Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

Integración aproximada: Regla de Simpson

Aprenderás a calcular el valor de una Integral Definida de manera aproximada por medio de la regla de Simpson.

Prestamos fáciles y rápidos

Otro método para aproximar integrales definidas es el conocido como la regla de Simpson. Simpson fue todavía más allá. En lugar de utilizar trapecios a partir de dos puntos mejoró la aproximación utilizando parábolas que pasen por tres puntos por los cuales pasa la función.

Elegimos 3 puntos: A(x_1, f(x_1)), B(x_2, f(x_2)) y C(x_3, f(x_3)). Con estos tres puntos vamos a calcular la parábola que pasa por ahí. Es decir, tenemos que determinar los parámetros a,b,c tales que y = ax^2 + b\,x + c pasa por los puntos A,B,C.

Rendered by QuickLaTeX.com

Utilizando esta idea, podemos aplicar el mismo método que usamos para el método del trapecio y finalmente encontramos:

    \begin{equation*}    \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{3}\left( f(x_1) + 4\,f(x_2) + 2\,f(x_3) + 4\,f(x_4) + \cdots 	+ 4\,f(x_{n-1}) + f(x_n)\right) \end{equation*}

para n par y \Delta x = (b - a)/n.


Ejemplo

Aproxima la integral definida:

    \begin{equation*}    \int\limits_{1}^{2}\!\frac{dx}{x} \end{equation*}

haciendo n = 10.

Aplicamos directamente la regla de Simpson:

    \begin{eqnarray*}    \int\limits_{1}^{2}\!\frac{dx}{x} \!\!\!&\approx&\!\!\! \frac{0.1}{3}\left[ 	\frac{1}{1} + \frac{4}{1.1} + \frac{2}{1.2} + \frac{4}{1.3} + + \frac{2}{1.4} + \frac{4}{1.5} + \frac{2}{1.6} + \frac{4}{1.7} + \frac{2}{1.7} + \frac{4}{1.9} + \frac{1}{2} 	\right]\\ 	\!\!\!&\approx&\!\!\! 0.693150 \end{eqnarray*}

Recuerda que con el método del trapecio, en el cual obtuvimos una aproximación de 0.6937714032 unidades de área.
Y el valor del área buscada es de: \ln 2 \approx 0.693147180559945. El método de Simpson nos da una mejor aproximación, como era de esperarse.



Ejemplo

Utilizando la regla de Simpson, aproxima el valor de la integral definida:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{1}\!e^{-x^2}\,dx \end{equation*}

haciendo n = 10.

Para este caso tenemos: \Delta x = 0.1. Aplicando la regla de Simpson, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\limits_{0}^{1}\!e^{-x^2}\,dx  	&\approx& \frac{0.1}{3}\left[e^{0^2} + 4\,e^{0.1^2} + 2\,e^{0.2^2} + \cdots + 4\,e^{0.9^2}  + e^{1^2}\right]\\ 	&\approx& 1.462653625 \end{eqnarray*}

Aprende Producción de Audio


Ejemplo

Utilizando la regla de Simpson, aproxima el valor de la integral definida:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{\pi}\!\sin(x)\,dx \end{equation*}

haciendo n = 15.

Ahora \Delta x/3 \approx 1.047197551. Aplicando la regla obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\limits_{0}^{\pi}\!\sin(x)\,dx  	&\approx& \frac{\pi}{3}\left[\sin(0) + 4\,\sin\left(\frac{\pi}{15}\right) + %2\,\sin\left(\frac{2\pi}{15}\right) +  			\cdots + 4\,\sin\left(\frac{14\pi}{15}\right) + \sin(\pi)\right]\\ 	&\approx& 2.000001339 \end{eqnarray*}

Podemos verificar el resultado haciendo el cálculo exacto:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{\pi}\!\sin(x)\,dx = \left.\textcolor{white}{\frac{}{}}\!\!\!-\cos x\right\vert_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos0 = 2 \end{equation*}



Ejemplo

Utilizando la regla de Simpson, aproxima el valor de la integral definida:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{\pi}\!\sin(x)\,dx \end{equation*}

considerando los valores n = 5, 10, 15, 20, 25.

Aplicamos la regla de Simpson y calculamos la aproximación para diferentes valores de n. Obtenemos los siguientes resultados:

  \begin{tabular}{cc}\hline $n$	&	\textbf{Aproximaci\'on:}	\\ \hline 05	&	2.000109517	\\ 10	&	2.000006785	\\ 15	&	2.000001339	\\ 20	&	2.000000423	\\ 25	&	2.000000173\\\hline \end{tabular}

De la tabla se hace evidente que conforme n crece la aproximación tiende a 2.



Ejemplo

Utilizando la regla de Simpson, aproxima el valor de la integral definida:

    \begin{equation*}    \int\limits_{1}^{2}\!\frac{dx}{x} \end{equation*}

considerando los valores n = 5, 10, 15, 20, 25.

De nuevo, aplicamos la regla de Simpson para diferentes valores de n:

  \begin{tabular}{cc}\hline $n$	&	\textbf{Aproximaci\'on:}	\\ \hline 05	&	0.6931502307	\\ 10	&	0.6931473747	\\ 15	&	0.6931472190	\\ 20	&	0.6931471927	\\ 25	&	0.6931471856	\\\hline \end{tabular}

Recuerda que el valor exacto de la integral es: \ln(2)\approx 0.693147180559945.


Muchas veces en ingeniería se requiere del cálculo de una integral definida, sin embargo, la antiderivada del integrando es sumamente difícil de calcular. Para esos casos se utilizan métodos numéricos, como la regla de Simpson. Los métodos numéricos son técnicas computacionales que ayudan a los ingenieros y científicos a aproximar las soluciones de ecuaciones muy difíciles de resolver de manera analítica, así como a la aproximación de cálculos que de otra manera sería prácticamente imposible de obtener.

SEE ALL Add a note
YOU
Add your Comment
X