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Interpretación geométrica de la derivada

Aprenderás la interpretación geométrica de la derivada.

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Ya estudiamos una interpretación geométrica de la razón de cambio instantánea. Ahora vamos a profundizar un poco más en este concepto recordando que la derivada es una razón de cambio instantánea y vamos a descubrir otra interpretación geométrica más de este operador matemático.

Vamos a hacer un acercamiento al punto donde calculamos la velocidad instantánea de la piedra que cae desde los 10 metros de altura, en una discusión previa:

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En la gráfica de la derecha, la recta punteada representa la recta tangente a la gráfica de la función en
el punto B.

En la cercanía del punto B, la recta y gráfica de la función se confunden, porque la curva es suave. Es decir, los valores que van tomando y(x) no cambian de dirección bruscamente, como por ejemplo, la función valor absoluto.

Para la función y = |x|, en la cercanía del origen la dirección de la gráfica de la función cambia bruscamente. La gráfica de la función en ese punto no es suave.

Por otra parte, cualquier función polinomial es suave. La función cuadrática es una función polinomial y por eso es suave. Como la gráfica de esta función es suave, una recta tangente puede aproximar muy bien a su gráfica en la cercanía de cualquiera de sus puntos.

La recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) se puede calcular a través del límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

que no es sino la razón de cambio instantánea de y con respecto a x, o en otras palabras, la derivada de la función respecto a su variable independiente.

Entonces, la derivada también puede interpretarse como la mejor aproximación lineal a una función en la cercanía de uno de sus puntos. De hecho, precisamente esa es la razón por la cual durante mucho tiempo
se creyó que la tierra era plana.

En la cercanía de un punto, la superficie que forma el agua de mar parece un plano. El tamaño de la superficie terrestre es muy grande comparada con el tamaño de nosotros, los humanos. Por eso, se creyó que la tierra era plana. Porque un plano es una muy buena aproximación a la superficie de una esfera en un punto.

En un plano, una recta es una muy buena aproximación a una circunferencia en la cercanía de uno de sus puntos. Y conforme el radio de la circunferencia crece, la aproximación parece ser cada vez mejor.

Como resumen, tenemos las siguientes interpretaciones de la derivada de una función.


Interpretación de la derivada


Sea y = f(x) una función con derivada en todo su dominio. La derivada de la función f'(x) puede interpretarse de las siguientes tres maneras:

  • (i) La razón de cambio instantánea de la variable y con respecto a la variable independiente de la función x.
  • (ii) La pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en uno de sus puntos.
  • (iii) La mejor aproximación lineal a la gráfica de la curva y = f(x) en uno de sus puntos.

Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = x^2 + 2\,x - 1 \end{equation*}

y da las tres posibles interpretaciones que se pueden dar al resultado.

Aplicamos la regla de los 4 pasos.
Paso 1:

    \begin{eqnarray*}    y + \Delta y &=& (x + \Delta x)^2 + 2\,(x + \Delta x) - 1\\ 	&=& x^2 + 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 2\,x + 2\,(\Delta x) - 1 \end{eqnarray*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& x^2 + 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 2\,x + 2\,(\Delta x) - 1 \\ 	&& - (\textcolor{red}{x^2 + 2\,x - 1})\\ 	&=& 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 2\,(\Delta x) \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Dx} &=& \frac{2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 2\,(\Delta x)}{\Delta x}\\ 	&=& 2\,x + (\Delta x) + 2 \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \mylim{2\,x + (\Delta x) + 2}\\ 	&=& 2\,x + 2 \end{eqnarray*}

Ahora damos la interpretación.

Primera interpretación:
La razón de cambio instantánea de y = x^2 + 2\,x - 1 con respecto a la variable x es y' = 2\,x + 2.

Segunda interpretación:
La pendiente de la recta tangente a la función y = x^2 + 2\,x - 1 en el punto (x,y) está dada por: y' = 2\,x + 2.

Tercera interpretación:
La mejor aproximación lineal a la función y = x^2 + 2\,x - 1 en cualquiera de sus puntos (x,y) puede calcularse con la ayuda de: y' = 2\,x + 2.


La derivada puede interpretarse geométricamente así como físicamente, dependiendo del contexto en el cual se le calcule. A partir de una función la derivada puede interpretarse como una corriente eléctrica, gasto de agua, etc.


