Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

Integración por partes

Aprenderás a calcular integrales por el método de Integración por partes.

Prestamos fáciles y rápidos

Si consideramos la regla para derivar el producto de dos funciones:

    \begin{equation*}    \frac{d(u\cdot v)}{dx} = u\cdot\frac{dv}{dx} + v\cdot \frac{du}{dx} \end{equation*}

podemos despejar el primer término de la derecha de la igualdad y escribir:

    \begin{equation*}    u\cdot\frac{dv}{dx} = \frac{d(u\cdot v)}{dx} - v\cdot \frac{du}{dx} \end{equation*}

Usando el hecho de que la integración es el proceso inverso de la derivación, al integrar ambos lados de la igualdad obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!u\cdot dv = u\cdot v - \int\!v\cdot du \end{equation*}

Esta es la regla de integración por partes. La recomendación para no confundirte con las definiciones que hagas para el cálculo de la integral por partes es que elabores una tabla con los valores de u, du, dv y v. uando tengas la tabla completa, sigue sustituir estos valores en la regla de integración por partes, y después de calcular la integral, simplificar el resultado hasta donde sea posible.


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!x\cdot\sin x\, dx \end{equation*}

Dado que no tenemos una regla de integración inmediata para esta función, vamos a utilizar la regla de integración por partes. Empezamos definiendo:

    \begin{eqnarray*}    u = x	        \qquad & \Rightarrow & \qquad du =  dx\\    dv = \sin x\, dx	\qquad & \Rightarrow & \qquad v = -\cos x \end{eqnarray*}

Ahora podemos sustituir en la regla de integración por partes:

    \begin{eqnarray*}    \int\!x\cdot\sin x\, dx &=& -x\cdot\cos x + \int\!\cos x\, dx\\ 	&=& -x\cdot\cos x + \sin x + C \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!x\cdot e^x dx \end{equation*}

De nuevo, definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = x					\qquad & \Rightarrow & \qquad du =  dx\\    dv = e^x\, dx	\qquad & \Rightarrow & \qquad v = e^x \end{eqnarray*}

Al sustituir en la regla de integración por partes, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!x\cdot e^x dx &=& x\cdot e^x - \int\!e^x\, dx\\ 	&=& x\cdot e^x - e^x + C\\ 	&=& e^x\cdot(x - 1) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!x^2\cdot e^x\, dx \end{equation*}

Ahora definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = x^2	       \qquad & \Rightarrow & \qquad du = 2\,x\, dx\\    dv = e^x\, dx	\qquad & \Rightarrow & \qquad v = e^x \end{eqnarray*}

Al sustituir obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!x^2\cdot e^x\, dx &=& x^2\cdot e^x - \int\!2\,x\cdot e^x\, dx\\ 	&=& x^2\cdot e^x - 2\,\int\!x\cdot e^x\, dx\\ \end{eqnarray*}

Pero en el ejemplo anterior encontramos que:

    \begin{equation*}    \int\!x\cdot e^x dx = e^x\cdot(x - 1) + C \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \int\!x^2\cdot e^x\, dx = x^2\cdot e^x - 2\,e^x\cdot(x - 1) + C \end{equation*}


Observa que en este ejemplo aplicamos dos veces la integración por partes. La primera vez que la aplicamos nos generó otra integral por partes que ya habíamos resuelto antes. Esto fue así porque teníamos x^2. Si hubieramos tenido x^3 la integral por partes se habría aplicado 3 veces.


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\ln(x)\, dx \end{equation*}

aplicando la regla de integración por partes.

Definimos:

Aprende Producción de Audio

    \begin{eqnarray*}    u = \ln(x) 	\qquad & \Rightarrow & \qquad du = \frac{dx}{x}\\    dv =  dx	\qquad & \Rightarrow & \qquad v = x \end{eqnarray*}

Entonces, al sustituir, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\ln(x)\, dx &=& x\,\ln(x) - \int\!\frac{x\, dx}{x}\\ 	&=& x\,\ln(x) - x + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\sin^2 x\, dx \end{equation*}

aplicando la regla de integración por partes.

Definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = \sin x		\qquad & \Rightarrow & \qquad du = \cos x \, dx\\    dv = \sin x\, dx	\qquad & \Rightarrow & \qquad v = -\cos x \end{eqnarray*}

Sustituyendo en la regla de integración por partes obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!\sin^2 x\, dx = - \sin x\cos x + \int\!\cos^2 x\, dx \end{equation*}

Pero, aplicando la identidad pitagórica: \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, podemos reescribir la integral como:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\sin^2 x\, dx &=& - \sin x\cos x + \int\!\left(1 - \sin^2 x\right)\, dx\\ 	&=& - \sin x\cos x + \int\! dx - \int\!\sin^2 x\, dx\\ 	&=& - \sin x\cos x + x - \int\!\sin^2 x\, dx \end{eqnarray*}

Y la única integral que queda a la derecha es precisamente la que deseamos calcular. Entonces, podemos pasarla a la izquierda de la igualdad para obtener:

    \begin{eqnarray*}    2\,\int\!\sin^2 x\, dx &=& - \sin x\cos x + x + C\\    \int\!\sin^2 x\, dx &=& - \frac{1}{2}\sin x\cos x + \frac{x}{2} + C \end{eqnarray*}

Todavía podemos simplificar más el resultado si consideramos que:

    \begin{equation*}    \sin(2\alpha) = 2\,\sin\alpha\cos\alpha \end{equation*}

Al sustituir esta equivalencia en el primer término del resultado de la integral obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!\sin^2 x\, dx = - \frac{1}{4}\sin (2x) + \frac{x}{2} + C \end{equation*}

Y terminamos.



Ejemplo

Calcula la integral:

    \begin{equation*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\, dx \end{equation*}

aplicando la regla de integración por partes.

Empezamos definiendo:

    \begin{eqnarray*}    u = \mathrm{sec}\, x			\qquad & \Rightarrow & \qquad du = \mathrm{sec}\, x\tan x\, dx\\    dv = \mathrm{sec}^2 x\, dx	\qquad & \Rightarrow & \qquad v = -\tan x \end{eqnarray*}

Ahora podemos sustituir estos valores en la regla de integración por partes:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\, dx &=& -\mathrm{sec}\, x\tan x - \int\!\mathrm{sec}\, x\tan^2x\, dx\\ 	&=& -\mathrm{sec}\, x\tan x - \int\!\mathrm{sec}\, x\left(\mathrm{sec}^2x - 1\right)\, dx\\ 	&=& -\mathrm{sec}\, x\tan x - \int\!\mathrm{sec}^3 x\, dx + \int\!\mathrm{sec}\, x\, dx \end{eqnarray*}

Pasando la integral buscada a la derecha, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    2\,\int\!\mathrm{sec}^3x\, dx &=& -\mathrm{sec}\, x\tan x + \int\!\mathrm{sec}\, x\, dx\qquad\Rightarrow\\    \int\!\mathrm{sec}^3x\, dx &=& -\frac{1}{2}\mathrm{sec}\, x\tan x + \frac{1}{2}\int\!\mathrm{sec}\, x\, dx\\ 	&=& -\frac{1}{2}\mathrm{sec}\, x\tan x + \frac{1}{2}\,\ln\left(\mathrm{sec}\, x + \tan x\right) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.


Cuando sospeches que una integral se puede resolver por el método de integración por partes, intenta definiendo u y dv, después aplica la regla de integración. Si no funciona, cambia las definiciones y vuelve a intentar volviendo a integrar con las nuevas sustituciones. Si de nuevo no obtienes una integral inmediata, entonces debes intentar otro método.

SEE ALL Add a note
YOU
Add your Comment
X