Integral definida

La integral definida está definida como un límite. Este límite puede calcularse con las fórmulas de integración inmediata. Para calcular el valor de la integral definida evaluamos primero el límite superior y después el límite inferior. La diferencia entre estos valores es el valor de la integral definida.

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Ejemplo

Calcula la integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx \end{equation*}$

y representa geométricamente el resultado.

Calculamos la integral:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \left.\frac{x^4}{4}\right\vert_{1}^{2} \end{equation*}$

Ahora evaluamos:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{15}{4} \end{equation*}$

Este resultado representa el área bajo la curva $y = x^3$ , desde $x = 1$ hasta $x=2$ y sobre el eje $x$ . El cálculo de esta integral definida también se puede realizar utilizando la definición:

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,\cdot dx = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\left(\frac{b-a}{n}\right)}} \end{equation*}$

Ejemplo

Calcula la siguiente integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{2}^{5}\!e^{-x}\,\cdot dx \end{equation*}$

La integral da:

$\begin{equation*} \int\limits_{2}^{5}\!e^{-x}\,\cdot dx = \left.-e^{-x}\right\vert_{2}^{5} = -e^{-5} + e^{-2} \approx 0.128597 \end{equation*}$

Interpreta geométricamente este resultado.

Ejemplo

Calcula la siguiente integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!\frac{dx}{x} \end{equation*}$

La integral queda:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!\frac{dx}{x} = \left.\ln(x)\right\vert_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \end{equation*}$

Interpreta geométricamente este resultado.

Ejemplo

Calcula la integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{\pi}\!\sin(x)\,\cdot dx \end{equation*}$

La integral es:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{\pi}\!\sin(x)\,\cdot dx = \left.-\cos(x)\right\vert_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2 \end{equation*}$

Interpreta geométricamente este resultado.

Hasta aquí hemos considerado solamente integrandos que están definidos positivos para el intervalo de integración. Es decir, hemos considerado integrales de la forma:

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,\cdot dx = \left.\textcolor{white}{\frac{1}{1}}\!\!\! F(x)\right\vert_{a}^{b} \end{equation*}$

donde la función $f(x)$ es positiva para toda $x$ que cumple $a \leq x \leq b$ . Cuando esta condición no se cumple, tenemos el problema de que la altura de algunos rectángulos que dibujamos para medir el área es negativa. Y como es de esperarse, cuando se sumen estas áreas (negativas) con el área de los rectángulos que tienen altura positiva (cuando $f(x_i) > 0$ ), algunos valores se van a cancelar.

Cuando deseas calcular el área entre la curva $y = f(x)$ , el eje $x$ desde $x = a$ hasta $x = b$ , tienes que considerar los casos en los que $f(x)$ sea cero o negativa para todo $a \leq x \leq b$ . De esta manera, no vamos a restar una parte del área que queda por encima del eje $x$ con otra que quede por debajo.

Ejemplo

Calcula el valor de la integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!\sin(x)\,\cdot dx \end{equation*}$

y da una interpretación del resultado.

Calculamos primero la integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!\sin(x)\,\cdot dx = \left.-\cos(x)\right\vert_{-\pi}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(-\pi) = 1 - 1 = 0 \end{equation*}$

En este caso, el valor de la integral definida no puede ser igual al área que se encierra entre la gráfica de la función, el eje $x$ y las rectas $x = -\pi$ y $x = \pi$ .Geométricamente tenemos la siguiente situación:

El área de la región que está a la derecha del eje $y$ es:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{\pi}\!\sin(x)\,\cdot dx = \left.-\cos(x)\right\vert_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2 \end{equation*}$

Observa que la gráfica de la función está por encima del eje $x$ . Por eso el área es positiva, pues $\sin(x_i) > 0$ para toda $x_i$ tal que $0 < x_i < \pi$ . Pero el área de la región que está a la derecha del eje $y$ es:

$\begin{equation*} \int\limits_{-\pi}^{0}\!\sin(x)\,\cdot dx = \left.-\cos(x)\right\vert_{-\pi}^{0} = -\cos(0) + \cos(-\pi) = -1 - 1 = -2 \end{equation*}$

Esto se debe a que $\sin(x_i)< 0$ para toda $x_i$ que cumple $-\pi < x_i < 0$ . Como las alturas de los rectángulos son negativas, el área de cada uno de los rectángulos es negativa, dado que las bases de esos rectángulos son todas positivas. Cuando sumamos todos estos valores cuando $n$ tiende a infinito, obtenemos un área negativa. Debido a la imetría de la función seno respecto al origen, las áreas de las dos regiones son iguales, pero con signo contrario. Por eso, cuando las sumamos, obtenemos cero.

Entonces, cuando obtengamos por resultado de una integral definida un número negativo, al menos una parte de la gráfica de la función está por debajo del eje $x$ en el intervalo de integración $(a, b)$ . Es decir, si

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,\cdot dx < 0 \end{equation*}$

existe al menos un subintervalo $(\alpha,\beta) \in [a,b]$ tal que $f(x) < 0$ en ese subintervalo.