Ejemplo

La posición y (medida en metros) de una bala que cae bajo la acción de la gravedad terrestre está dada por la siguiente función:

    \begin{equation*}    y(t) = y_0 - \frac{1}{2}gt^2 \end{equation*}

donde t es el tiempo medido en segundos, y_0 es la altura a la cual se dejó caer la bala y g = 9.8 (medida en m/s^2) es la aceleración constante debida a la gravedad. ¿Cómo debemos interpretar la derivada de esta función del tiempo?

Suponiendo que la bala cae desde 10 metros de altura la función se convierte en el caso particular:

    \begin{equation*}    y(t) = 10 - \displaystyle\frac{9.8}{2}\,t^2 = 10 - 4.9\,t^2 \end{equation*}

A partir de un valor de t nosotros podemos calcular un valor de la posición de la bala. Por ejemplo, 0.5 segundos después de iniciar su caida, la piedra estaba a:

    \begin{equation*}    y(t) =  10 - 4.9\,(0.5)^2 = 8.775 \mbox{ metros de altura.} \end{equation*}

Y un segundo después, estaba a:

    \begin{equation*}    y(t) =  10 - 4.9\,(1)^2 = 5.1 \mbox{ metros de altura.} \end{equation*}

Ahora podemos graficar esta función cuadrática:

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Para calcular la velocidad promedio de la bala entre t = 0.5 y t = 1 segundos, dividimos distancia entre velocidad. En este caso en el eje horizontal tenemos al tiempo (t) Y en el eje vertical tenemos distancia. El cociente de las unidades de los ejes

    \begin{equation*}    \frac{\mbox{Eje vertical}}{\mbox{Eje horizontal}} = \frac{m}{s} \end{equation*}

nos indica las unidades de la cantidad física que representa la derivada de la función que estemos estudiando. En este caso, la derivada se interpreta físicamente como una velocidad instantánea. Geométricamente, sigue representando la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la función aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

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    \begin{eqnarray*}    y + \Delta y &=& 10 - 4.9\,(t + \Delta t)^2\\ 	&=& 10 - 4.9\,\left[t^2 + 2\,t\,(\Delta t) + (\Delta t)^2\right]\\ 	&=& 10 - 4.9\,t^2 - 9.8\,t\,(\Delta t) - 4.9\,(\Delta t)^2 \end{eqnarray*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& 10 - 4.9\,t^2 - 9.8\,t\,(\Delta t) - 4.9\,(\Delta t)^2 - \textcolor{red}{10 - 4.9\,t^2}\\ 	&=& - 9.8\,t\,(\Delta t) - 4.9\,(\Delta t)^2 \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta t} &=& \frac{- 9.8\,t\,(\Delta t) - 4.9\,(\Delta t)^2}{\Delta t}\\ 	&=& - 9.8\,t - 4.9\,(\Delta t) \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{eqnarray*}    y'(t) = \frac{dy}{dt} &=& \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(- 9.8\,t - 4.9\,(\Delta t)\right)}\\    y'(t)	&=& -9.8\,t \end{eqnarray*}

Para el caso t = 0.5, podemos ver que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva es: y'(0.5) = -4.9. En la siguiente gráfica se muestra la función y(t) = 10 - 4.9\,t^2 y la recta tangente en t = 0.5.

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Se te queda como ejercicio calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función cuando t = 1 s.


Observa que a partir del ejemplo anterior podemos concluir que cada contexto le da una interpretación propia a la derivada de la función que estemos estudiando. Esto no es de sorprender, porque la derivada es una razón de cambio, y cada razón de cambio tiene una propia interpretación de acuerdo a las cantidades que están formando el cociente.


Ejemplo

Cuando se aplica un campo eléctrico E a un conductor, sus cargas eléctricas libres empiezan a moverse, las positivas se mueven en el mismo sentido que el campo eléctrico y las negativas en sentido contrario. Si se miden la cantidad de carga eléctrica Q (medida en coulombios) que atraviesa una sección transversal del conductor y el tiempo t (medido en segundos) que le toma atravesarla, la intensidad de corriente eléctrica I se define como el siguiente límite:

    \begin{equation*}    I = \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\right)} \end{equation*}

que no es sino la derivada de Q respecto a t. Da una interpretación física de esta derivada.

