Identidades trigonométricas

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1 Identidades de suma y diferencia de ángulos

Identidades de suma y diferencia de ángulos

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha$

Demostración

Para demostrar esta identidad, empezamos dibujando los ángulos $\alpha$ y $\beta$ de manera que podamos apreciar la suma de los dos:

Ahora nos basamos en la interpretación geométrica de las funciones básicas: observe que la proyección de cada uno de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa multiplicada por una función trigonométrica, seno para la componente vertical y coseno para la función horizontal. Basándonos en este hecho es muy sencillo deducir el siguiente diagrama:

En este diagrama, podemos dibujar un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud 1, el cual se muestra en el siguiente diagrama:

Y de acuerdo a la interpretación geométrica de las funciones trigonométricas básicas, la proyección vertical es equivalente a $\sin(\alpha+\beta)$ . Encontrando el resultado buscado:

$\begin{equation*} \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha \end{equation*}$

Lo cual se muestra a la derecha de la figura.

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta$

Demostración

Utilizando la figura de la identidad anterior, podemos fácilmente ver que la proyección horizontal es $\cos(\alpha+\beta)$ , y este resultado es: $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\sin\beta-\sin\alpha\,\cos\beta$ .

Puede ver este resultado más claramente si consideramos que la proyección horizontal del triángulo rectángulo con hipotenusa 1 la obtenemos restando el segmento que queda en la parte superior de la figura que mide: $\sin\beta\,\sin\alpha$ al segmento que está sobre el eje $x$ , y mide: $\cos\beta\,\cos\alpha$ .

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta-\sin\beta\,\cos\alpha$

Demostración

Aplicando las propiedades de las funciones trigonométricas que se dieron antes, podemos fácilmente deducir esta identidad sustituyendo $-\sin\beta$ en lugar de $\sin(-\beta)$ , y $\cos\beta$ en lugar de $\cos(-\beta)$ :

$\begin{eqnarray*} \sin\left(\alpha+(-\beta)\right) &=& \sin\alpha\,\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\,\cos\alpha\\ &=& \sin\alpha\,\cos\beta-\sin\beta\,\cos\alpha \end{eqnarray*}$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta$

Demostración

De manera semejante a la identidad anterior, podemos sustituir en la identidad correspondiente a $\cos(\alpha+\beta)$ y calcular, en su lugar $\cos(\alpha-\beta)$ y así obtenemos:

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\alpha+(-\beta)\right) &=& \cos\alpha\,\cos(-\beta) - \sin\alpha\,\sin(-\beta)\\ &=& \cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta \end{eqnarray*}$

Esta identidad es importante en el álgebra lineal al considerar el producto
punto de dos vectores.

$\displaystyle\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan\beta}{1-\tan \alpha\,\tan\beta}$

Demostración

Podemos utilizar la identidad de cociente para $\tan x$ , siendo $x=\alpha-\beta$ y simplificar la expresión así obtenida:

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\ &=& \frac{\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha}{\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta}\\ \end{eqnarray*}$

Para simplificar esta expresión basta dividir en el numerador como en el denominador por $\cos\alpha\,\cos\beta$ :

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha}{\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta}\\ &=& \frac{\displaystyle\frac{\sin\alpha\,\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\,\cancel{\cos\beta}}+\frac{\sin\beta\,\cancel{\cos\alpha}}{\cancel{\cos\alpha}\,\cos\beta}}{\displaystyle\frac{\cancel{\cos\alpha}\,\cancel{\cos\beta}}{\cancel{\cos\alpha}\,\cancel{\cos\beta}}-\frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\cos\alpha\,\cos\beta}}\\ &=& \frac{\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\displaystyle1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}\\ &=& \frac{\tan \alpha+\tan\beta}{\displaystyle1-\tan \alpha\cdot\tan\beta} \end{eqnarray*}$

$\displaystyle\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan \alpha\,\tan\beta}$

Demostración

Se procede de manera semajante al ejercicio anterior:

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha-\beta) &=& \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}\\ &=& \frac{\sin\alpha\,\cos\beta-\sin\beta\,\cos\alpha}{\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta}\\ &=& \frac{\displaystyle\frac{\sin\alpha\,\cancel{\cos\beta}}{\cos\alpha\,\cancel{\cos\beta}}-\frac{\sin\beta\,\cancel{\cos\alpha}}{\cancel{\cos\alpha}\,\cos\beta}}{\displaystyle\frac{\cancel{\cos\alpha}\,\cancel{\cos\beta}}{\cancel{\cos\alpha}\,\cancel{\cos\beta}}+\frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\cos\alpha\,\cos\beta}}\\ &=& \frac{\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\displaystyle1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}\\ &=& \frac{\tan \alpha-\tan\beta}{\displaystyle1+\tan \alpha\cdot\tan\beta} \end{eqnarray*}$

