Identidades trigonométricas

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1 Suma de funciones trigonométricas

Suma de funciones trigonométricas

$\displaystyle\sin\alpha+\sin\beta=2\,\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Demostración

Para deducir esta identidad se requieren de las siguientes:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)&=&\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha\\ \sin(\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\,\cos\beta-\sin\beta\,\cos\alpha\\ \end{eqnarray*}$

Sumando las dos identidades obtenemos:

$\begin{equation*} \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\,\sin\alpha\,\cos\beta \end{equation*}$

Por otra parte, si en lugar de sumar las identidades las restamos obtenemos:

$\begin{equation*} \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\,\sin\beta\,\cos\alpha \end{equation*}$

Ahora definimos: $A=\alpha+\beta$ , y $B=\alpha-\beta$ . Al sumar primero y restar
después, estas dos ecuaciones obtenemos:

$\begin{eqnarray*} 2\,\alpha &=& A+B \qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \displaystyle\frac{A+B}{2}\\ 2\,\beta &=& A-B \qquad\Rightarrow\qquad \beta = \displaystyle\frac{A-B}{2} \end{eqnarray*}$

Ahora sustituimos estos valores que acabamos de encontrar:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)&=&2\,\sin\alpha\,\cos\beta\\ \sin A+\sin B&=&2\,\sin\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)\,\cos\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Ahora podemos cambiar las variables que están en el argumento de cada función
y obtener el resultado equivalente buscado.

$\displaystyle\sin\alpha-\sin\beta=2\,\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$

Demostración

Continuando con el procedimiento utilizado para deducir la identidad anterior, podemos decir que, de acuerdo a las definiciones dadas,

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)&=&2\,\sin\beta\,\cos\alpha\\ \sin A-\sin B&=&2\,\sin\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)\,\cos\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right) \end{eqnarray*}$

$\displaystyle\cos\alpha+\cos\beta=2\,\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Demostración

Ahora utilizaremos las identidades:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)&=&\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta\\ \cos(\alpha-\beta)&=&\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta \end{eqnarray*}$

Al sumar las identidades obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\,\cos\alpha\,\cos\beta \end{eqnarray*}$

Y al restarlas obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=2\,\sin\alpha\,\sin\beta \end{eqnarray*}$

De la misma manera, definimos: $A=\alpha+\beta$ , y $B=\alpha-\beta$ , de manera que,

$\begin{eqnarray*} \alpha &=& \frac{A+B}{2}\\ \beta &=& \frac{A-B}{2} \end{eqnarray*}$

Y al sustituir estos valores en las igualdades antes encontradas obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)&=&2\,\cos\alpha\,\cos\beta\\ \cos A+\cos B&=&2\,\cos\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)\,\cos\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right) \end{eqnarray*}$

$\displaystyle\cos\alpha-\cos\beta=2\,\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Demostración

Si continuamos con el desarrollo utilizado en la identidad anterior, obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)&=&2\,\sin\alpha\,\sin\beta\\ \cos A-\cos B&=&2\,\sin\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)\,\sin\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)\\ \end{eqnarray*}$