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Interpretación gráfica

Aprenderás a interpretar gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

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En la introducción de la sección Sistemas de Ecuaciones Lineales se presentó la interpretación gráfica (o geométrica) de la solución de un S.E.L. Este tema está relacionado con la Interpretación Gráfica de las Funciones Lineales, donde se estudia el concepto de función.

Una ecuación lineal con dos variables puede escribirse en forma de una función. Por ejemplo, consideremos:

    \begin{equation*}    a\,x + b\,y = k \end{equation*}

Podemos fácilmente despejar la variable y y reescribir la ecuación en forma de una función:

    \begin{equation*} y = \displaystyle\frac{k - a\,x}{b} \end{equation*}

Esta función nos ayuda a calcular un valor de y una vez que nosotros conozcamos un valor de x. Entonces, para graficar la ecuación a\,x + b\,y = k podemos expresarla como una función:

    \begin{equation*}    y = \frac{k - a\,x}{b} \end{equation*}

y a partir de ésta, encontrar las coordenadas de dos de sus puntos, y trazar la recta que pasa por éstos.


Ejemplo 1

Grafica cada una de las ecuaciones del siguiente S.E.L.:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x &-& y &=& 2\\ x &+& 2\,y &=& 11 \end{array}\]

Para graficar las ecuaciones, primero debemos despejar y:

    \begin{eqnarray*}    y &=& x - 2\\    y &=& \frac{11 - x}{2} \end{eqnarray*}

Ahora necesitamos encontrar dos puntos para cada una de las rectas. Primero encontramos dos puntos (A y B) para la primera recta y después otros dos (C y D) para la segunda. Para esto, vamos a sustituir valores para x y calculamos el valor de y que le corresponde. Después de tener los puntos por donde pasa cada recta, las graficamos:

Rendered by QuickLaTeX.com

Nosotros ya resolvimos este S.E.L. utilizando el método de igualación. Así que podemos ver que la solución es correcta, de acuerdo a aquel procedimiento. Este S.E.L. tiene solución única, porque al graficar las ecuaciones, obtenemos dos rectas que no son paralelas.


Cuando debamos resolver un S.E.L. de dos ecuaciones y dos variables, y al graficar las ecuaciones en un plano cartesiano, si esas dos rectas no son paralelas, tendremos dos rectas que se cortan en algún punto del plano. Ese punto, representa la solución del S.E.L.

Esto es así porque el punto pertenece simultáneamente a ambas rectas, y por tanto, satisface ambas ecuaciones.

Esa es precisamente la definición de la solución del S.E.L.

Otro será el caso cuando tengamos dos rectas paralelas y distintas.


Ejemplo 2

Resuelve el siguiente S.E.L.:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x    &-& y &=& 2\\ 2\,x &-& 2\,y &=& 0 \end{array}\]

Para resolverlo, vamos a encontrar el determinante principal del S.E.L.:

    \[\Delta_p = %\detdos{1}{-1}{2}{-2} \left|\begin{array}{rr} 1 & -1\\ 2 & -2 \end{array}\right|  = (1)(-2) - (-1)(2) = (-2) - (-2) = 0\]

Hasta ahora sabemos que el S.E.L. no tiene solución única, dado que \Delta_p = 0.

Para saber si se trata de un S.E.L. con un número infinito de soluciones o no tiene solución, vamos a graficar las ecuaciones que forman el S.E.L. Igual que en el ejemplo anterior, empezamos encontrando dos puntos para cada ecuación. Después graficamos las rectas:

Rendered by QuickLaTeX.com

De la gráfica se hace evidente que este S.E.L. no tiene solución, porque se trata de dos rectas paralelas. Para saber si tiene un número infinito de soluciones o no tiene solución, utilizando el método de los determinantes, necesitamos encontrar los determinantes auxiliares y ver cómo se comportan en este caso:

    \begin{eqnarray*}    \Delta_x &=& %\detdos{2}{-1}{0}{-2}\\ \left|\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 0 & -2 \end{array}\right|  = (2)(-2) - (-1)(0) = (-4) - (0) = -4\\    \Delta_y &=& %\detdos{1}{2}{2}{0} \left|\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 2 & 0 \end{array}\right|  = (1)(0) - (2)(2) = (0) - (4) = -4 \end{eqnarray*}

Observa que ni \Delta_x, ni \Delta_y son iguales a cero. Si al menos uno de los dos es distinto de cero, concluimos que el S.E.L. no tiene solución. Esto nos indica que las rectas son paralelas, y por tanto, que el S.E.L. no tiene solución.


Ahora vamos a resolver un S.E.L. con un número infinito de soluciones para verificar que al menos uno de los determinantes auxiliares se hace cero.


