Integración de funciones trigonométricas

Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Ejemplo 4
5 Ejemplo 5
6 Ejemplo 6
7 Ejemplo 7
8 Ejemplo 8

Ejemplo 1

Calcula la integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\cos^2 x\,dx \end{equation*}$

Utilizamos la siguiente identidad:

$\begin{equation*} \cos x = \sqrt{\frac{1 + \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}$

Así, nuestra integral se convierte en la siguiente:

$\begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!\left(1 + \cos(2\,x)\right)\,dx\\ &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,dx \end{eqnarray*}$

Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial:

$\begin{eqnarray*} \int\!\cos^2 x\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)\,\left(\frac{2}{2}\right)dx\\ &=& \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\,\sin(2\,x) + C \end{eqnarray*}$

Y terminamos.

En la sección anterior calculamos la integral $\int\!\sin^2x\,dx$ utilizando integración por partes.

Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica:

$\begin{equation*} \sin x = \sqrt{\frac{1 - \cos(2\,x)}{2}} \end{equation*}$

La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno.

Ejemplo 2

Calcula la integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\cos^3x\,dx \end{equation*}$

Utilizando la identidad:

$\begin{equation*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}$

podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

$\begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx \\ &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}$

La primera integral es inmediata. Para la segunda, vamos a definir: $u(x) = \sin x$ , luego, $u'(x) = \cos x$ . Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable:

$\begin{eqnarray*} \int\!\cos^3x\,dx &=& \int\!\cos x\,dx - \int\!\sin^2x\,\cos x\,dx\\ &=& \sin x - \int\![u(x)]^2\,u'(x)\,dx\\ &=& \sin x - \frac{[u(x)]^3}{3} + C\\ &=& \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C \end{eqnarray*}$

El artificio de sustituir $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando consista de la función $\cos x$ elevada a una potencial impar. Por ejemplo, para integrar $\cos^5x$ reescribimos este integrando de la siguiente manera:

$\begin{eqnarray*} \cos^5x &=& \cos^4x\cdot\cos x = \left(1 - \sin^2x\right)^2\cos x \\ &=& \left(1 - 2\,\sin^2x + \sin^4x\right)\,\cos x \end{eqnarray*}$

Después podemos definir $u = \sin x$ y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver. En algunos productos de potencias de las funciones $\sin x$ y $\cos x$ también podemos aplicar el mismo artificio matemático. Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa.

Ejemplo 3

Calcula la integral:

$\begin{equation*} \int\!\sin^3 x\,\cos^3 x\,dx \end{equation*}$

Podemos reescribir la integral de la siguiente manera:

$\begin{eqnarray*} \int\!\sin^3 x\,\cos^3 x\,dx &=& \int\!\sin^3 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx\\ &=& \int\!\sin^3 x\,\left(1 - \sin^2x\right)\,\cos x\,dx\\ &=& \int\!\left(\sin^3x - \sin^5x\right)\,\cos x\,dx \end{eqnarray*}$

Ahora definimos: $u(x) = \sin x$ , y haciendo el cambio de variable, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \int\!\sin^3 x\,\cos^3 x\,dx &=& \int\!\left(\sin^3x - \sin^5x\right)\,\cos x\,dx\\ &=& \int\!\sin^3x\,\cos x\,dx - \int\!\sin^5x\,\cos x\,dx\\ &=& \int\![u(x)]^3u'(x)\,dx - \int\![u(x)]^5u'(x)\,dx\\ &=& \frac{[u(x)]^4}{4} - \frac{[u(x)]^6}{6} + C\\ &=& \frac{\sin^4x}{4} - \frac{\sin^6x}{6} + C \end{eqnarray*}$

Observa que decidimos sustituir: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ , pero también pudimos sustiuir: $\sin^2x = 1 - \cos^2 x$ y poder calcular la integral. Se te queda como ejercicio calcular la misma integral haciendo esta sustitución. Para integrar potencias de la función tangente o secante usaremos la identidad:

$\begin{equation*} \sec^2x = 1 + \tan^2x \end{equation*}$

Ejemplo 4

Calcula la integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\tan^2x\,dx \end{equation*}$

Usando la identidad mencionada, la integral puede reescribirse como:

