Identidades trigonométricas

Contenido

1 Leyes de senos y de cosenos
2 Ley de senos
- 2.1 Demostración
3 Ley de cosenos
- 3.1 Demostración

Leyes de senos y de cosenos

Ley de senos

$\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

Demostración

Empezamos con un triángulo cualquiera.

Es claro, de la figura que $h=c\,\sin\beta$ . Pero también, $h=b\,\sin\gamma$ .

Al igualar los dos valores de $h$ encontrados obtenemos:

$\begin{eqnarray*} h = c\,\sin\beta &=& b\,\sin\gamma\\ \frac{c}{\sin\gamma} &=& \frac{b}{\sin\beta} \end{eqnarray*}$

Pero esa no es la única altura que tiene el triángulo. Si dibujamos otra altura $h_2$ , como se muestra enseguida:

Ahora tenemos que $h_2 = a\,\sin\gamma$ , y también se cumple: $h_2 = c\,\sin\alpha$ . Al igualar estos valores obtenemos:

$\begin{eqnarray*} h_2 = a\,\sin\gamma &=& c\,\sin\alpha\\ \frac{a}{\sin\alpha} &=& \frac{c}{\sin\gamma} \end{eqnarray*}$

Pero ya habíamos encontrado que:

$\begin{equation*} \frac{c}{\sin\gamma}=\frac{b}{\sin\beta} \end{equation*}$

Entonces, por transitividad podemos escribir:

$\begin{equation*} \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma} \end{equation*}$

Ley de cosenos

$a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha$

Demostración

Para demostrar la ley de cosenos empezamos realizando el diagrama que le corresponde:

Ahora realizamos los siguientes trazos auxiliares para formar un triángulo rectángulo:

Ahora, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

$\begin{equation*} x^2+h^2=a^2 \end{equation*}$

Por otra parte, también se cumple,

$\begin{eqnarray*} b + x &=& c\,\cos\alpha\\ h &=& c\,\sin\alpha \end{eqnarray*}$

Esto nos permite escribir:

$\begin{equation*} x = c\,\cos\alpha - b \end{equation*}$

Y al sustituir estas igualdades en la primera ecuación que obtuvimos con el teorema de Pitágoras,

$\begin{eqnarray*} a^2&=&(c\,\cos\alpha - b)^2+(c\,\sin\alpha)^2\\ &=& c^2\cos^2\alpha - 2\,bc\,\cos\alpha + b^2 + c^2\sin^2\alpha\\ &=& b^2 - 2\,bc\,\cos\alpha + c^2\cdot(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)\\ &=& b^2 + c^2 - 2\,bc\,\cos\alpha \end{eqnarray*}$

porque, $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ .

De manera semejante podemos demostrar las siguientes identidades equivalentes a la anterior:

- $b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos\beta$
- $c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\gamma$
- $\displaystyle A = \left\{\begin{array}{rc}\displaystyle\frac{a\,b\,\sin\gamma}{2} & \\\displaystyle\frac{a\,c\,\sin\beta}{2}&\\\displaystyle\frac{b\,c\,\sin\alpha}{2}\end{array}\right.$
  Donde: $A$ es el área del triángulo con lados $a,b,c$ .\par
  Para demostrar esta fórmula, simplemente dibujamos un triángulo con
  lados $a,b,c$ , lados opuestos de los ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ ,
  respectivamente.

El área del triángulo se define como base por altura entre dos. La altura en cada caso es un lado por el seno del ángulo que forma la base con otro lado adyacente. El área del triángulo es la mitad del producto de la longitud de la base, por la longitud del lado adyancente por el seno del ángulo. Los tres posibles resultados están incluidos en la fórmula anterior.

Por ejemplo, del siguiente triángulo:

inmediatamente vemos que la base del triángulo es $b$ , la altura $h = c\cdot\sin\alpha$ , y el área es el semiproducto de la base por la altura, es decir,