Ejemplo 3

Resuelve el siguiente S.E.L.:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x    &-& y &=& 2\\ 2\,x &-& 2\,y &=& 4 \end{array}\]

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De nuevo, calculamos el determinante principal del S.E.L.:

    \[\Delta_p = %\detdos{1}{-1}{2}{-2} \left|\begin{array}{rr} 1 & -1\\ 2 & -2 \end{array}\right|  = (1)(-2) - (-1)(2) = (-2) - (-2) = 0\]

Hasta ahora sabemos que el S.E.L. no tiene solución única, dado que \Delta_p = 0. Para saber si se trata de un S.E.L. con un número infinito de soluciones o no tiene solución, vamos a graficar las ecuaciones que forman el S.E.L. Igual que en el ejemplo anterior, empezamos encontrando dos puntos para cada ecuación:

Rendered by QuickLaTeX.com

De la gráfica se hace evidente que este S.E.L. no tiene solución, porque se trata de dos rectas paralelas, que además son la misma recta. Ahora vamos a estudiar cómo se comportan los determinantes auxiliares:

    \begin{eqnarray*} \Delta_x &=& %\detdos{2}{-1}{4}{-2}\\ \left|\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 4 & -2 \end{array}\right|  = (2)(-2) - (-1)(4) = (-4) - (-4) = 0\\ \Delta_y &=& %\detdos{1}{2}{2}{4} \left|\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{array}\right|  = (1)(4) - (2)(2) = (4) - (4) = 0 \end{eqnarray*}

Observa que: \Delta_x = 0, y también \Delta_y = 0. Esto nos indica que las rectas son paralelas, y además, la misma, y finalmente, que el S.E.L. no tiene solución.


Si consideramos el S.E.L. siguiente:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} \alpha_1\,x &+& \beta_1\,y &=& \kappa_1\\ \alpha_2\,x &+& \beta_2\,y &=& \kappa_2 \end{array}\]

y suponemos que \Delta_p = \alpha_1\,\beta_2 - \alpha_2\,\beta_1 = 0, se sigue que:

    \begin{eqnarray*} \alpha_1\,\beta_2 &=& \alpha_2\,\beta_1\\ \displaystyle\frac{\alpha_1}{\alpha_2} &=& \displaystyle\frac{\beta_1}{\beta_2} = \rho \end{eqnarray*}

Aquí, existe la posibilidad de que el cociente \rho sea igual o diferente al cociente \kappa_1/\kappa_2.

Si se cumple la igualdad:

    \begin{equation*}    \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\kappa_1}{\kappa_2} \end{equation*}

Entonces, los tres determinantes, \Delta_p, \Delta_x y \Delta_y serán iguales a cero (Verifica que esto es verdad calculando los tres determinantes), y a la vez, las ecuaciones del S.E.L. son equivalentes, pues podemos obtener una multiplicando (o dividiendo) la otra por \rho, y por eso tenemos un número infinito de soluciones. Si un punto está sobre la primera recta, también está sobre la segunda, pues geométricamente son la misma recta.

El otro caso, en el cual:

    \begin{equation*}    \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{\beta_1}{\beta_2} \neq \frac{\kappa_1}{\kappa_2} \end{equation*}

Se trata del caso en el que las rectas son paralelas y diferentes. Por eso el S.E.L. no tiene solución. Aquí, solamente \Delta_p = 0. Los determinantes auxiliares \Delta_x, \Delta_y pueden ser distintos de cero: uno de ellos puede ser igual a cero, pero no ambos.

Una forma muy sencilla de notar si el S.E.L. tiene un número infinito de soluciones o no tiene soluciones consiste en buscar un número que multiplicado por una ecuación dé igual a la otra ecuación. En el ejemplo anterior, si multiplicamos la primera ecuación por 2, obtenemos exactamente la segunda ecuación. Esto indica que las dos ecuaciones son la misma. Si al multiplicar obtenemos el término independiente distinto, pero el resto de la ecuación igual a la otra, entonces tenemos dos rectas paralelas.


Ejemplo 4

Verifica si el S.E.L.:

    \[\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcl} x    &-& y &=& 2\\ 2\,x &-& 2\,y &=& 0 \end{array}\]

tiene o no tiene soluciones.

Ya resolvimos este S.E.L. Lo que ahora vamos a hacer es buscar un número que multiplicado por la primera ecuación nos resulte la segunda ecuación. Evidentemente, podemos multiplicar la primera ecuación por 2 y obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    x    - y = 2 \qquad&\Rightarrow&\qquad 2\,x - 2\,y = 4\\    2\,x - 2\,y = 0 \qquad&\Rightarrow&\qquad 2\,x - 2\,y = 0 \end{eqnarray*}

Vemos que el nuevo S.E.L. equivalente al original no tiene soluciones, porque se trata de dos rectas paralelas. Puedes concluir esto al ver que 4 \neq 0.


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