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Identidades trigonométricas

Aprenderás la justificación de las identidades trigonométricas más comúnmente utilizadas en matemáticas.


Identidades recíprocas

La demostración de las siguientes identidades es muy sencilla. Basta sustituir las definiciones para verificar que se cumple la igualdad en cada una de ellas.

  • \sin\alpha = \displaystyle\frac{1}{\csc\alpha} = \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{r}{y}\right)} = \frac{y}{r}
  • \cos\alpha = \displaystyle\frac{1}{\sec\alpha} = \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{r}{x}\right)} = \frac{x}{r}
  • \tan \alpha = \displaystyle\frac{1}{\cot\alpha} = \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)} = \frac{y}{x}

La siguiente identidad es también evidente.

  • \tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Para demostrar esta identidad, escribimos:

    \begin{equation*} \tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\left(\displaystyle\frac{y}{r}\right)}{\left(\displaystyle\frac{x}{r}\right)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \end{equation*}

La división por ~r~ está justificada porque r > 0.

 

 

Propiedades de las funciones trigonométricas

Estas propiedades son evidentes al graficar las funciones trigonométricas a partir del círculo unitario.

  • \sin\alpha=\cos(90\textdegree-\alpha)
  • \cos\alpha=\sin(90\textdegree-\alpha)
  • \tan \alpha=\cot(90\textdegree-\alpha)
  • \cot\alpha=\tan(90\textdegree-\alpha)
  • \csc\alpha=\sec(90\textdegree-\alpha)
  • \sec\alpha=\csc(90\textdegree-\alpha)

Identidades trigonométricas pitagóricas

Para demostrar cada una de las siguientes debemos recordar cómo se definen las funciones trigonométricas.

  • \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Demostración

Por definición:
\displaystyle\sin\alpha=\frac{y}{r}, y \displaystyle\cos\alpha=\frac{x}{r}, pero por el teorema de Pitágoras, x,y,r satisfacen:

    \begin{eqnarray*} x^2+y^2&=&r^2\\ \frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}&=&\frac{r^2}{r^2}\\ \left(\frac{x}{r}\right)^2+\left(\frac{y}{r}\right)^2&=&1\\ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha&=&1 \end{eqnarray*}

Dividir por r^2 es siempre válido, dado que r>0. Esta identidad se conoce como la primera identidad trigonométrica pitagórica,
por la forma como se demostró.


  • \sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha

Demostración

A partir de la primera identidad trigonométrica pitagórica podemos obtener fácilmente la segunda. Para este fin, basta dividir ambos lados de la igualdad por \cos^2\alpha:

    \begin{eqnarray*} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1\\ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}&=&\frac{1}{\cos^2\alpha}\\ \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}\right)^2&=&\left(\frac{1}{\cos\alpha}\right)^2\\ \tan^2\alpha+1&=&\sec^2\alpha \end{eqnarray*}


  • \csc^2\alpha=1+\cot^2\alpha

Demostración

La tercera identidad trigonométrica pitagórica se obtiene de manera similar a la segunda. En este caso dividimos ambos lados de la primera identidad trigonométrica por \sin^2\alpha:

    \begin{eqnarray*} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1\\ \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}&=&\frac{1}{\sin^2\alpha}\\ \left(\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2&=&\left(\frac{1}{\sin\alpha}\right)^2\\ 1+\cot^2\alpha&=&\csc^2\alpha \end{eqnarray*}

 

 


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