Sabemos que Q es carga eléctrica y t es el tiempo. Entonces, la intensidad de corriente eléctrica es la razón de cambio instantánea de la cantidad de carga que atraviesa una sección transversal del conductor por unidad de tiempo en un instante determinado. En otras palabras, la intensidad de corriente nos indica cuánta carga eléctrica atraviesa una sección transversal del conductor cada segundo para un valor de t determinado.

El siguiente diagrama explica el fenómeno físico:

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El conductor mostrado contiene cargas positivas (+), cargas negativas (-) y el campo eléctrico está denotado por las flechas con la letra E encima de ellas.

Observa que el movimiento de las cargas positivas tienen la misma dirección que el campo eléctrico, mientras que las cargas negativas la dirección opuesta. La intensidad de corriente I nos indica la cantidad de cargas eléctricas que atraviesan la sección transversal mostrada en la figura por unidad de tiempo en un instante determinado.


Las aplicaciones de las derivadas no se limitan solamente a cuestiones de ciencias exactas como matemáticas, física, química, etc. También podemos encontrar aplicaciones en cualquier otra rama del conocimiento, como en biología, administración, ciencias sociales, etc. Los siguientes ejemplos corresponden a aplicaciones de administración y economía.


Ejemplo

En una empresa han determinado que la función que describe el comportamiento del costo de producción de un producto dependiendo de la cantidad producida es:

    \begin{equation*}    C = 120\,000 + 345\,n + 0.25\,n^2 \end{equation*}

donde C es el costo de producir n de esos productos. Interpreta la derivada de esta función.

Sabemos que C es el costo de producir n artículos. La derivada de la función se define como:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dn} = \lim\limits_{\Delta n\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{C(n + \Delta n) - C(n)}{D n}\right)} \end{equation*}

En el numerador tenemos el incremento en el costo de producir \Delta n artículos más. En el denominador tenemos \Delta n, que es el número de artículos en que se incrementará la producción. El cociente nos indica el incremento promedio del costo de cada artículo. Entonces, la derivada de la función nos indica la razón instantánea del incremento en el costo de producción de cada artículo producido. Puede mostrarse que la derivada de lafunción es:

    \begin{equation*}    \frac{dC}{dn} = 345 + 0.5\,n \end{equation*}

De la derivada podemos concluir que al aumentar la producción de un artículo más, el costo de producción de cada producto aumenta en 0.5.

Se te queda como ejercicio verificar que la derivada de la función dada anteriormente es correcta.



Ejemplo

La demanda de pares de tenis para caminata que observa un fabricante cambia con el precio al cual oferta dicho producto. Según sus cálculos, la función que describe la demanda en función del precio es la siguiente:

    \begin{equation*}    N = -25\,p^2 + 700\,p \end{equation*}

donde N es el número de pares de tenis demandados por el mercado y p es el precio al cual se oferta cada par. Interpreta la derivada de N respecto a p de esta función.

La derivada de N respecto a p está definida como:

    \begin{equation*}    \frac{dN}{dp} = \lim\limits_{\Delta p\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{N(p + \Delta p) - N(p)}{\Delta p}\right)} \end{equation*}

Como N representa la cantidad de pares de tenis que se demandan, el cociente

    \begin{equation*}    \frac{N(p + \Delta p) - N(p)}{\Delta p} \end{equation*}

representa la tasa de incremento en la cantidad de pares de tenis que se demandan por cada peso que se eleva el precio de cada par. Entonces, la derivada es la razón de crecimiento instantánea de la demanda de pares de tenis con respecto al precio. Por ejemplo, podemos verificar que la derivada de la función es:

    \begin{equation*}    \frac{dN}{dp} = -50\,p + 700 \end{equation*}

Esto indica que cuando se aumenta en un peso el precio de cada par de tenis, su demanda disminuye en 50 pares. Se te queda como ejercicio verificar que la derivada de la función de demanda que se dio anteriormente es correcta.


Observa que la derivada tiene interpretación que va de acuerdo al contexto del problema en el cual se le aplicó. La función que relaciona las variables del problema te ayudará a interpretarla correctamente.

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