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La integral indefinida

Aprenderás la definición de antiderivada y el proceso de antideruvación como el opuesto a la derivación.

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En el curso de Cálculo Diferencial estudiamos el proceso de derivación, que consiste en calcular la derivada de una función. Ahora nos vamos a ocupar del proceso inverso.


Ejemplo

Pensé una función. Calculé su derivada y obtuve:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = e^x \end{equation*}

¿Qué función pensé?

Aquí tenemos que encontrar la función que al derivar da como resultado e^x. Pero la derivada de e^x es ella misma. Entonces, debió pensar la función:

    \begin{equation*}    y = e^x \end{equation*}


Observa que conocemos f'(x) y queremos encontrar o calcular f(x). Este proceso es exactamente el inverso de la derivación.


Antiderivada

Sea y = F(x) una función derivable, y su derivada y' = F'(x) = f(x). Entonces, decimos que F(x) es una antiderivada de f(x). A la antiderivada también se le conoce como función primitiva.

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En palabras, la antiderivada de una función f(x) es otra función F(x), con la propiedad: F'(x) = f(x). Al procedimiento de calcular la antiderivada de una función se le llama integración indefinida.


Ejemplo

Calcula la antiderivada de f(x) = 2\,x + 1.

La antiderivada de esta función es otra función tal que al derivarla, obtenemos: 2\,x + 1. Una función que cumple ese requisito es:

    \begin{equation*}    F(x) = x^2 + x \end{equation*}

Pero no es la única. La función: y = x^2 + x + 1 también es una antiderivada. Al igual que la función: y = x^2 + x - 1. Y en general, la familia de funciones: y = x^2 + x + k, siendo k cualquier número real, es una antiderivada de la función: f(x) = 2\,x + 1.


Observa que la antiderivada de una función no es solamente una función, sino una familia de funciones.

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