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Integración de funciones trigonométricas

Aprenderás a calcular integrales de funciones trigonométricas.

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Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas.


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\cos^2 x\,dx \end{equation*}

Utilizamos la siguiente identidad:

    \begin{equation*}    \cos x = \sqrt{\frac{1 + \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!\left(1 + \cos(2\,x)\right)\,dx\\ 	&=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,dx \end{eqnarray*}

Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,\left(\frac{2}{2}\right)dx\\ 	&=& \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\,\sin(2\,x) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.


En la sección anterior calculamos la integral \int\!\sin^2x\,dx utilizando integración por partes.

Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica:

    \begin{equation*}    \cos x = \sqrt{\frac{1 - \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}

La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno.


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\cos^3x\,dx \end{equation*}

Utilizando la identidad:

    \begin{equation*}    \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}

podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx \\ 	&=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}

La primera integral es inmediata. Para la segunda, vamos a definir: u(x) = \sin x, luego, u'(x) = \cos x. Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx\\ 	&=& \sin x - \int\![u(x)]^2\,u'(x)\,dx\\ 	&=& \sin x - \frac{[u(x)]^3}{3} + C\\ 	&=& \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C \end{eqnarray*}


El artificio de sustituir \cos^2x = 1 - \sin^2x nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando consista de la función \cos x elevada a una potencial impar. Por ejemplo, para integrar \cos^5x reescribimos este integrando de la siguiente manera:

    \begin{eqnarray*}    \cos^5x &=& \cos^4x\cdot\cos x = \left(1 - \sin^2x\right)^2\cos x \\ 	&=& \left(1 - 2\,\sin^2x + \sin^4x\right)\,\cos x \end{eqnarray*}

Después podemos definir u = \sin x y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver. En algunos productos de potencias de las funciones \sin x y \cos x también podemos aplicar el mismo artificio matemático. Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa.


Ejemplo

Calcula la integral:

    \begin{equation*}    \int\!\sin^3 x\,\cos^3 x\,dx \end{equation*}

Podemos reescribir la integral de la siguiente manera:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\sin^3 x\,\cos^3 x\,dx &=& \int\!\sin^3 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx\\ 	&=& \int\!\sin^3 x\,\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx\\ 	&=& \int\!\left(\sin^3x - \sin^5x\right)\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}

Ahora definimos: u(x) = \sin x, y haciendo el cambio de variable, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\sin^3 x\,\cos^3 x\,dx &=& \int\!\left(\sin^3x - \sin^5x\right)\,\cos x\,dx\\ 	&=& \int\!\sin^3x\,\cos x\,dx - \int\!\sin^5x\,\cos x\,dx\\ 	&=& \int\![u(x)]^3u'(x)\,dx - \int\![u(x)]^5u'(x)\,dx\\ 	&=& \frac{[u(x)]^4}{4} - \frac{[u(x)]^6}{6} + C\\ 	&=& \frac{\sin^4x}{4} - \frac{\sin^6x}{6} + C \end{eqnarray*}


Observa que decidimos sustituir: \cos^2x = 1 - \sin^2x, pero también pudimos sustiuir: \sin^2x = 1 - \cos^2 x y poder calcular la integral. Se te queda como ejercicio calcular la misma integral haciendo esta sustitución. Para integrar potencias de la función tangente o secante usaremos la identidad:

    \begin{equation*}    \sec^2x = 1 + \tan^2x \end{equation*}


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^2x\,dx \end{equation*}

Usando la identidad mencionada, la integral puede reescribirse como:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^2x\,dx = \int\!(1 - \sec^2x)\,dx = \int\!dx - \int\!\sec^2x\,dx \end{equation*}

Ambas integrales son inmediatas:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^2x\,dx = x - \tan x + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^3x\,dx \end{equation*}

El integrando puede reescribirse como:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^3x\,dx = \int\!(\sec^2x - 1)\,\tan x\,dx 	= \int\!\sec^2x\tan x\,dx  - \int\!\tan x\,dx \end{equation*}

Ahora observa que si definimos: u(x) = \tan x, entonces, u'(x) = \sec^2x. Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\tan^3x\,dx &=& \int\!u(x)\,u'(x)\,dx - \int\!\tan x\,dx\\ 	&=& \frac{[u(x)]^2}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\\ 	&=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx \end{eqnarray*}

Para calcular la integral faltante, vamos a definir: v = \cos x. Entonces, \dv = -\sin x\,dx. Así, podemos aplicar la regla (v) de integración:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\tan^3x\,dx &=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\\ 	&=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{-\dv}{v}\\ 	&=&\frac{\tan^2x}{2} + \ln{v} + C\\ 	&=&\frac{\tan^2x}{2} + \ln|\cos x| + C \end{eqnarray*}


En algunos casos vamos a tener que aplicar otros métodos de integración para poder calcular una integral de potencias trigonométricas.


Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx \end{equation*}

Podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

    \begin{equation*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \int\!\mathrm{sec}^2x\,\mathrm{sec}\, x\,dx  	= \int\!(1 + \tan^2x)\,\mathrm{sec}\, x\,dx \end{equation*}

Al separar en dos integrales obtenemos:

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    \begin{equation*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \int\!\mathrm{sec}\, x\,dx + \int\!\tan^2x\,\mathrm{sec}\, x\,dx \end{equation*}

La primera integral es inmediata:

    \begin{equation*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \int\!\tan^2x\,\mathrm{sec}\, x\,dx \end{equation*}

Para la integral que falta usaremos la regla de integral por partes. Así que definimos:

    \begin{eqnarray*}    u = \tan x\qquad\qquad&\Rightarrow&\qquad\qquad du = \mathrm{sec}^2x\,dx\\    dv = \mathrm{sec}\, x\tan x\,dx\qquad\qquad&\Rightarrow&\qquad\qquad v = \mathrm{sec}\, x \end{eqnarray*}

Sustituyendo estos valores en la integral faltante nos da:

    \begin{equation*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \mathrm{sec}\, x\tan x - \int\!\mathrm{sec}^3 x\,dx \end{equation*}

Ahora obtuvimos la integral que queremos calcular. Como es negativa, podemos pasarla del otro lado:

    \begin{equation*}    2\,\int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \mathrm{sec}\, x\tan x + C_1 \end{equation*}

Y el resultado es:

    \begin{equation*}    \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \frac{1}{2}\,\ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \frac{1}{2}\,\mathrm{sec}\, x\tan x + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la integral:

    \begin{equation*}     \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx \end{equation*}

Ahora utilizaremos la identidad:

    \begin{equation*}    \mathrm{csc}^2x = 1 + \mathrm{cot}^2x \end{equation*}

para transformar el integrando las veces que sea necesaria. Empezamos haciendo la primera transformación:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx &=& \int\!\mathrm{cot}^4 x\,\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)\,dx\\ 	&=& \int\!\mathrm{cot}^4 x\,\mathrm{csc}^2x\,dx - \int\!\mathrm{cot}^4 x\,dx \end{eqnarray*}

Ahora definimos: u(x) = \mathrm{cot}\, x, con lo que u'(x) = \mathrm{csc}^2x. Entonces,

    \begin{eqnarray*}    \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx &=& \int\!\mathrm{cot}^4 x\,\mathrm{csc}^2x\,dx - \int\!\mathrm{cot}^4 x\,dx\\ 	&=& \int\![u(x)]^4u'(x)dx - \int\!\mathrm{cot}^2 x\,\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)dx\\ 	&=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \int\!\mathrm{cot}^2x\mathrm{csc}^2x\,dx + \int\!\mathrm{cot}^2x\,dx \end{eqnarray*}

Aplicando la definición u(x) = \mathrm{cot}\, x de nuevo, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx &=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \int\!\mathrm{cot}^2x\cdot\mathrm{csc}^2x\,dx + \int\!\mathrm{cot}^2x\,dx\\ 	&=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \int\![u(x)]^2u'(x)\,dx + \int\!\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)\,dx\\ 	&=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \frac{\mathrm{cot}^3x}{3} + \int\!\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)\,dx\\ 	&=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \frac{\mathrm{cot}^3x}{3} + \int\!\mathrm{csc}^2x\,dx - \int\!dx\\ 	&=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \frac{\mathrm{cot}^3x}{3} + \mathrm{cot}\, x - x + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.


Cuando las potencias de \tan x y de \mathrm{sec}\, x son impares, conviente factorizar \tan x\,\mathrm{sec}\, x y utilizarlo como du, definiendo u = \mathrm{sec}\, x.

Todos los \tan^2x se transforman a \mathrm{sec}\, x utilizando la identidad:

    \begin{equation*}    \mathrm{sec}^2 = 1 + \tan^2 x \end{equation*}


Ejemplo

Calcula:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx \end{equation*}

Empezamos factorizando \tan x\,\mathrm{sec}\, x:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx = \int\!\tan^4x\,\mathrm{sec}^2\,x\,[\tan x\,\mathrm{sec}\, x\,dx] \end{equation*}

Ahora podemos usar la identidad: \mathrm{sec}^2 = 1 + \tan^2 x:

    \begin{equation*}    \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx = \int\![\mathrm{sec}^2x - 1]^2\mathrm{sec}^2\,x\,[\tan x\,\mathrm{sec}\, x\,dx] \end{equation*}

Definimos: u = \mathrm{sec}\, x y sustituimos en la integral para obtener:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx &=& \int\![u^2 - 1]^2\cdot u^2\,du\\ 	&=& \int\![u^4 - 2\,u^2 + 1]\cdot u^2\,du\\ 	&=& \int\!u^6\,du - 2\,\int\!u^4\,du + \int\!u^2\,du\\ 	&=& \frac{u^7}{7} - \frac{2\,u^5}{5} + \frac{u^3}{3} + C\\ 	&=& \frac{\mathrm{sec}^7x}{7} - \frac{2\,\mathrm{sec}^5x}{5} + \frac{\mathrm{sec}^3x}{3} + C \end{eqnarray*}


Observa que en cada integral utilizamos siempre una identidad que involucre a la función en cuestión y a su derivada. Por ejemplo, para la función \sin x usamos la identidad:

    \begin{equation*}    \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}

porque ahí aparece su derivada, que es: \cos x. Por otra parte, para la función \tan x usamos:

    \begin{equation*}    \mathrm{sec}^2 x = 1 + \tan^2x \end{equation*}

porque la derivada de \tan x es \mathrm{sec}^2x. Y para la función \mathrm{cot}\, x utilizamos la identidad:

    \begin{equation*}    \mathrm{csc}^2x = 1 + \mathrm{cot}^2x \end{equation*}

porque la derivada de \mathrm{cot}\, x es la función -\mathrm{csc}^2x.

En los productos de potencias de las funciones trigonométricas siempre debemos intentar sustituir las identidades de manera que obtengamos una forma integrable.

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