$\begin{equation*} \int\!\tan^2x\,dx = \int\!(1 - \sec^2x)\,dx = \int\!dx - \int\!\sec^2x\,dx \end{equation*}$

Ambas integrales son inmediatas:

$\begin{equation*} \int\!\tan^2x\,dx = x - \tan x + C \end{equation*}$

Ejemplo 5

Calcula la siguiente integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\tan^3x\,dx \end{equation*}$

El integrando puede reescribirse como:

$\begin{equation*} \int\!\tan^3x\,dx = \int\!(\sec^2x - 1)\,\tan x\,dx = \int\!\sec^2x\tan x\,dx - \int\!\tan x\,dx \end{equation*}$

Ahora observa que si definimos: $u(x) = \tan x$ , entonces, $u'(x) = \sec^2x$ . Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \int\!\tan^3x\,dx &=& \int\!u(x)\,u'(x)\,dx - \int\!\tan x\,dx\\ &=& \frac{[u(x)]^2}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\\ &=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx \end{eqnarray*}$

Para calcular la integral faltante, vamos a definir: $v = \cos x$ . Entonces, $\dv = -\sin x\,dx$ . Así, podemos aplicar la regla (v) de integración:

$\begin{eqnarray*} \int\!\tan^3x\,dx &=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\\ &=& \frac{\tan^2x}{2} - \int\frac{-\dv}{v}\\ &=&\frac{\tan^2x}{2} + \ln{v} + C\\ &=&\frac{\tan^2x}{2} + \ln|\cos x| + C \end{eqnarray*}$

En algunos casos vamos a tener que aplicar otros métodos de integración para poder calcular una integral de potencias trigonométricas.

Ejemplo 6

Calcula:

$\begin{equation*} \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx \end{equation*}$

Podemos reescribir la integral de la siguiente forma:

$\begin{equation*} \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \int\!\mathrm{sec}^2x\,\mathrm{sec}\, x\,dx = \int\!(1 + \tan^2x)\,\mathrm{sec}\, x\,dx \end{equation*}$

Al separar en dos integrales obtenemos:

$\begin{equation*} \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \int\!\mathrm{sec}\, x\,dx + \int\!\tan^2x\,\mathrm{sec}\, x\,dx \end{equation*}$

La primera integral es inmediata:

$\begin{equation*} \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \int\!\tan^2x\,\mathrm{sec}\, x\,dx \end{equation*}$

Para la integral que falta usaremos la regla de integral por partes. Así que definimos:

$\begin{eqnarray*} u = \tan x\qquad\qquad&\Rightarrow&\qquad\qquad du = \mathrm{sec}^2x\,dx\\ dv = \mathrm{sec}\, x\tan x\,dx\qquad\qquad&\Rightarrow&\qquad\qquad v = \mathrm{sec}\, x \end{eqnarray*}$

Sustituyendo estos valores en la integral faltante nos da:

$\begin{equation*} \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \mathrm{sec}\, x\tan x - \int\!\mathrm{sec}^3 x\,dx \end{equation*}$

Ahora obtuvimos la integral que queremos calcular. Como es negativa, podemos pasarla del otro lado:

$\begin{equation*} 2\,\int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \mathrm{sec}\, x\tan x + C_1 \end{equation*}$

Y el resultado es:

$\begin{equation*} \int\!\mathrm{sec}^3x\,dx = \frac{1}{2}\,\ln|\mathrm{sec}\, x + \tan x| + \frac{1}{2}\,\mathrm{sec}\, x\tan x + C \end{equation*}$

Ejemplo 7

Calcula la integral:

$\begin{equation*} \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx \end{equation*}$

Ahora utilizaremos la identidad:

$\begin{equation*} \mathrm{csc}^2x = 1 + \mathrm{cot}^2x \end{equation*}$

para transformar el integrando las veces que sea necesaria. Empezamos haciendo la primera transformación:

$\begin{eqnarray*} \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx &=& \int\!\mathrm{cot}^4 x\,\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)\,dx\\ &=& \int\!\mathrm{cot}^4 x\,\mathrm{csc}^2x\,dx - \int\!\mathrm{cot}^4 x\,dx \end{eqnarray*}$

Ahora definimos: $u(x) = \mathrm{cot}\, x$ , con lo que $u'(x) = \mathrm{csc}^2x$ . Entonces,

