\overline{CD}||^2. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	h^2 = b^2 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right)^2 \end{equation*}

Dado que es una diferencia de cuadrados, se puede factorizar como,

    \begin{eqnarray*} 	h^2 &=& \left(b + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right)\left(b - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right)	\\ 	&=& \left(\frac{2\,ab + a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right)\left(\frac{2\,ab - a^2 - b^2 + c^2}{2\,a}\right)	\\ 		&=& \left(\frac{(a + b + c)(a + b - c)}{2\,a}\right)\left(\frac{(c + a - b)(c - a + b)}{2\,a}\right)	\\ 		&=& \frac{(a + b + c)(a + b - c) (c + a - b)(c - a + b)}{4\,a^2} \end{eqnarray*}

Ahora define s como la mitad del perímetro del triángulo, es decir, 2\,s = a + b  + c. Entonces, a + b - c = 2\,(s - c), a - b + c = 2\,(s - b), y -a + b + c = 2\,(s - a). Como consecuencia,

    \begin{eqnarray*} 	h &=& \sqrt{\frac{(a + b + c)(a + b - c) (c + a - b)(c - a + b)}{4\,a^2}}	\\ 		&=& \frac{\sqrt{(a + b + c)(a + b - c) (c + a - b)(c - a + b)}}{2\,a}	\\ 		&=& \frac{\sqrt{(2\,s) \cdot (2\,(s - c))\cdot (2\,(s - b))\cdot (2\,(s - a))}}{2a}\\ 		&=& \frac{2\,\sqrt{s \cdot (s - c)\cdot (s - b)\cdot (s - a)}}{a} \end{eqnarray*}

En este caso, el área del triángulo es A = a\cdot h / 2. Entonces,

    \begin{equation*} 	A_{\text{tri\'angulo}}  		= \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{2\,\sqrt{s \cdot (s - c)\cdot (s - b)\cdot (s - a)}}{a} 		= \sqrt{s \cdot (s - c)\cdot (s - b)\cdot (s - a)} \end{equation*}

Esta fórmula es conocida como la fórmula de Herón. Nos permite calcular el área del triángulo conociendo la longitud de sus tres lados.

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