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Integración por sustitución trigonométrica

Aprenderás a calcular antiderivadas de cierto tipo de funciones aplicando la técnica de sustitución trigonométrica.

Prestamos fáciles y rápidos

En esta sección vamos a estudiar el primer método para integrar funciones que no son inmediatamente integrables a partir de la tabla de integrales que tenemos. Las siguientes sustituciones sirven para simplificar el integrando a una forma inmediatamente integrable:

    \[\begin{array}{ccc} \hline \text{\textbf{Para:}} 	& \text{\textbf{Sustituir:}} 	& \text{\textbf{para obtener:}}\\ \hline \sqrt{a^2 - b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\sin z		& a\,\sqrt{1 - \sin^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\cos z}\\~\\ \sqrt{a^2 + b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\tan z		& a\,\sqrt{1 + \tan^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\mathrm{sec}\;z}\\~\\ \sqrt{b^2u^2 - a^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\mathrm{sec}\;z		& a\,\sqrt{\sec^2 z - 1}\quad =\quad \textcolor{red}{a\tan z}\\ \hline \end{array}\]

Debes recordar siempre sustituir dx a partir del cálculo correspondiente para que la diferencial quede en términos de dz.


Ejemplo

Calcula la siguiente integral:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx \end{equation*}

Empezamos observando que a^2 = 9, lo cual implica que a = 3, y b^2 = 4, es decir, b = 2. Entonces hacemos: x = (a/b)\,\sin z:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz} \end{equation*}

Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,\textcolor{red}{x}^2}}{\textcolor{red}{x}}\,\textcolor{blue}{dx} = \int\!{\frac{\sqrt{9 - 4\,\left(\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\right)^2}}{\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}}\,\left(\textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz}\right)} \end{equation*}

Ahora podemos simplificar dentro del signo de raíz:

    \begin{eqnarray*}  \int\!{\frac{\sqrt{9 - 4\,\left(\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\right)^2}}{\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}}\,\left(\textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz}\right)}  &=& \int\!\frac{\sqrt{9 - 9\sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz\\  &=& \int\!\frac{3\sqrt{1 - \sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz \end{eqnarray*}

Pero 1 - \sin^2 z = \cos^2 z,luego,

    \begin{eqnarray*}    3\int\!\frac{\sqrt{1 - \sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz &=& 3\int\!\frac{\cos z}{\sin z}\,\cos z\,dz\\ 	&=& 3\int\!\frac{\cos^2 z}{\sin z}\,dz\\ 	&=& 3\int\!\frac{1 - \sin^2 z}{\sin z}\,dz\\ 	&=& 3\int\!\left(\frac{1}{\sin z} - \sin z\right)\,dz \end{eqnarray*}

Ahora podemos integrar:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx &=& 3\int\!\frac{1}{\sin z}\,dz - 3\int\!\sin z\,dz\\ 	&=& 3\int\!\mathrm{csc}\; z\,dz + 3\,\cos z\\ 	&=& 3\,\ln |\mathrm{csc}\; z - \cot z| + 3\,\cos z + C \end{eqnarray*}

Hasta aquí hemos obtenido un resultado parcial. Recuerda que inicialmente la integral estaba dada en términos de x, no de z. Por lo que nosotros debemos dar el resultado en términos de x. Para lograr eso, vamos a representar geométricamente la sustitución inicial:

    \begin{equation*}    x = \frac{3}{2}\,\sin z\qquad\Rightarrow\qquad \sin z = \frac{2\,x}{3} \textcolor{blue}{= \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}} \end{equation*}

En el triángulo rectángulo tenemos (para calcular el cateto adyancente al ángulo z hemos utilizado el teorema de Pitágoras):

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Por la forma como se definen las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo tenemos:

    \begin{equation*} \mathrm{csc}\; z = \frac{3}{2\,x},\qquad\cos z = \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{3}\qquad\text{ y }\qquad \cot z = \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x} \end{equation*}

Entonces, podemos reescribir la solución como:

    \begin{eqnarray*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx &=& 3\,\ln |\mathrm{csc}\; z - \cot z| + 3\,\cos z + C\\ 	&=& 3\,\ln\left\vert\frac{3}{2\,x} - \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x}\right\vert + 3\,\left(\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{3}\right) + C\\ 	&=&3\,\ln \left\vert\frac{3 - \sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x}\right\vert + \sqrt{9 - 4\,x^2} + C \end{eqnarray*}


Observa que hemos utilizado un artificio: como la integral no se puede integrar de manera inmediata debido a la forma que tiene, sabiendo que puede transformarse a una forma inmediatamente integrable usando una sustitución trigonométrica, vamos a utilizar la transformación sugerida en la tabla dada al principio de esta lección. Después de hacer la sustitución obtenemos una integral en términos de funciones trigonométricas que se puede integrar usando la variable z.

Para regresar este resultado a términos de x, utilizamos la sustitución que tomamos de la tabla para representarla geométricamente usando un triángulo rectángulo y las definiciones de las funciones trigonométricas en él.


