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Identidades de suma y diferencia de ángulos
Demostración
Para demostrar esta identidad, empezamos dibujando los ángulos y
de manera que podamos apreciar la suma de los dos:
Ahora nos basamos en la interpretación geométrica de las funciones básicas: observe que la proyección de cada uno de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa multiplicada por una función trigonométrica, seno para la componente vertical y coseno para la función horizontal. Basándonos en este hecho es muy sencillo deducir el siguiente diagrama:
En este diagrama, podemos dibujar un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud 1, el cual se muestra en el siguiente diagrama:
Y de acuerdo a la interpretación geométrica de las funciones trigonométricas básicas, la proyección vertical es equivalente a . Encontrando el resultado buscado:
Lo cual se muestra a la derecha de la figura.
Demostración
Utilizando la figura de la identidad anterior, podemos fácilmente ver que la proyección horizontal es , y este resultado es:
.
Puede ver este resultado más claramente si consideramos que la proyección horizontal del triángulo rectángulo con hipotenusa 1 la obtenemos restando el segmento que queda en la parte superior de la figura que mide: al segmento que está sobre el eje
, y mide:
.
Demostración
Aplicando las propiedades de las funciones trigonométricas que se dieron antes, podemos fácilmente deducir esta identidad sustituyendo en lugar de
, y
en lugar de
:
Demostración
De manera semejante a la identidad anterior, podemos sustituir en la identidad correspondiente a y calcular, en su lugar
y así obtenemos:
Esta identidad es importante en el álgebra lineal al considerar el producto
punto de dos vectores.
Demostración
Podemos utilizar la identidad de cociente para , siendo
y simplificar la expresión así obtenida:
Para simplificar esta expresión basta dividir en el numerador como en el denominador por :
Demostración
Se procede de manera semajante al ejercicio anterior:
Aunque también podemos obtenerla sustituyendo en donde se requiera:
Dado que:
se sigue que:
Demostración
Procedemos de manera semejante a las anteriores identidades:
Sin embargo, también podemos simplificar la deducción de esta identidad utilizando las identidades recíprocas:
Así hemos obtenido dos resultados equivalentes para .
Demostración
Procedemos de manera semejante a la identidad anterior:
Utilizando la identidad recíproca, simplificamos el procedimiento y obtenemos un resultado equivalente:
O bien, podemos utilizar la propiedad: :
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