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Identidades trigonométricas

Aprenderás la justificación de las identidades trigonométricas más comúnmente utilizadas en matemáticas.


Suma de funciones trigonométricas

  • \displaystyle\sin\alpha+\sin\beta=2\,\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Demostración

Para deducir esta identidad se requieren de las siguientes:

    \begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)&=&\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha\\ \sin(\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\,\cos\beta-\sin\beta\,\cos\alpha\\ \end{eqnarray*}

Sumando las dos identidades obtenemos:

    \begin{equation*} \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\,\sin\alpha\,\cos\beta \end{equation*}

Por otra parte, si en lugar de sumar las identidades las restamos obtenemos:

    \begin{equation*} \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\,\sin\beta\,\cos\alpha \end{equation*}

Ahora definimos: A=\alpha+\beta, y B=\alpha-\beta. Al sumar primero y restar
después, estas dos ecuaciones obtenemos:

    \begin{eqnarray*} 2\,\alpha &=& A+B \qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \displaystyle\frac{A+B}{2}\\ 2\,\beta &=& A-B \qquad\Rightarrow\qquad \beta = \displaystyle\frac{A-B}{2} \end{eqnarray*}

Ahora sustituimos estos valores que acabamos de encontrar:

    \begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)&=&2\,\sin\alpha\,\cos\beta\\ \sin A+\sin B&=&2\,\sin\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)\,\cos\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right) \end{eqnarray*}

Ahora podemos cambiar las variables que están en el argumento de cada función
y obtener el resultado equivalente buscado.

  • \displaystyle\sin\alpha-\sin\beta=2\,\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)

Demostración

Continuando con el procedimiento utilizado para deducir la identidad anterior, podemos decir que, de acuerdo a las definiciones dadas,

    \begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)&=&2\,\sin\beta\,\cos\alpha\\ \sin A-\sin B&=&2\,\sin\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)\,\cos\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right) \end{eqnarray*}


  • \displaystyle\cos\alpha+\cos\beta=2\,\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Demostración

Ahora utilizaremos las identidades:

    \begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)&=&\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta\\ \cos(\alpha-\beta)&=&\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta \end{eqnarray*}

Al sumar las identidades obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\,\cos\alpha\,\cos\beta \end{eqnarray*}

Y al restarlas obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=2\,\sin\alpha\,\sin\beta \end{eqnarray*}

De la misma manera, definimos: A=\alpha+\beta, y B=\alpha-\beta, de manera que,

    \begin{eqnarray*} \alpha &=& \frac{A+B}{2}\\ \beta &=& \frac{A-B}{2} \end{eqnarray*}

Y al sustituir estos valores en las igualdades antes encontradas obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)&=&2\,\cos\alpha\,\cos\beta\\ \cos A+\cos B&=&2\,\cos\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)\,\cos\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right) \end{eqnarray*}


  • \displaystyle\cos\alpha-\cos\beta=2\,\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Demostración

Si continuamos con el desarrollo utilizado en la identidad anterior, obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)&=&2\,\sin\alpha\,\sin\beta\\ \cos A-\cos B&=&2\,\sin\left(\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)\,\sin\left(\displaystyle\frac{A-B}{2}\right)\\ \end{eqnarray*}



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