Ejemplo

La antiderivada

    \begin{equation*}    \int\!\frac{x\,dx}{\sqrt{9\,x^2 - 4}} \end{equation*}

se puede resolver a través de la regla de integración (iv). Utiliza sustitución trigonométrica para calcularla y después la regla (iv) para verificar el resultado.

De acuerdo a la tabla de sustituciones para este tipo de integrales, haremos:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{\frac{2}{3}\,\mathrm{sec}\;z}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{\frac{2}{3}\,\mathrm{sec}\;z\tan z\,dz} \end{equation*}

Ahora sustituimos estos valores en la integral para transformarla:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{\textcolor{red}{x}\,\textcolor{blue}{dx}}{\sqrt{9\,\textcolor{red}{x}^2 - 4}}  	&=& \int\!\frac{\textcolor{red}{\frac{2}{3}\,\mathrm{sec}\;z}\,\left(\textcolor{blue}{\frac{2}{3}\,\mathrm{sec}\;z\tan z\,dz}\right)}{\sqrt{9\,\left(\textcolor{red}{\frac{2}{3}\,\mathrm{sec}\;z}\right)^2 - 4}}\\ 	&=& \frac{4}{9}\int\!\frac{\sec^2 z\tan z\,dz}{\sqrt{4\,\sec^2 z - 4}}\\ 	&=& \frac{4}{9}\int\!\frac{\sec^2 z\tan z\,dz}{2\,\sqrt{\sec^2 z - 1}} \end{eqnarray*}

Pero, \sqrt{\sec^2 z - 1} = \sqrt{\tan^2 z} = \tan z, luego

    \begin{equation*}%na \int\!\frac{\textcolor{red}{x}\,\textcolor{blue}{dx}}{\sqrt{9\,\textcolor{red}{x}^2 - 4}}%\\ 	 	= \frac{2}{9}\int\!\frac{\sec^2 z\tan z\,dz}{\tan z}%\\ 	= \frac{2}{9}\int\!\sec^2 z\,dz = \frac{2}{9}\,\tan z + C \end{equation*}

%na

Ahora vamos a reescribir el resultado en términos de x. El triángulo rectángulo que representa la sustitución que hicimos al principio del problema es el siguiente:

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Entonces, de acuerdo a este triángulo, tenemos:

    \begin{equation*}    \tan z = \frac{\sqrt{9\,x^2 - 4}}{2} \end{equation*}

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Y al sustituir este valor en el resultado de la integral obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{x\,dx}{\sqrt{9\,x^2 - 4}} = \frac{2}{9}\,\frac{\sqrt{9\,x^2 - 4}}{2} + C = \frac{\sqrt{9\,x^2 - 4}}{9} + C \end{equation*}

Ahora vamos a verificar el resultado usando la regla (iv). Para este fin, definimos: v = 9\,x^2 - 4. Entonces, dv = 18\,x\,dx. Luego x\,dx = \frac{dv}{18}.

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{x\,dx}{\sqrt{9\,x^2 - 4}} &=& \int\!\frac{dv}{18\,\sqrt{v}} = \frac{1}{18}\int\!v^{-1/2}\,dv  	= \frac{1}{18}\cdot\frac{v^{1/2}}{1/2} + C\\ 	&=& \frac{1}{18}\cdot \frac{2}{1}	\,\left(9\,x^2 - 4\right)^{1/2}+ C\\ 	&=& \frac{\sqrt{9\,x^2 - 4}}{9} + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.



Ejemplo

Calcula la integral:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{\sqrt{16\,x^2 + 25}} \end{equation*}

Usaremos la sustitución:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{\frac{5}{4}\,\tan z}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{\frac{5}{4}\,\sec^2 z\,dz} \end{equation*}

Esto transforma la integral a:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{\textcolor{blue}{dx}}{\sqrt{16\,\textcolor{red}{x}^2 + 25}}  	&=& \int\!\frac{\textcolor{blue}{\frac{5}{4}\,\sec^2 z\,dz}}{\sqrt{16\,\left(\textcolor{red}{\frac{5}{4}\,\tan z}\right)^2 + 25}}\\ 	&=& \frac{5}{4}\,\int\!\frac{\sec^2 z\,dz}{\sqrt{25\,\tan z^2 + 25}}\\ 	&=& \frac{5}{4}\,\int\!\frac{\sec^2 z\,dz}{5\,\sqrt{\tan z^2 + 1}}\\ 	&=& \frac{1}{4}\,\int\!\frac{\sec^2 z\,dz}{\sqrt{\tan z^2 + 1}}\\ \end{eqnarray*}

Pero \sqrt{\tan z^2 + 1} = \sqrt{\sec^2 z} = \mathrm{sec}\;z, luego,

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\textcolor{blue}{dx}}{\sqrt{16\,\textcolor{red}{x}^2 + 25}} = \frac{1}{4}\,\int\!\frac{\sec^2 z\,dz}{\mathrm{sec}\;z}%\\ 	= \frac{1}{4}\,\int\!\mathrm{sec}\;z%\\ 	= \frac{1}{4}\,\ln\left\vert\mathrm{sec}\;z + \tan z\right\vert + C \end{equation*}

