Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas.
Ejemplo 1
Calcula la integral indefinida:
Utilizamos la siguiente identidad:
Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:
Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial:
Y terminamos.
En la sección anterior calculamos la integral utilizando integración por partes.
Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica:
La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno.
Ejemplo 2
Calcula la integral indefinida:
Utilizando la identidad:
podemos reescribir la integral de la siguiente forma:
La primera integral es inmediata. Para la segunda, vamos a definir: , luego,
. Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable:
El artificio de sustituir nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando consista de la función
elevada a una potencial impar. Por ejemplo, para integrar
reescribimos este integrando de la siguiente manera:
Después podemos definir y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver. En algunos productos de potencias de las funciones
y
también podemos aplicar el mismo artificio matemático. Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa.
Ejemplo 3
Calcula la integral:
Podemos reescribir la integral de la siguiente manera:
Ahora definimos: , y haciendo el cambio de variable, obtenemos:
Observa que decidimos sustituir: , pero también pudimos sustiuir:
y poder calcular la integral. Se te queda como ejercicio calcular la misma integral haciendo esta sustitución. Para integrar potencias de la función tangente o secante usaremos la identidad:
Ejemplo 4
Calcula la integral indefinida:
Usando la identidad mencionada, la integral puede reescribirse como:
Ambas integrales son inmediatas:
Ejemplo 5
Calcula la siguiente integral indefinida:
El integrando puede reescribirse como:
Ahora observa que si definimos: , entonces,
. Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos:
Para calcular la integral faltante, vamos a definir: . Entonces,
. Así, podemos aplicar la regla (v) de integración:
En algunos casos vamos a tener que aplicar otros métodos de integración para poder calcular una integral de potencias trigonométricas.
Ejemplo 6
Calcula:
Podemos reescribir la integral de la siguiente forma:
Al separar en dos integrales obtenemos:
La primera integral es inmediata:
Para la integral que falta usaremos la regla de integral por partes. Así que definimos:
Sustituyendo estos valores en la integral faltante nos da:
Ahora obtuvimos la integral que queremos calcular. Como es negativa, podemos pasarla del otro lado:
Y el resultado es:
Ejemplo 7
Calcula la integral:
Ahora utilizaremos la identidad:
para transformar el integrando las veces que sea necesaria. Empezamos haciendo la primera transformación:
Ahora definimos: , con lo que
. Entonces,
Aplicando la definición de nuevo, obtenemos:
Y terminamos.
Cuando las potencias de y de
son impares, conviente factorizar
y utilizarlo como
, definiendo
.
Todos los se transforman a
utilizando la identidad:
Ejemplo 8
Calcula:
Empezamos factorizando :
Ahora podemos usar la identidad: :
Definimos: y sustituimos en la integral para obtener:
Observa que en cada integral utilizamos siempre una identidad que involucre a la función en cuestión y a su derivada. Por ejemplo, para la función usamos la identidad:
porque ahí aparece su derivada, que es: . Por otra parte, para la función
usamos:
porque la derivada de es
. Y para la función
utilizamos la identidad:
porque la derivada de es la función
.
En los productos de potencias de las funciones trigonométricas siempre debemos intentar sustituir las identidades de manera que obtengamos una forma integrable.
Add a note