La integral indefinida

En el curso de Cálculo Diferencial estudiamos el proceso de derivación, que consiste en calcular la derivada de una función. Ahora nos vamos a ocupar del proceso inverso.

Ejemplo

Pensé una función. Calculé su derivada y obtuve:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = e^x \end{equation*}$

¿Qué función pensé?

Aquí tenemos que encontrar la función que al derivar da como resultado $e^x$ . Pero la derivada de $e^x$ es ella misma. Entonces, debió pensar la función:

$\begin{equation*} y = e^x \end{equation*}$

Observa que conocemos $f'(x)$ y queremos encontrar o calcular $f(x)$ . Este proceso es exactamente el inverso de la derivación.

Antiderivada

Sea $y = F(x)$ una función derivable, y su derivada $y' = F'(x) = f(x)$ . Entonces, decimos que $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ . A la antiderivada también se le conoce como función primitiva.

En palabras, la antiderivada de una función $f(x)$ es otra función $F(x)$ , con la propiedad: $F'(x) = f(x)$ . Al procedimiento de calcular la antiderivada de una función se le llama integración indefinida.

Ejemplo

Calcula la antiderivada de $f(x) = 2\,x + 1$ .

La antiderivada de esta función es otra función tal que al derivarla, obtenemos: $2\,x + 1$ . Una función que cumple ese requisito es:

$\begin{equation*} F(x) = x^2 + x \end{equation*}$

Pero no es la única. La función: $y = x^2 + x + 1$ también es una antiderivada. Al igual que la función: $y = x^2 + x - 1$ . Y en general, la familia de funciones: $y = x^2 + x + k$ , siendo $k$ cualquier número real, es una antiderivada de la función: $f(x) = 2\,x + 1$ .