Aunque también podemos obtenerla sustituyendo $\tan(-\beta)=-\tan\beta$ en donde se requiera:

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha+(-\beta)) &=& \frac{\tan \alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan \alpha\,\tan(-\beta)}\\ &=& \frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan \alpha\,\tan\beta} \end{eqnarray*}$

Dado que:

$\begin{equation*} \tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \end{equation*}$

se sigue que:

$\begin{eqnarray*} \tan(-\beta) &=& \frac{\sin(-\beta)}{\cos(-\beta)}\\ &=& \frac{-\sin\beta}{\cos\beta}\\ &=& - \tan\beta \end{eqnarray*}$

$\displaystyle\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\,\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$

Demostración

Procedemos de manera semejante a las anteriores identidades:

$\begin{eqnarray*} \cot(\alpha+\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}\\ &=& \frac{\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin\alpha\,\cos\beta+\sin\beta\,\cos\alpha}\\ &=& \frac{\displaystyle\frac{\cos\alpha\,\cos\beta}{\sin\alpha\,\sin\beta}-\frac{\cancel{\sin\alpha}\,\cancel{\sin\beta}}{\cancel{\sin\alpha}\,\cancel{\sin\beta}}}{\displaystyle\frac{\cancel{\sin\alpha}\,\cos\beta}{\cancel{\sin\alpha}\,\sin\beta}+\frac{\cancel{\sin\beta}\,\cos\alpha}{\sin\alpha\,\cancel{\sin\beta}}}\\ &=& \frac{\displaystyle\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)\left(\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right)-1}{\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}}\\ &=& \frac{\cot\alpha\,\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta} \end{eqnarray*}$

Sin embargo, también podemos simplificar la deducción de esta identidad utilizando las identidades recíprocas:

$\begin{eqnarray*} \cot(\alpha+\beta) &=& \frac{1}{\tan(\alpha+\beta)}\\ &=& \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{\tan \alpha+\tan\beta}{1-\tan \alpha\,\tan\beta}\right)}\\ &=& \frac{1-\tan \alpha\,\tan\beta}{\tan \alpha+\tan\beta} \end{eqnarray*}$

Así hemos obtenido dos resultados equivalentes para $\cot(\alpha+\beta)$ .

$\cot(\alpha-\beta)=\displaystyle\frac{\cot\alpha\,\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}$

Demostración

Procedemos de manera semejante a la identidad anterior:

$\begin{eqnarray*} \cot(\alpha-\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}\\ &=& \frac{\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin\alpha\,\cos\beta-\sin\beta\,\cos\alpha}\\ &=& \frac{\displaystyle\frac{\cos\alpha\,\cos\beta}{\sin\alpha\,\sin\beta}+\frac{\cancel{\sin\alpha}\,\cancel{\sin\beta}}{\cancel{\sin\alpha}\,\cancel{\sin\beta}}}{\displaystyle\frac{\cancel{\sin\alpha}\,\cos\beta}{\cancel{\sin\alpha}\,\sin\beta}-\frac{\cancel{\sin\beta}\,\cos\alpha}{\sin\alpha\,\cancel{\sin\beta}}}\\ &=& \frac{\displaystyle\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)\left(\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right)+1}{\displaystyle\frac{\cos\beta}{\sin\beta}-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\\ &=& \frac{\cot\alpha\,\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha} \end{eqnarray*}$

Utilizando la identidad recíproca, simplificamos el procedimiento y obtenemos un resultado equivalente:

$\begin{eqnarray*} \cot(\alpha-\beta) &=& \frac{1}{\tan(\alpha-\beta)}\\ &=& \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan \alpha\,\tan\beta}\right)}\\ &=& \frac{1+\tan \alpha\,\tan\beta}{\tan \alpha-\tan\beta}\\ \end{eqnarray*}$

O bien, podemos utilizar la propiedad: $\cot(-\beta)=-\cot\beta$ :

$\begin{eqnarray*} \cot(\alpha+(-\beta)) & = & \frac{\cot\alpha\cdot\cot(-\beta) - 1}{\cot\alpha + \cot(-\beta)}\\ & = & \frac{-\cot\alpha\cdot\cot\beta - 1}{\cot\alpha - \cot\beta}\\ & = & \frac{\cot\alpha\,\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha} \end{eqnarray*}$

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