Para calcular el área entre la gráfica de una función, el eje $x$ y las rectas $x=a$ y $x=b$ , tenemos que tomar en cuenta cuándo la gráfica de la función queda por debajo del eje $x$ , pues en esos casos la integral en esos intervalos será negativa, cancelándose con parte de los intervalos donde la gráfica de la función quede por arriba del eje $x$ .

Ejemplo

Calcula el área encerrada por la función $y = (x-1)(x+1)(x+2)(x-2)$ , el eje $x$ y las rectas $x = -2$ y $x = 2$ .

Recuerda que debemos tener cuidado con los intervalos donde la función toma valores negativos. Para calcular el área, vamos a considerar los distintos intervalos. Observa que la función es polinomial, de grado par y que su coeficiente principal es positivo.

$\begin{equation*} y = (x-1)(x+1)(x+2)(x-2) = (x^2-1)(x^2-4) = x^4 - 5\,x^2 + 4 \end{equation*}$

Esto nos indica que las ramas de la función tienden a $\infty$ conforme $x$ se aleje del origen. La función se hace cero para $x = -2$ , $x= -1$ , $x = 1$ y $x = 2$ . Así que calcularemos las integrales:

$\begin{eqnarray*} A_1 = \int\limits_{-2}^{-1}\,(x^4 - 5\,x^2 + 4)\,\cdot dx &=& \left.\left(\frac{x^5}{5} - \frac{5\,x^3}{3} + 4\,x\right)\right\vert_{-2}^{-1} = -\frac{22}{15}\\ A_2 = \int\limits_{-1}^{1}\,(x^4 - 5\,x^2 + 4)\,\cdot dx &=& \left.\left(\frac{x^5}{5} - \frac{5\,x^3}{3} + 4\,x\right)\right\vert_{-1}^{1} = \frac{76}{15}\\ A_3 = \int\limits_{1}^{2}\,(x^4 - 5\,x^2 + 4)\,\cdot dx &=& \left.\left(\frac{x^5}{5} - \frac{5\,x^3}{3} + 4\,x\right)\right\vert_{1}^{2} = -\frac{22}{15} \end{eqnarray*}$

Al considerar todas las áreas positivas, la suma da:

$\begin{equation*} A_1 + A_2 + A_3 = \frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15} = \frac{120}{15} = 8 \end{equation*}$

Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

Ejemplo

Calcula la siguiente integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\frac{x\,\cdot dx}{1 + 2\,x} \end{equation*}$

En primer lugar tenemos que asegurarnos que la función siempre sea positiva en el intervalo de integración. Cuando $x = 0$ , el integrando es cero, porque el numerador es cero. El denominador es positivo para todo $x > 0$ . Entonces, el integrando es siempre positivo para $x > 0$ .

No hay alguna regla de integración inmediata que nos permita calcular la integral. Así que tendremos que transformarla algebraicamente. Empezamos sumando $x - x$ y $1 - 1$ en el numerador:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\frac{x\,\cdot dx}{1 + 2\,x} = \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\left(\frac{x + x - x + 1 - 1}{1 + 2\,x}\right)\,\cdot dx = \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\left(\frac{(1 + 2\,x) - (x + 1)}{1 + 2\,x}\right)\,\cdot dx \end{equation*}$

Ahora podemos separar la integral en dos partes:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\frac{x\,\cdot dx}{1 + 2\,x} &=& \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\left(\frac{1 + 2\,x}{1 + 2\,x}\right)\,\cdot dx - \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\left(\frac{x + 1}{1 + 2\,x}\right)\,\cdot dx\\ &=& \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\cdot dx - \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\left(\frac{x\,\cdot dx}{1 + 2\,x}\right) - \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\left(\frac{dx}{1 + 2\,x}\right) \end{eqnarray*}$

Ya podemos calcular la primera y la tercera integrales. La segunda integral es la que nos pidieron integrar, así que podemos pasarla del otro lado y obtenemos:

$\begin{equation*} 2\,\int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\frac{x\,\cdot dx}{1 + 2\,x} = \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\cdot dx - \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\left(\frac{dx}{1 + 2\,x}\right) = \left.x\right\vert_{0}^{(e-1)/2} - \left.\frac{1}{2}\ln(1 + 2\,x)\right\vert_{0}^{(e-1)/2}\\ \end{equation*}$

Pero este valor es el doble de la integral que buscamos, entonces,

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{(e-1)/2}\!\frac{x\,\cdot dx}{1 + 2\,x} = \left.\frac{1}{2}\,x\right\vert_{0}^{(e-1)/2} - \left.\frac{1}{4}\ln(1 + 2\,x)\right\vert_{0}^{(e-1)/2} = \frac{e - 1}{4} - \frac{1}{4}\ln(e) = \frac{e - 2}{4} \end{eqnarray*}$

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