$\begin{eqnarray*} \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx &=& \int\!\mathrm{cot}^4 x\,\mathrm{csc}^2x\,dx - \int\!\mathrm{cot}^4 x\,dx\\ &=& \int\![u(x)]^4u'(x)dx - \int\!\mathrm{cot}^2 x\,\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)dx\\ &=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \int\!\mathrm{cot}^2x\mathrm{csc}^2x\,dx + \int\!\mathrm{cot}^2x\,dx \end{eqnarray*}$

Aplicando la definición $u(x) = \mathrm{cot}\, x$ de nuevo, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \int\!\mathrm{cot}^6 x\,dx &=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \int\!\mathrm{cot}^2x\cdot\mathrm{csc}^2x\,dx + \int\!\mathrm{cot}^2x\,dx\\ &=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \int\![u(x)]^2u'(x)\,dx + \int\!\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)\,dx\\ &=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \frac{\mathrm{cot}^3x}{3} + \int\!\left(\mathrm{csc}^2x - 1\right)\,dx\\ &=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \frac{\mathrm{cot}^3x}{3} + \int\!\mathrm{csc}^2x\,dx - \int\!dx\\ &=& \frac{\mathrm{cot}^5x}{5} - \frac{\mathrm{cot}^3x}{3} + \mathrm{cot}\, x - x + C \end{eqnarray*}$

Y terminamos.

Cuando las potencias de $\tan x$ y de $\mathrm{sec}\, x$ son impares, conviente factorizar $\tan x\,\mathrm{sec}\, x$ y utilizarlo como $du$ , definiendo $u = \mathrm{sec}\, x$ .

Todos los $\tan^2x$ se transforman a $\mathrm{sec}\, x$ utilizando la identidad:

$\begin{equation*} \mathrm{sec}^2 = 1 + \tan^2 x \end{equation*}$

Ejemplo 8

Calcula:

$\begin{equation*} \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx \end{equation*}$

Empezamos factorizando $\tan x\,\mathrm{sec}\, x$ :

$\begin{equation*} \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx = \int\!\tan^4x\,\mathrm{sec}^2\,x\,[\tan x\,\mathrm{sec}\, x\,dx] \end{equation*}$

Ahora podemos usar la identidad: $\mathrm{sec}^2 = 1 + \tan^2 x$ :

$\begin{equation*} \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx = \int\![\mathrm{sec}^2x - 1]^2\mathrm{sec}^2\,x\,[\tan x\,\mathrm{sec}\, x\,dx] \end{equation*}$

Definimos: $u = \mathrm{sec}\, x$ y sustituimos en la integral para obtener:

$\begin{eqnarray*} \int\!\tan^5x\,\mathrm{sec}^3\,x\,dx &=& \int\![u^2 - 1]^2\cdot u^2\,du\\ &=& \int\![u^4 - 2\,u^2 + 1]\cdot u^2\,du\\ &=& \int\!u^6\,du - 2\,\int\!u^4\,du + \int\!u^2\,du\\ &=& \frac{u^7}{7} - \frac{2\,u^5}{5} + \frac{u^3}{3} + C\\ &=& \frac{\mathrm{sec}^7x}{7} - \frac{2\,\mathrm{sec}^5x}{5} + \frac{\mathrm{sec}^3x}{3} + C \end{eqnarray*}$

Observa que en cada integral utilizamos siempre una identidad que involucre a la función en cuestión y a su derivada. Por ejemplo, para la función $\sin x$ usamos la identidad:

$\begin{equation*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{equation*}$

porque ahí aparece su derivada, que es: $\cos x$ . Por otra parte, para la función $\tan x$ usamos:

$\begin{equation*} \mathrm{sec}^2 x = 1 + \tan^2x \end{equation*}$

porque la derivada de $\tan x$ es $\mathrm{sec}^2x$ . Y para la función $\mathrm{cot}\, x$ utilizamos la identidad:

$\begin{equation*} \mathrm{csc}^2x = 1 + \mathrm{cot}^2x \end{equation*}$

porque la derivada de $\mathrm{cot}\, x$ es la función $-\mathrm{csc}^2x$ .

En los productos de potencias de las funciones trigonométricas siempre debemos intentar sustituir las identidades de manera que obtengamos una forma integrable.

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