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Identidades trigonométricas

Aprenderás la justificación de las identidades trigonométricas más comúnmente utilizadas en matemáticas.

En esta sección se realizarán demostraciones de las identidades trigonométricas más utilizadas en las matemáticas. Puedes recordar las definiciones básicas de las funciones trigonométricas que te servirán para comprender este tema.

En esta lección se incluyen las demostraciones de algunas fórmulas que ya hemos estudiado, como la ley de senos y la ley de cosenos. Las identidades son derivadas del teorema de Pitágoras.

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones que caracterizan a un ángulo \alpha. Estas funciones se definen a partir de un triángulo rectángulo de acuerdo a las proporciones de sus lados. Las funciones trigonométricas, a partir del triángulo rectángulo, se definen como la proporción entre dos de los lados del triángulo como se muestra enseguida:

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Explicación en video de las funciones trigonométricas

 

Representación geométrica de las funciones trigonométricas

 

 

 

Geométricamente, las funciones trigonométricas pueden representarse en la circunferencia unitaria como se muestra en el siguiente diagrama:

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En la figura anterior la función \sec\alpha está representada por el segmento de recta que va desde el origen de coordenadas hasta el punto de intersección del segmento que representa a la función \csc\alpha con el segmento que representa la función \tan \alpha. Podemos mostrar que esto es así aplicando el teorema de Pitágoras considerando la siguiente identidad trigonométrica, que se demuestra más adelante:

    \begin{equation*} \sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha \end{equation*}

De manera semejante, podemos justificar la interpretación geométrica de \csc\alpha:

    \begin{equation*} \csc^2\alpha = 1 + \cot^2\alpha \end{equation*}

También podemos deducir esta figura a partir de geometría plana, utilizando triángulos semejantes. Por ejemplo, para justificar que \textcolor{orange}{\tan \alpha} es el segmento indicado en la figura. Podemos observar que en la misma se forma un triángulo con los segmentos que representan \textcolor{red}{\sin\alpha} y \textcolor{blue}{\cos\alpha}, junto con la hipotenusa que le corresponde (un radio de la circunferencia).

Y este triángulo es semejante al triángulo formado por el radio de la circunferencia (que está sobre el eje horizontal), el segmento que representa \textcolor{orange}{\tan \alpha} y el segmento que representa \textcolor{green!50!black}{\csc\alpha}. De ahí que:

    \begin{equation*} \frac{\textcolor{orange}{\tan \alpha}}{\textcolor{cyan}{1}} = \frac{\textcolor{red}{\sin\alpha}}{\textcolor{blue}{\cos\alpha}} \end{equation*}

que coincide con la identidad que se deduce más adelante.

Igualmente, podemos encontrar triángulos semejantes que incluyan a los segmentos que representan las funciones \tan \alpha y \cot\a. En este caso, los radios que están sobre los ejes también serán lados de los triángulos y obtendremos otra identidad trigonométrica.


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