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Identidades trigonométricas

Aprenderás la justificación de las identidades trigonométricas más comúnmente utilizadas en matemáticas.


Otras Identidades trigonométricas

  • \sin(2\,\alpha)=2\,\sin\alpha\,\cos\alpha

Demostración

Es muy sencillo obtener esta identidad a partir de la identidad:

    \begin{equation*} \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha \end{equation*}

sustituyendo \beta=\alpha.

    \begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\alpha)&=&\sin\alpha\,\cos\alpha+\sin\alpha\,\cos\alpha\\ &=&2\,\sin\alpha\,\cos\alpha \end{eqnarray*}


  • \cos(2\,\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

Demostración

Procedemos de manera semejante a la identidad anterior:

    \begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\alpha)&=&\cos\alpha\,\cos\alpha-\sin\alpha\,\sin\alpha\\ &=&\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \end{eqnarray*}


  • \displaystyle\tan(2\,\alpha)=\frac{2\,\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

Demostración

Seguimos utilizando el mismo procedimiento:

    \begin{eqnarray*} \tan(\alpha+\alpha)&=&\displaystyle\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{\displaystyle1-\tan\alpha\cdot\tan\alpha}\\ &=&\displaystyle\frac{2\,\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{eqnarray*}


Ahora se queda como ejercicio:

  • Deducir la identidad: \tan(3\,\alpha), haciendo \tan(\alpha+2\,\alpha).
  • Deducir la identidad: \tan(4\,\alpha), haciendo \tan(\alpha+3\,\alpha) primero y después \tan(2\,\alpha+2\,\alpha).
  • \displaystyle\cos\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{2}}

Demostración

Para demostrar esta identidad haremos uso de las siguientes indentidades que ya han sido demostradas:

    \begin{eqnarray*} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1\\ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha&=&\cos(2\,\alpha) \end{eqnarray*}

Si reemplazamos \alpha por \displaystyle\frac{\alpha}{2}, obtenemos las siguientes identidades, igualmente válidas:

    \begin{eqnarray*} \sin^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)+\cos^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&1\\ \cos^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&\cos(\alpha) \end{eqnarray*}

Al sumar estas dos últimas identidades, obtenemos:

    \begin{eqnarray*} 2\,\cos^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&1+\cos\alpha\\ \cos\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{2}} \end{eqnarray*}


  • \displaystyle\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{2}}

Demostración

De nuevo, consideramos las identidades:

    \begin{eqnarray*} \sin^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)+\cos^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&1\\ \cos^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&\cos(\alpha) \end{eqnarray*}

Ahora, en lugar de sumar, restamos para obtener:

    \begin{eqnarray*} 2\,\sin^2\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&1-\cos\alpha\\ \sin\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{2}} \end{eqnarray*}


  • \displaystyle\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}

Demostración

Considerando las identidades:

    \begin{eqnarray*} \tan x&=&\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\\ \displaystyle\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)&=&\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{2}}\\ \displaystyle\cos\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{2}} \end{eqnarray*}

nos damos cuenta que:

    \begin{equation*} \tan\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{2}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{2}}} \end{equation*}

lo cual puede simplificarse para llegar al resultado deseado:

    \begin{eqnarray*} \tan\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)&=&\displaystyle\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{2}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{2}}}\\ &=& \sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1 - \cos\alpha}{2}}{\displaystyle\frac{1 + \cos\alpha}{2}}}\\ &=&\sqrt{\displaystyle\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} \end{eqnarray*}


  • \displaystyle\sin\alpha=2\,\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)

Demostración

Considerando las siguientes identidades:

    \begin{equation*} \sin(2\,\alpha)=2\,\sin\alpha\,\cos\alpha \end{equation*}

hacemos \xi=2\,\a, y al sustituir este valor en las identidades, obtenemos:

    \begin{equation*} \sin(\xi)=2\,\sin\left(\displaystyle\frac{\xi}{2}\right)\,\cos\left(\displaystyle\frac{\xi}{2}\right)\\ \end{equation*}

que es precisamente lo que queríamos demostrar.


  • \displaystyle\cos\alpha=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)

Demostración

Igual que en el caso anterior, empezamos considerando la identidad:

    \begin{equation*} \cos(2\,\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \end{equation*}

y haciendo \xi=2\,\a, y al sustituir este valor en las identidades, obtenemos:

    \begin{equation*} \cos(\xi)=\cos^2\left(\displaystyle\frac{\xi}{2}\right)-\sin^2\left(\displaystyle\frac{\xi}{2}\right) \end{equation*}

Con lo que hemos demostrado lo que buscábamos.


  • \displaystyle\tan\alpha=\frac{\displaystyle 2\,\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\displaystyle 1-\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

Demostración

Considerando la identidad:

    \begin{equation*} \tan(2\,\alpha)=\frac{2\,\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{equation*}

y sustituyendo: \xi=2\,\a, obtenemos:

    \begin{equation*} \displaystyle\tan \xi=\frac{\displaystyle 2\,\tan\left(\frac{\xi}{2}\right)}{\displaystyle 1-\tan^2\left(\frac{\xi}{2}\right)} \end{equation*}



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