Para hacer el cambio a la variable x usamos el siguiente triángulo rectángulo:

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Entonces, haciendo las sustituciones de acuerdo a la definición de las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\textcolor{blue}{dx}}{\sqrt{16\,\textcolor{red}{x}^2 + 25}} = \frac{1}{4}\,\ln\left\vert\frac{\sqrt{16\,x^2 + 25}}{5} + \frac{4\,x}{5}\right\vert + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la siguiente integral:

    \begin{equation*}    \int\frac{\sqrt{1-25\,x^2}}{x^2}\,dx \end{equation*}

Usaremos la sustitución:

    \begin{equation*}    x = \frac{1}{5}\,\sin z\qquad\Rightarrow\qquad dx = \frac{1}{5}\,\cos z\,dz \end{equation*}

Al sustituir estos valores en la integral obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{\sqrt{1-25\,x^2}}{x^2}\,dx  	&=& \int\!\frac{\sqrt{1-25\,\left(\frac{1}{5}\,\sin z\right)^2}}{\left(\frac{1}{5}\,\sin z\right)^2}\,\left(\frac{1}{5}\,\cos z\,dz\right)\\ 	&=& \int\!\frac{5\,\sqrt{1-\sin^2 z}}{\sin^2 z}\,\left(\cos z\,dz\right)\\ 	&=& 5\,\int\!\frac{\cos z}{\sin^2 z}\,\cos z\,dz\\ 	&=& 5\,\int\!\frac{\cos^2 z}{\sin^2 z}\,dz\\ 	&=& 5\,\int\!\cot^2 z\,dz \end{eqnarray*}

Ahora utilizaremos la identidad: \cot^2 z = \mathrm{csc}\;^2 z - 1:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{\sqrt{1-25\,x^2}}{x^2}\,dx  	&=& 5\,\int\!\cot^2 z\,dz\\ 	&=& 5\,\int\!\left(\mathrm{csc}\;^2 z - 1\right)\,dz\\ 	&=& 5\,\int\!\mathrm{csc}\;^2 z - 5\,\int\!dz\\ 	&=& -5\,\cot z - 5\,z + C \end{eqnarray*}

Ahora calculamos los valores de z y \cot z en términos de x a partir del triángulo rectángulo correspondiente:

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    \begin{eqnarray*}    \sin z = \frac{5\,x}{1} = 5\,x\qquad&\Rightarrow&\qquad z = \arcsin (5\,x)\\    & & \cot z = \frac{\sqrt{1 - 25\,x^2}}{5\,x} \end{eqnarray*}

Ahora sustitumos estos valores en el valor de la integral:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{\sqrt{1-25\,x^2}}{x^2}\,dx &=& -5\,\cot z - 5\,z + C \\ 	&=& -5\left(\frac{\sqrt{1 - 25\,x^2}}{5\,x}\right) - 5\,\arcsin(5\,x) + C \\ 	&=& - \frac{\sqrt{1 - 25\,x^2}}{x} - 5\,\arcsin(5\,x) + C \end{eqnarray*}

Es importante recordate que la integral inicial estaba dada en términos de la variable x. Si entregas un resultado en términos de z, en realidad tu resultado no es incorrecto, pero tampoco es correcto. Simplemente está incompleto. Debes expresar el resultado en términos de la variable que aparezca la integral inicial. Por eso se requiere hacer el cambio de variable dos veces: la primera para poder hacer la integral, la segunda para entender el resultado.


Ejemplo

Calcula la siguiente integral:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{x^2\,\sqrt{x^2 - 4}}\,dx \end{equation*}

Hacemos:

    \begin{equation*}    x = 2\,\mathrm{sec}\;z\qquad\Rightarrow\qquad dx = 2\,\mathrm{sec}\;z\,\tan z\,dz \end{equation*}

Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{dx}{x^2\,\sqrt{x^2 - 4}}\,dx  	&=& \int\!\frac{2\,\mathrm{sec}\;z\,\tan z\,dz}{4\,\sec^2 z\,\sqrt{4\,\sec^2 z - 4}}\\ 	&=& \frac{1}{2}\,\int\!\frac{\mathrm{sec}\;z\,\tan z\,dz}{2\,\sec^2 z\,\sqrt{\sec^2 z - 1}}\\ 	&=& \frac{1}{4}\,\int\!\frac{\tan z\,dz}{\mathrm{sec}\;z\,\tan z}\\ 	&=& \frac{1}{4}\,\int\!\frac{dz}{\mathrm{sec}\;z}\\ 	&=& \frac{1}{4}\,\int\!\cos z\\ 	&=& \frac{1}{4}\,\sin z + C \end{eqnarray*}

Dado que x = 2\,\mathrm{sec}\;z, se sigue: \mathrm{sec}\;z = \frac{x}{2}. El triángulo que corresponde para hacer el cambio de variable de z a x es:

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Entonces, \sin z = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x}, y la integral queda:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{x^2\,\sqrt{x^2 - 4}}\,dx = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{4\,x} + C \end{equation*}


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